2018年湖南省益阳市实验学校高一数学理上学期期末试卷含解析

2018年湖南省益阳市实验学校高一数学理上学期期末
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
已知A(2,1),B(3,2),C(－1,4),则ΔABC是：
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
参考答案：
A
2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
参考答案：
B
分析：先根据三角形内角关系以及诱导公式、两角和与差正弦公式化简得角的关系，即得三角形形状.
详解：因为，所以
因为，所以
因此的形状是等腰三角形.
选B.
点睛：判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用
这个结论．
3. 已知两点M（－2，0），N（2，0），点P满足=12，则点P的轨迹方程为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 三个数，，之间的大小关系是（）
A．B． C. D．
参考答案：
C
.
所以.
故选C.
5. 如图，在四形边ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是
（）
A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC
参考答案：
D
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB
故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．
故选D．
6. 已知定义在R上的减函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）=0，则不等式f（1﹣x）＜0的解集为（）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）
参考答案：
C
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由y=f（x）的奇偶性、单调性可得f（x）的图象的对称性及单调性，由此可把不等式化为具体不等式求解．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0，
∴y=f（x）是奇函数，f（0）=0，
∵y=f（x）是减函数，
∴f（1﹣x）＜0，即f（1﹣x）＜f（0），
由f（x）递减，得1﹣x＞0，解得x＜1，
∴f（1﹣x）＜0的解集为（﹣∞，1），
故选：C．
7. 已知函数，，则（）
A.5
B.-
7 C.3 D.-3
参考答案：
D
8. 设P是圆上的动点，Q是直线上的动点，则的最小值为（）
A.1
B.2
C. 3
D.4
参考答案：
C
略
9. 下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是( )
A．y=log x B．C．y=﹣x3 D．y=tanx
参考答案：
C
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】A．y=log x（x＞0）为非奇非偶函数，即可判断出正误；
B.在区间（0，1）内单调递增；
C．y=﹣x3，满足题意；
D．y=tanx在区间（0，1）内单调递增．
【解答】解：A．y=log x（x＞0）为非奇非偶函数，不正确；
B.是奇函数，但是在区间（0，1）内单调递增，不正确；
C．y=﹣x3，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减，正确；
D．y=tanx是奇函数，但是在区间（0，1）内单调递增，不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10. 已知集合，则（）
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数为奇函数，则．
参考答案：
12. 若是第二象限角，化简=___________
参考答案：
13. 直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是 [来源:学,科,网Z,X,X,K]
参考答案：
3
略
14. 已知点P、A、B、C、D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为
的正方形，若PA＝，则△OAB的面积为________．
参考答案：
15. 关于下列命题：
①若α，β是第一象限角，且α＞β，则 sinα＞sinβ；
②函数y=sin（πx﹣）是偶函数；
③函数y=sin（2x﹣）的一个对称中心是（，0）；
④函数y=5sin（﹣2x+）在[﹣，]上是增函数．
写出所有正确命题的序号：．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】阅读型；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
【分析】可举α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，即可判断①；运用诱导公式和余弦函数的奇偶性，即可判断②；
由正弦函数的对称中心，解方程即可判断③；由正弦函数的单调性，解不等式即可判断④．
【解答】解：对于①，若α，β是第一象限角，且α＞β，可举α=390°，β=30°，则sinα=sinβ，则①错；
对于②，函数y=sin（πx﹣）=﹣cosπx，f（﹣x）=﹣cos（﹣πx）=f（x），则为偶函数，则②对；
对于③，令2x﹣=kπ，解得x=+（k∈Z），函数y=sin（2x﹣）的对称中心为
（+，0），
当k=0时，即为（，0），则③对；
对于④，函数y=5sin（﹣2x+）=﹣5sin（2x﹣），
令2x﹣∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，则x∈（k，kπ+），即为增区间，
令2x﹣∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，则x∈（kπ﹣，kπ+），即为减区间．
在[﹣，]上即为减函数．则④错．
故答案为：②③．
【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性、对称性的判断和运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．
16. 用秦九韶算法计算函数当时的函数值，其中
= .
参考答案：
14
略
17. 设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足
x
－2y0=2，则m的取值范围是
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在空间四边形ABDP中，AD?α，AB?α，AB⊥AD，PD⊥α，且PD＝AD＝AB，E为AP中点．
(1)请在∠BAD的平分线上找一点C，使得PC∥平面EDB；
(2)求证：ED⊥平面EAB.
参考答案：
(1)设∠BAD的平分线交BD于O，延长AO，并在平分线上截取AO＝OC，则点C 即为所求的点．
证明：连接EO、PC，则EO为△PAC的中位线，
所以PC∥EO，而EO?平面EDB，且PC?平面EDB，
∴PC∥平面EDB.
(2)∵PD＝AD，E是边AP的中点，
∴DE⊥PA①
又∵PD⊥α(平面ABD)，
∴PD⊥AB，由已知AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，
而DE?平面PAD，∴AB⊥DE②
由①②及AB∩PA＝A得DE⊥平面EAB.
19. 已知数列的前项和.
（1）求证数列是等差数列；
（2）设是数列的前项和，求；
（3）设，数列的前项和为，求证.
参考答案：
（1）见解析（2）（3）见解析
解析：解：(1)证明：①
当时，②
①-②得：即，等式两边同除
得：,数列是等差数列…4分（2），,由（1）=
,…6分
=
错位相减易求…8分
（3）=…9分
=
=…12分
易求
=…13分
显然单增，又>0，,即…14分
略
20. （满分10分）某商店销售洗衣粉，年销售总量为6000包，每包进价2.8元，销售价3.4元．全年分若干次进货，每次进货均为包．已知每次进货运输劳务费为62.5元，全年保管费为1.5元．
（1）把该店经销洗衣粉一年的利润（元）表示为每次进货量（包）的函数，并指出函数的定义域；
（2）为了使利润最大化，问每次该进货多少包？
参考答案：
（1）由题知，
即定义域为
（2）
当且仅当，即时等号成立，
所以，为了使利润最大化，每次该进货500包．
21. （12分）已知求
参考答案：
略
22. （12分）已知点A，B，C的坐标分别是A（，0），B（0，），C（cosα，sinα）其中α∈（，），且A，B，C三点共线，求sin（π﹣α）+cos（π+α）的值．参考答案：
考点：直线的斜率；运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的求值．
分析：利用向量共线定理可得sinα+cosα=，再利用同角三角函数基本关系式可得
sinα，cosα，利用诱导公式即可得出．
解答：∵=，=，A，B，C三点共线，
∴=﹣，
化为sinα+cosα=，
∵α∈（，），sin2α+cos2α=1，
∴sinα=，，
sin（π﹣α）+cos（π+α）
=sinα﹣cosα
=
=．
点评：本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。