山东实验中学2021高三数学第三次诊断性考试(解析版)

2021届山东省某实验中学高三第三次诊断性考试数学试题
一、单选题
1．复数2
31i i -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
A ．34i --
B ．34i -+
C ．34i -
D ．34i +
【答案】A
【分析】把复数的分子分母同时乘以1-i,
31i
i
-+ (3)(1)12(1)(1)i i i i i --=
=-+-， ()2
2312341i i i i -⎛⎫
=-=-- ⎪+⎝⎭
．故选A. 【解析】复数的除法运算．
【详解】2．若集合{}1213A x x =-≤+≤，20x B x x ⎧⎫
-=≤⎨⎬⎩⎭
，则A B = A ．{}10x x -≤< B ．{}01x x <≤
C ．{}02x x ≤≤
D ．{}01x x ≤≤
【答案】B
【详解】:1213A x -≤+≤，解得：11x -≤≤ 所以集合{}11A x x =-≤≤，
2
:
0x B x
-≤，解得：02x <≤ 所以集合{}02B x x =<≤ 所以{}01A B x x ⋂=<≤ 故选B 项.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是 A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <
【答案】D
【解析】【详解】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【解析】全称命题与特称命题的否定．
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（ ） A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<
<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
【答案】C
【解析】利用()()2f x f x +=-，得到3122f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，再利用奇偶性和单调性判断即可.
【详解】()()2f x f x +=-， 则333122222f f
f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 奇函数()f x 在[]0,1上为减函数，
()f x ∴在[]1,1-上为减函数，
111
11244
>
>>->-， 111244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
即311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了利用奇偶性和单调性比较大小的问题.属于较易题.
5．在ABC ∆中，2,3,60,AB BC ABC AD ==∠=为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，其中
,R λμ∈，则λμ+等于（ ）
A ．1
B ．12
C ．13
D ．23
【答案】D
【分析】根据题设条件求得1
3
BD BC =，利用向量的线性运算法则和平面向量的基本定理，求得
1126
AO AB BC =
+，得到11
,26λμ==，即可求解.
【详解】在ABC ∆中，2,60,AB ABC AD =∠=为BC 边上的高，
可得1
sin 212
BD AB ABC =∠=⨯=，
又由3BC =，所以1
3
BD BC =,
由向量的运算法则，可得1
3
AD AB BD AB BC =+=+,
又因为O 为AD 的中点，111
226
AO AD AB BC =
=+， 因为AO AB BC λμ=+，所以11,26
λμ==，则2
3λμ+=.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算法则，以及平面向量的基本定理的应用，其中解答中熟记向量的运算法则，结合平面向量的基本定理，求得11
26
AO AB BC =
+是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．已知数列{}n a ，2sin 2
n n
a n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ）
A ．5000
B ．5000-
C ．5050
D ．5050-
【答案】B
【分析】由题意结合三角函数的性质可得20k a =、2
2121
(21)sin
2
k k a k π--=-，再由并项求和、等差数列的前n 项和公式即可得解.
【详解】由题意知， 当*2,n k k N =∈时，2
2(2)sin 0k a k k π==；
当*21,n k k N =-∈时，2
2121
(21)sin
2
k k a k π--=-， 所以数列{}n a 的前100项和
222221001231001359913579799S a a a a a a a a =+++⋯+=+++⋯+=-+-+⋯+-
(13)(13)(57)(57)(9799)(9799)=-⨯++-⨯++⋅⋅⋅+-⨯+
50492(13579799)250250002⨯⎛
⎫=-⨯++++⋯++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭
.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角函数的性质及等差数列前n 项和公式的应用，考查了并项求和法的应用及运算求解能力，属于中档题.
7．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
A ．2
B ．3
C ．
31
2
+ D ．
51
2
+ 【答案】D
【分析】设该双曲线方程为22
22100x y a b a b
-=（＞，＞），
得点B （0，b ），焦点为F （c ，0），直线FB 的斜率为b c -,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a 、b 、c 的等式，变形整理为关于离心率e 的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.
【详解】
设该双曲线方程为22
22100x y a b a b
-=（＞，＞），
可得它的渐近线方程为b y x a =±，焦点为F （c ，0），点B （0，b ）是虚轴的一个端点，∴直线FB 的斜率为00FB b b
k c c
-=
=--， ∵直线FB 与直线b
y x a
=
互相垂直，1b b c a ∴-⨯=-,
2b ac ∴=,
22222b c a c a ac =-∴-=，,
210e e ∴--=, 15
e ±∴=
双曲线的离心率e ＞1， ∴51
+,故选D. 【解析】双曲线的简单性质
8．已知函数()2
ln f x x x =-和()22g x x m x
=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是
A ．(],1ln 2-∞-
B ．[)0,1ln 2-
C ．(]1ln1,1ln 2-+
D ．[)1ln 2,++∞
【答案】D
【详解】由题意可知f(x)=−g(−x)有解,即方程22
2lnx x x m x
-=--+有解，即2m lnx x =+有解．
设()()20h x lnx x x =+
>,则()22122
x h x x x x
-'=-=，
∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增， ∴当x=2时,h(x)取得最小值h(2)=ln2+1. ∴h(x)的值域为[1+ln2,+∞). ∴m 的取值范围是[1+ln2,+∞). 本题选择D 选项. 二、多选题
9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是（ ）
A ．这12天中有6天空气质量为“优良”
B ．这12天中空气质量最好的是4月9日
C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90
D ．从4日到9日，空气质量越来越好 【答案】ABD
【分析】根据图中的数据逐个分析判断即可
【详解】对于A ，这12天中，空气质量为“优良”的AQI 指数值95，85，77，67，72，92，共6天，所以A 正确， 对于B ，这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI 指数值为67，所以B 正确， 对于C ，这12天的AQI 指数值的中位数为
95104
99.52
+=，所以C 错误， 对于D ，从4日到9日，AQI 指数值越来越低，空气质量越来越好，所以D 正确， 故选：ABD
10．设函数()2sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<的图象关于直线23
x π
=
对称，它的周期为π，则下列说法正确的是（ ）
A ．()f x 的图象过点()0,1；
B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减；
C ．()f x 的一个对称中心是5(,0)12
π
；
D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象． 【答案】AC
【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可. 【详解】函数()2sin()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+><<的最小正周期是π，所以22π
ωπ
=
=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，
又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23
x π
=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z π
ϕπ+=
+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯
+=+∈，解得5,6
k k Z πϕπ=-+∈，
因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于A ，当0x =时，()02sin 16
f π
==，()f x 的图象过点()0,1，所以A 正确；
对于B ，令
3222,262k x k k Z ππ
πππ+≤+
≤
+∈，解得2,63k x k k ππ
+π≤≤+π∈Z ，
当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不是减函数，所以B 错误；
对于C ，令2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称
中心，所以C 正确；
对于D ，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π
个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能
得到2sin 2y x =的图象，所以D 错误. 故选：AC.
11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A B ．侧棱与底面所成的角为4π
C D ．侧棱与底面所成的角为
3
π
【答案】AB
【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.
【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254
h a
=
所以其侧面积为222224
4
215410842244a a a h a a a a ⋅⋅+=++令()24
2108f a a a =+，则()23
3
21084f a a a ⨯'=-
令()2
3
3
210840f a a a ⨯'=-
=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减 当()
32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增
所以当32a =()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =
2
，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4
SAO π
∠=，故B 正确，D 错误
故选：AB
【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.
12．设12n P P P ⋯，，
，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点12n P P P ⋯⋯，，，的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，
，的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点． 则下列结论正确的是（ ）
A ．若三个点,,A
B
C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B C
D 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 【答案】AD
【分析】根据中位点的定义以及空间中的点与线的位置关系等逐个证明或举反例即可.
【详解】解：对于A ，若三个点,,A B C 共线，C 在线段AB 上，根据两点之间线段最短，则C 是,,A B C 的中位点，故A 正确；
对于B ，举一个反例，如边长为3,4,5的直角三角形ABC ，点P 是斜边AB 的中点，此直角三角形的斜边的中点P 到三个顶点的距离之和为5 2.57.5+=，而直角顶点到三个顶点的距离之和为7， ∴直角三角形斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点；故B 错误；
对于C ，若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点是中间两点连线段上的任意一个点，故它们的中位点存在但不唯一，
如B ，C 三等分AD ，设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故C 错误；
对于D ，如图，在梯形ABCD 中，对角线的交点,O M 是任意一点，则根据三角形两边之和大于第三边得
MA MB MC MD AC BD OA OB OC OD +++≥+=+++，
∴梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故D 正确．
故选：AD. 三、填空题
13．已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________； 【答案】2±【解析】根据直角三角形的性质与垂径定理求得圆心O 到直线0x y a -+=的距离,再用公式求解即可. 【详解】由题,因为AOB ∆为等腰直角三角形,故22AB OA ==,故圆心O 到直线0x y a -+=的距离
22212d ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
.()2
21211a
a =⇒=±+-故答案为：2±【点睛】本题主要考查了根据直线与圆相交求参数的问题,重点在于垂径定理的运用.属于基础题.
14．O 为坐标原点，F 为抛物线2C y 42x ：=的焦点，P 为C 上一点，若PF 42=POF 的面积______． 【答案】23【分析】先由抛物线方程得到焦点坐标F 2（，），设P m n （，），根据PF 42=P 点坐标，再由POF 的面积为1
S OF n 2
=
⨯，即可求出结果. 【详解】抛物线C 的方程为2y 42x =， 2p 2∴=22
p
=，得焦点F 2（，） 设P m n （，）,根据抛物线的定义，得p
PF m 422
=+= 即m 242=m 32=
点P 在抛物线C 上，得2×2n 26∴=±,
OF 2=
POF
∴的面积为
1
S OF n23
2
=⨯=．
故答案为23．
【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.
15．植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．
【答案】36
【分析】先选四个位置上的重复树苗有1
3
C种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．
【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；
在四个位置上种植有
4
4
2
2
12
A
A
=种方法，
则由乘法原理得1
31236
C⨯=种方法．
故答案为：36．
【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．
16．3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =______________． 【答案】4
【详解】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用，体现了分类讨论的数学思想． 要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立． 22()333(1)f x ax ax =-=-'
01 当0a =时，，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去．
02当0a <时22
()333(1)0f x ax ax ==-'-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去．
03当0a >时1()0f x x a
⇒'==① 1
11a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡--⎢⎣和1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
在11,a a ⎛ ⎝上单调递减． 所以min
1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪
⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(1)40
0{411
()120f a a f a a
-=-+≥≥⇒⇒==-≥ ② 1
11a a
>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去．综上可知a=4.
四、解答题
17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件：
①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；
③1
121222n n n n a a a na -+++
+=
在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2123
1
log log n n n b a a ++=
⋅， 求数列{}n b 的前n 项和n T
【答案】(1)12n n
a
(2)()()
3234212n n n +-++ 【分析】（1）选①时，根据等比数列的性质，求出公比，即可求解答案；选②时，利用1,n n S a +之间的关系式，采用两式相减的方法求得结果；选③时，再写出
()1212
1
111
22
22n n n n n a a a a n ----++
+
=
≥这个递推式，和原递推式相减，可求得结果. （2）写出n b 的表达式，采用裂项求和的方法解得答案. (1)
若选①，则22,2,2q q q +++成等比， 则22(2)2(2)q q q +=++ ， 即得 2q 或 0q =（舍去） ，
故 12n n
a ；
若选②，由点1(,)n n S a +在直线1y x =+上， 得11n n a S +=+，()112n n a S n -=+≥， 两式相减化简得()122n n a a n +=≥， 验证212a a = 适合上式， 故12n n
a ；
若选③，由12111
12
22n n n n
n a a a a +-++
+
=， 可知()1212
11
11
22
22n n n n n a a a a n ----++
+
=
≥，两式相减化简得()122n n
a n a +=≥ 验证212a a =适合上式， 故12n n a ；
(2)
由（1）知12n n a
则()1111222n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++⎝⎭
，
则12111111111232435
2n n T b b b n n ⎛⎫=++
+=-+-+-
+
- ⎪+⎝⎭
()()
1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=-
⎪++++⎝⎭ 18．如图，,,a b c 分别为△ABC 中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点，
23BD DC =，1
,cos 3
7
ABC ADC π
∠=∠=
， 8c =．
(1)求a 的值；
(2)求ADC 的外接圆的半径R ． 【答案】(1)5 493
【分析】（1）根据两角差正弦公式可得()sin sin BAD ADC ABC ∠=∠-∠，进而在ABD △中，利用正弦定理得到BD ，从而可得结果；
（2）在ABC 中利用余弦定理得到b ，再在ADC 中利用正弦定理得到结果. (1)
∵1cos 7ADC ∠=
，∴43
sin sin ADC ADB ∠=∠= ∴()4311333
sin sin 27BAD ADC ABC ∠=∠-∠=
-=
， 在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin c BAD
BD ADB
⋅∠=
=∠， ∵23BD DC =， ∴2DC =∴325a =+=； (2)
在ABC 中，222cos 7b a c ac ABC +-∠=． 在ADC 中，1493
2sin b R ADC =
⋅=
∠
19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43
3
的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23
3
EF =
.
（1）求证：OE ⊥平面ABCD ；
（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值. 【答案】(1)见证明；(2)
313
【分析】（1）可证FH BC ⊥，再利用平面FBC ⊥平面ABCD 证得FH ⊥平面ABCD ，通过证明//OE FH ，可得要求证的线面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面BCQ 的法向量和平面ABC 的一个法向量后可求二面角Q BC A --的余弦值. 【详解】（1）证明：取BC 的中点H ，连结OH 、FH 、OE ， 因为FB FC =，所以FH BC ⊥，
因为平面FBC ⊥平面ABCD ，平面FBC 平面ABCD BC =，FH ⊂平面FBC ， 所以FH ⊥平面ABCD ，
因为H 、O 分别为BC 、AC 的中点，所以//OH AB 且123
2OH AB ==
又//EF AB ，23
EF =
，所以//EF OH ，所以四边形OEFH 为平行四边形， 所以//OE FH ，所以OE ⊥平面ABCD .
（2）解：因为菱形ABCD ，所以2OA OC OE FH ====.
所以OA ，OB ，OE 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，
则(2,0,0)A ，23
B ，(2,0,0)
C -，(0,0,2)E ， 所以(1,0,1)Q ， 所以23
(2,BC =-，(3,0,1)CQ =， 设平面BCQ 的法向量为(,,)m x y z =，
由00BC m CQ m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得232030
x y x z ⎧
-=⎪⎨⎪+=⎩， 取1x =，可得(1,3,3)m =--， 平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， 设二面角Q BC A --的平面角为θ， 则313
cos 1139
m n
m n θ⋅-=
=
=⨯++
因为二面角Q BC A --的平面角为锐角， 所以二面角Q BC A --313
【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为
2
π
得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
20．某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg 的包裹收费10元；重量超过1kg 的包裹，除1kg 收费10元之外，超过1kg 的部分，每超出1kg （不足1kg 时按1kg 计算）需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：
公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：
以记录的60天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率 （1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[)100,400的概率； （2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？ （注：同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表） 【答案】（1）
48
125
； （2）公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元； （3）公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
【解析】（1）根据样本中包裹件数在[)100,400内的天数，得到频率，再根据未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布求解.
（2）根据重量统计和收费标准，列出样本中快递费用X 的分布列，再求期望.
（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加11553⨯=（元），若不裁员，则每天可揽
件的上限为450件，若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，根据公司随机抽取60天的揽件数的频数分布表分别列出分布列，求期望再减去员工的费用比较.
【详解】（1）样本中包裹件数在[)100,400内的天数为48，频率为
484
605
=， 可估计概率为4
5
，未来3天中，包裹件数在[)100,400间的天数X 服从二项分布，
即
4
3,
5
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，故所求概率为
2
2
3
4148
55125
P C
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
；
（2）样本中快递费用X的分布列如下表：
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
1
(104315302015258304)15 100
x=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.
（3）根据题意及（2），揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加
1
155
3
⨯=（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为260531001000
⨯-⨯=（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
故公司平均每日利润的期望值为23552100975
⨯-⨯=（元）
因9751000<，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.
【点睛】本题主要考查二项分布，离散型随机变量的分布列的期望及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21．设函数()ln m f x x x
=+
， R m ∈．
(1)当1m =时，求函数()f x 的极值； (2)若函数()()3
x
g x f x '=-
有两个零点，求实数m 取值范围； (3)若对任意的0b a >>，
()()
1f b f a b a
-<-恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)极小值1；无极大值； (2)203
m <<
； (3)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【分析】（1）由题可求()f x '，利用导数判断单调性，由单调性即可求解；
（2）令()0g x =可得()3103m x x x =-+>，令()3
1()03
x x x x ϕ=-+>，求()x ϕ'，判断单调性求得最值，即可求
解；
（3）不等式可转化为()()f b b f a a -<-，构造函数()()h x f x x =-，可得()h x 在()0,∞+上单调递减，即()2110m
h x x x
'=
--≤在()0,∞+上恒成立，分离m 转化为最值问题即可求解. (1) 因为()()2
1
0x f x x x -'=
> 所以当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增；
所以当1x =时，()f x 取得极小值()1
1ln111f =+=，无极大值.
(2)
由题可得()()()21033
x m x
g x f x x x x '=-
=-->， 令()0g x =，得()3
103
m x x x =-+>．
设()()3103
x x x x ϕ=-+>，则()()()2
111x x x x ϕ'=-+=--+．
所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ'在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ在()1,+∞上单调递减；
所以()x ϕ的最大值为()12
1133
ϕ=-+=，又()00ϕ=，()360ϕ=-<，可知：
当2
03
m <<
时，函数()g x 有2个零点， 即实数m 取值范围为203
m <<. (3)
原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立， 令()()()ln 0m
h x f x x x x x x
=-=+
->， 则等价于()h x 在()0,∞+上单调递减，()2
110m
h x x x '=
--≤在()0,∞+恒成立, 所以()2
2
11024m x x x x ⎛
⎫≥-+=--+> ⎪⎝
⎭恒成立，又2
2111244x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，
所以1
4
m ≥
， 即m 的取值范围是1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满足1122F F AF =，椭圆C 上的
点到焦点距离的最大值为3． (1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；
(3)已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)，AH ⊥MN ，垂足为H 且
2
AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．
【答案】(1)22
143
x y +
= (2)[]0,12 (3)证明见解析
【分析】（1）根据题意列方程组，解得参数a b 、，即可得到椭圆的标准方程；
（2）把条件1PF PA ⋅转化成关于P 的横坐标0x 的代数式，以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可； （3）把条件2AH MH HN =⋅转化成AM AN ⊥，极大简化了运算量，是数形结合的的一个范例，得到参数k m 、关系后，即可求得直线l 所过定点. (1)
由已知()322a c a c c
+=⎧⎨-=⎩，解得2a =，1c =
，则b ==
故椭圆C 的标准方程为22
143
x y +
=． (2)
设()00,P x y ，则2200143
x y +=，又()2,0A -，()11,0F -． ∴()()2
21000
00112354
PF PA x x y x x ⋅=----+=++． 由于()00,P x y 在椭圆C 上，∴022x -≤≤． 由()2
1354
f x x x =
++在区间[]22-,
上单调递增，可知 当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12． 故1PF PA ⋅的取值范围是[]0,12 (3)
由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()2223484120k x kmx m +++-=．
设()11,M x y ，()22,N x y ，则=AM ()112,x y +，=AN ()222,x y +
122834km x x k -+=+ ， 2122412
34m x x k -=+．
由0∆>得2243k m +>．
2
AH MH HN =⋅，即2
AH MH NH =，
可得AM AN ⊥，则()()11222,2,0x y x y ++=， 即()()()121212240x x x x kx m kx m ++++++=
第21页 ()()22
222412812403434m km k km m k k --+++++=++ 化简得2241670k km m -+=． ∴12k m =或72k m =，均适合2243k m +>． 当12k m =
时，直线过A ，舍去； 当72k m =时，直线27y kx k =+过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 故直线l 恒过定点2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题．。