2019大一轮高考总复习文数课时作业提升38 直接证明与

课时作业提升(三十八) 直接证明与间接证明
A 组 夯实基础
1．若实数a ， b 满足a ＋b <0，则( ) A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0
C ．a ，b 中至少有一个大于0
D ．a ，b 中至少有一个小于0
解析：选D 假设a ，b 都不小于0，即a ≥0，b ≥0，则a ＋b ≥0，这与a ＋b <0相矛盾，因此假设错误，即a ，b 中至少有一个小于0.
2．(2018·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C ．1a ＜1
b
D ．b a ＞a b
解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )， ∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0， ∴a 2＞ab .①
又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.
3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒为负值
B ．恒等于零
C ．恒为正值
D ．无法确定正负 解析：选A 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.
4．(2018·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )
A ．a －b >0
B ．a －c >0
C ．(a －b )(a －c )>0
D ．(a －b )(a －c )<0
解析：选C
b 2－a
c <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔
－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.故选C ．
5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b
D ．a >c >b
解析：选A ∵a ＝3－2＝
13＋2，b ＝6－5＝16＋5，c ＝7－6＝1
7＋6
，且7＋6>6＋5>3＋2>0，∴a >b >c .
6．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x
y ( )
A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
解析：选C 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝⎛⎭⎫y x ＋y z ＋⎝⎛⎭⎫z x ＋z y ＋⎝⎛⎭⎫x z ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋⎝⎛⎭⎫
y z ＋z y ＋
⎝⎛⎭
⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C ． 7．用反证法证明“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． 解析：“x ＝－1或x ＝1”的否定是“x ≠－1且x ≠1”． 答案：x ≠－1且x ≠1
8．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋a
b ≥2成立的
条件的序号是________．
解析：要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a
b >0成立，即a ， b 不为0且同号即可，故①③④都
能使b a ＋a
b
≥2成立．
答案：①③④
9．(2018·烟台模拟)设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 解析：方法一 (取特殊值法)取a ＝2，b ＝1，得m <n .
方法二 (分析法)a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．
答案：m <n
10．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．
解析：由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1
n 2＋1＋n
，∴c n 随n 的增大而减小，∴c n ＋1
＜c n .
答案：c n ＋1＜c n
11．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b
.
证明：由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >1
1－b ，只需证1＋a ·1－b >1，
只需证1＋a －b －ab >1，
只需证a －b －ab >0，即a －b
ab
>1，
即1b －1
a
>1，这是已知条件，所以原不等式得证． 12．已知a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c
c ＞3.
证明：因为a ，b ，c 为不全相等的正数， 所以b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c
c
＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b
c －3 ＞2 b a ·a b
＋2 c a ·a c
＋2 c b ·b
c
－3＝3， 即
b ＋
c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c
c
＞3. B 组 能力提升
1．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下正确的是( )
A ．①与②的假设都错误
B ．①与②的假设都正确
C ．①的假设正确；②的假设错误
D ．①的假设错误；②的假设正确
解析：选D 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
2．在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
解析：选C 由sin A sin C ＜cos A cos C 得cos A cos C －sin A sin C ＞0，
即cos(A ＋C )＞0，所以A ＋C 是锐角，从而B ＞π
2，故△ABC 必是钝角三角形．
3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．
解析：方法一 (补集法)
令⎩
⎪⎨⎪⎧
f (－1)＝－2p 2
＋p ＋1≤0，f (1)＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32， 故满足条件的p 的范围为⎝⎛⎭⎫－3， 3
2. 方法二 (直接法)
依题意有f (－1)>0或f (1)>0，
即2p 2－p －1<0或2p 2＋3p －9<0，得－12<p <1或－3<p <3
2，
故满足条件的p 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3， 3
2. 答案：⎝
⎛⎭⎫－3， 3
2 4．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＋c ＝0，f (x )在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－5
2.求
证：a ≠0且⎪⎪⎪⎪
b a ＜2.
证明：假设a ＝0或⎪⎪⎪⎪
b a ≥2.
①当a ＝0时，由a ＋c ＝0，得f (x )＝bx ，显然b ≠0. 由题意得f (x )＝bx 在[－1,1]上是单调函数， 所以f (x )的最大值为|b |，最小值为－|b |. 由已知条件，得|b |＋(－|b |)＝2－52＝－12，
这与|b |＋(－|b |)＝0相矛盾，所以a ≠0.
②当⎪⎪⎪⎪b a ≥2时，由二次函数的对称轴为x ＝－b
2a
， 知f (x )在[－1,1]上是单调函数，故其最值在区间的端点处取得． 所以⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝a ＋b ＋c ＝2，f (－1)＝a －b ＋c ＝－5
2， 或⎩⎪⎨⎪⎧
f (1)＝a ＋b ＋c ＝－52，f (－1)＝a －b ＋c ＝2.
又a ＋c ＝0，则此时b 无解，所以⎪⎪⎪⎪b a ＜2. 由①②得假设不成立，所以a ≠0且⎪⎪⎪⎪b a ＜2.。