高一数学二次函数与图像题

高一数学二次函数与图像题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学模型、图像绘制等方面具有广泛的应用。

本文将通过几个具体的题目，来讨论二次函数的性质、图像特点以及解题技巧。

1. 求解二次函数的顶点坐标
题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为 $(-1, 2)$，且过点 $(2, 5)$。

求 $a$、$b$、$c$ 的值。

解析：由于已知顶点坐标为 $(-1, 2)$，可得到一个方程：
\[a(-1)^2 + b(-1) + c = 2\]
即：
\[a - b + c = 2\]
又因为过点 $(2, 5)$，可得到另一个方程：
\[a(2)^2 + b(2) + c = 5\]
即：
\[4a + 2b + c = 5\]
解方程组
\[\begin{cases} a - b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 5 \end{cases}\]
经过计算，得到 $a = 2$，$b = -1$，$c = 1$。

因此，该二次函数的表达式为 $y = 2x^2 -x +1$。

2. 求二次函数的图像与相关性质
题目：已知函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图像与 $x$ 轴相切于点 $(1,
0)$，且该函数的极值为 $-4$，求 $b$、$c$ 的值。

解析：已知函数与 $x$ 轴相切于点 $(1, 0)$，说明该点为函数的顶点。

即顶点坐标为 $(1, -4)$。

因此，我们得到方程：
\[1 + b + c = -4\]
同时，根据极值的性质，可以知道顶点的纵坐标即是该函数的极值。

所以该函数极值为 $-4$。

解方程
\[1 + b + c = -4\]
经过计算，得到 $b = -6$，$c = -1$。

因此，该二次函数的表达式为 $y = x^2 - 6x - 1$。

此外，该函数的图像开口向上，顶点为 $(1, -4)$，且与 $x$ 轴相切
于点 $(1, 0)$。

3. 解二次函数不等式
题目：求解二次函数 $y = 2x^2 + 3x - 2$ 的不等式 $y \geq 0$ 的解集。

解析：首先，我们需要找到二次函数的零点，即当 $y = 0$ 时，该
函数的解。

解方程 $2x^2 + 3x - 2 = 0$，得到 $x = -2$ 和 $x = \frac{1}{2}$ 两个解。

将这两个解点代入原方程，可以得到函数的正负性区间。

当 $x < -2$ 或 $-2 < x < \frac{1}{2}$ 时，函数取负值；当 $x >
\frac{1}{2}$ 时，函数取正值。

根据不等式 $y \geq 0$，可得到函数 $y = 2x^2 + 3x - 2$ 在区间 $[-2, \frac{1}{2}]$ 上取非负值。

因此，解集为 $[-2, \frac{1}{2}]$。

通过以上几个题目的解析，我们可以看到二次函数的重要性和应用。

理解二次函数的图像、性质和解题技巧，有助于我们在数学学习和实
际问题中的应用。

希望本文所介绍的内容能帮助你更好地理解和掌握
高一数学中的二次函数与图像题。