高考数学大一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角

课时跟踪检测(二十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角
函数模型的简单应用
(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分
一、选择题
1．函数f (x )＝sin x cos x ＋
3
2
cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2
2．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π
4
个单位，得到的函数图象的解析式是( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝－sin 2x
C ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
3．(2015·合肥二检)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图
象( )
A ．向左平移5π
6单位长度
B ．向右平移5π
6单位长度
C ．向左平移5π
12
单位长度
D ．向右平移5π
12
单位长度
4．将函数y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再
向左平移π
6
个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )
A ．x ＝π4
B ．x ＝π6
C ．x ＝π
D ．x ＝
π
2
5．设函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在x ＝π2时，取最大值A ，在x ＝3π
2时，取
最小值－A ，则当x ＝π时，函数y 的值( )
A ．仅与ω有关
B ．仅与φ有关
C ．等于零
D ．与φ，ω均有关
6．(2015·青岛一模)函数f (x )＝A sin (ωx ＋
φ)⎝
⎛⎭
⎪⎫
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2
的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( ) A ．1 B.1
2
C.
22 D.3
2
二、填空题
7．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 8．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫π4＝________.
9．已知函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若
x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
，则f (x )的值域是________．
10．(2015·广东梅州二模)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π
6个单位，纵坐标
伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：
①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④函数y ＝f (x )＋a 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.
其中，正确判断的序号是________． 三、解答题
11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.
(1)求它的振幅、最小正周期、初相；
(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2上的图象．
12．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若将f (x )的图象向右平移π
6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，
π]上的最大值和最小值．
B 卷：增分提能
1．(2015·长春调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．
2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝1
3时，f (x )的最
大值为2.
(1)求f (x )的解析式．
(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．
3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月
份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
答案
A 卷：夯基保分
1．选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，得最
小正周期为π，振幅为1.
2．选A 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x .
3．选C 由题意，得y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π3＋π2 ＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，则它是由y ＝sin 2x 向左平移5π12个单位得到的，故选C.
4．选D y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――――――――――→横坐标伸长到原来的
2倍纵坐标不变 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π3――――――――→向左平移π
6个单位 y ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3
， 即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π4.
由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x ＝π
2
时，y ＝
cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×π2－π4＝1.故选D. 5．选C π2＋3π2
2＝π，根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知，x ＝π时，函数y 的
值为0.正确答案为C.
6．选D 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12
.
又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，π3，
且f (x 1)＝f (x 2)，∴
x 1＋x 22
＝π
12
， ∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.
7．解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.
答案：0
8．解析：依题意πω＝π
4
，∴ω＝4.
∴f (x )＝tan 4x .
∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝tan π＝0. 答案：0
9．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，
则f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－3
2
≤f (x )≤3.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，3 10．解析：将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移
π6个单位得到y ＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，所以①不
正确．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，所以
②正确．由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π
12＋k π，k ∈Z ，即
函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，
所以③不正确．y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以
当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，y min ＝2sin 4π
3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a
＝2 3.所以④正确．所以正确的判断为②④.
答案：②④
11．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.
(2)图象如图所示．
12．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图像向右平移
π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝
2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，
∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π
3
时，
sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.
B 卷：增分提能
1．解：(1)由题中图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，1代入得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋π3.
(2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π
6
，
所以－1≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1
2，
所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.
2．解：(1)由T ＝2知2π
ω
＝2得ω＝π.
又因为当x ＝1
3
时f (x )max ＝2，知A ＝2.
且π3＋φ＝2k π＋π
2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π
6(k ∈Z )．
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，
故f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.
(2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )，
得x ＝k ＋1
3(k ∈Z )．
由214≤k ＋13≤234
. 得5912≤k ≤65
12
，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.
3．解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，
所以f (8)＝500.
根据上述分析可得，2π
ω
＝12，
故ω＝π
6，且⎩⎪⎨
⎪⎧
－A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＝200，
B ＝300.
根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小， 当x ＝8时f (x )最大，
故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8×π6＋φ＝1.
又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π
6
.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f (x )＝200sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6x －
5π6＋300.
(2)由条件可知，200sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
x －5π6≥1
2
⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π
6，k ∈Z ，
解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .
因为x ∈N *
，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．。