高考浙江版数学 对数与对数函数 讲义
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§ 2.6对数与对数函数
1.对数的概念
一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=log
a
N ,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的基本性质(a>0且a≠1,N>0)
a.log
a 1=0;log
a
a=1;
b.a log a N=②N ;log
a
a N=③N .
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
a.log
a (MN)=log
a
M+log
a
N;
b.log
a M
N
=log
a
M-log
a
N;
c.log
a M n=nlog
a
M(n∈R).
(3)对数的换底公式及推论
a.log
a N=log
b N
log b a
(a,b>0且a,b≠1,N>0);
b.lo g a m b n=④n
m log
a
b (a,b>0且a≠1,m,n∈R且m≠0);
c.log
a b·log
b
a=1(a,b>0且a,b≠1);
d.log
a b·log
b
c·log
c
d=log
a
d(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).
3.对数函数的图象与性质
a>1 0 图象 性质 定义域:⑤(0,+∞) 值域:⑥R 图象过定点⑦(1,0) ,即⑧x=1 时,⑨y=0 当x>1时, ⑩y>0 ; 当0 当x>1时,y<0 ; 当0 是(0,+∞)上的增函 数 是(0,+∞)上的减函 数 知识拓展 1.快速判断log a x符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+∞),当a与x位于这两个区间中的同 一个时,log a x>0,否则log a x<0. 2.对数函数的变化特征 在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数 y=log a x,y=log b x,y=log c x,y=log d x(a>1,b>1,0 作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是b>a>1>d>c>0. 4.对数函数与指数函数的性质比较 名称 指数函数 对数函数 一般形式 y=a x (a>0且a≠1) y=log a x (a>0且a≠1) 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (-∞,+∞) 单调性 当 a>1 时为增函数 ,当 0 当a>1时, 若x>0,则 y>1 ; 若x=0,则 y=1 ; 若x<0,则 0 若x>1,则 y>0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若0 若x>0,则 0 当0 若x>1,则 y<0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若0 图象 y=a x (a>0且a≠1)的图象与y=log a x(a>0且a≠1)的图象关于直线 y=x 对称 1.已知集合A={x|-1 B.(-1,3) C.(-1,1) D.(-1,1] 1.答案 D 2.(2019浙江学考)函数f(x)=√2-x +log 2x 的定义域是( ) A.(0,2] B.[0,2) C.[0,2] D.(0,2) 2.答案 A 3.若log a 3 4<1(a>0,且a≠1),则实数a 的取值范围是 . 3.答案 (0,3 4) ∪(1,+∞) 4. 函数f(x)=lg x -3 x+2的定义域是 ,函数g(x)=lg(x-3)-lg(x+2)的定义域是 . 4.答案 {x|x>3或x<-2};{x|x>3} 5.函数f(x)=|log 3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 . 5.答案 2 3 考点一 对数的化简与求值 典例1 (2019浙江衢州五校联盟高三上联考)log 24+log 42= ,log a b+log b a(a>1,0 答案 5 2;-2 解析 log 24+log 42= log 222 +log 4412 =2+12=5 2. 由换底公式可得log b a=1 log a b ,因为a>1,0 所以-log a b>0,-log b a>0, 所以(-log a b)+(-log b a)≥2, 所以log a b+log b a=-[(-log a b)+(-log b a)]≤-2, 当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,即log a b+log b a(a>1,0 对数式化简求值的思想方法 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.