高考浙江版数学对数与对数函数讲义

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高考数学一轮复习讲义2.6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数[最新考纲]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象；3．体会对数函数是一类重要的函数模型；4．了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1．对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1)①＝N；②log a a N＝N；③log b N＝log a Nlog a b；④＝nm log a b；⑤log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.(2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0)①log a(M·N)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a Mn＝n log a M(n∈R)；④log a nM＝1n log a M.3．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x ＞1时，y ＞0 当0＜x ＜1时，y ＜0 (5)当x ＞1时，y ＜0 当0＜x ＜1时，y ＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数辨析感悟1．对数运算的辨析(1)(2013·浙江卷改编)已知x ，y 为正实数，①2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y ，②2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lgy，③2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y ，④2lg(xy )＝2lg x ·2lg y ，以上四个式子错误的是①②③.(√)(2)(2013·中山调研改编)若log 4[log 3(log 2x )]＝0，则＝24.(√)2．对数函数的理解(3)(2013·吉林调研改编)函数y ＝log 3(2x －4)的定义域为(2，＋∞)．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．(√)(5)(2014·长沙模拟改编)函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝2.(×) (6)log 2x 2＝2log 2x .(×) [感悟·提升]三个防范一是在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1；二是对公式要熟记，防止混用；三是对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0＜a ＜1和a ＞1分类讨论，否则易出错.学生用书第25页考点一对数的运算例1 (1)(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64的值是________．(2)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)＝( )．A.124B.112C.18D.38 (1)解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.答案 (1)1 (2)A规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．训练1 (1)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________. (2)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2＝________. 解析 (1)a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝()a m 2·a n ＝22×3＝12. (2)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2. 答案 (1)12 (2)2考点二对数函数的图象及其应用例2 (2012·新课标全国卷)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)审题路线在同一坐标系下作出两个函数y ＝4x 与y ＝log a x 的图象⇒画函数y ＝log a x 的图象可考虑两种情况：a ＞1和0＜a ＜1⇒观察图象，当a ＞1时不符合题意舍去，所以只画出0＜a ＜1的情形⇒观察图象的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2满足条件：log a 12＞2即可．解析由题意得，当0＜a ＜1时，要使得4x ＜log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ≤12，即当0＜x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22＜a ＜1(如图所示)．当a ＞1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 B规律方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．训练2 (2014·石家庄二模)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )． A ．x 1x 2＜0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2＞1D ．0＜x 1x 2＜1解析构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．答案 D考点三对数函数的性质及其应用例3 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )．A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析 (1)a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c . (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎨⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.答案 (1)D (2)C规律方法在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．【训练3】 (1)(2014·郑州模拟)若x ∈(1e -，1)，a ＝ln x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x，c ＝e ln x ，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)函数f (x )＝log a (ax －3)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．(1，＋∞)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析 (1)依题意得a ＝ln x ∈(－1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ln x ∈(1,2)，c ＝x ∈(e －1,1)，因此b ＞c＞a .(2)由于a ＞0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a ＞1，又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3＞0，即a ＞3. 答案 (1)B (2)D(1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1和0＜a ＜1的两种不同情况．有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现．(2)利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．学生用书第26页教你审题2——巧用对数函数图象解题[审题] 一审条件❶：转化函数y ＝|log 2x |为y ＝ ⎩⎨⎧log 2x ，x ＞1，－log 2x ，0＜x ＜1.得到图象，如图．二审条件❷：见上图．三审条件❸：转化为a 是A ，C 两点横坐标之差的绝对值，b 是B ，D 两点横坐标之差的绝对值．A ，B 的横坐标即是方程|log 2x |＝m 的解，C ，D 的横坐标即是方程|log 2x |＝82m ＋1的解，求出A ，B ，C ，D 点的横坐标．四审问题❹：把ba 转化为关于m 的函数，利用导数或不等式求解即可．解析数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)上，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)上，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝|x B －x D ||x C －x A |＝x B －x Dx C －x A .根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m .同理可得x C ＝，x B ＝2m ，x D ＝，所以b a ＝＝ .只要求出82m ＋1＋m 的最小值即可．法一构造函数g (m )＝82m ＋1＋m ，则g ′(m )＝－16(2m ＋1)2＋1＝(2m ＋5)(2m －3)(2m ＋1)2，由于m ＞0，显然可得g (m )在(0，＋∞)上有唯一的极小值点，也是最小值点m ＝32，故g (m )min＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝72，即b a 的最小值为＝8 2.法二82m ＋1＋m ＝4m ＋12＋m ＝4m ＋12＋m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当4m ＋12＝m ＋12，即m ＝32时等号成立，故ba 的最小值为＝8 2.[反思感悟] (1)利用对数函数的图象研究与对数有关的图象问题时要注意对称变换的应用；(2)本题是以函数图象为载体，AC 和BD 在x 轴上的投影长度用坐标表示是解决问题的切入点，再转化为求函数的最值问题，难度稍大．【自主体验】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．解析分别作出三个函数的图象，如图所示：由图可知，x 2＜x 3＜x 1.答案 x 2＜x 3＜x 1基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．如果12log x ＜12log y ＜0，那么( )．A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析 ∵12log x ＜12log y ＜log 121，又y ＝12log x 是(0，＋∞)上的减函数，∴x答案 D2．(2014·深圳调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 3(1 ＋x )，则f (－2)＝ ( )．A ．－1B ．－3C ．1D ．3解析 f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1. 答案 A3．(2013·宣城二模)若a ＝ln 264，b ＝ln 2×ln 3，c ＝ln 2π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c解析 ∵ln 6＞ln π＞1，∴a ＞c ，排除B ，C ；b ＝ln 2·ln 3＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋ln 322＝ln 264＝a ，排除D. 答案 A4．若函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，则实数a 的值等于 ( )．A.12 B.14 C ．－14D ．4解析令h (x )＝ax 2＋2x －1，由于函数g (x )＝log 3h (x )是递增函数，所以要使函数g (x )＝log 3(ax 2＋2x －1)有最大值1，应使h (x )＝ax 2＋2x －1有最大值3，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4＋4a ≥0，－4a －44a ＝3，解得a ＝－14，此即为实数a 的值．答案 C5．已知f (x )＝log a [(3－a )x －a ]是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,3)D ．(3，＋∞) 解析记u ＝(3－a )x －a ，当1＜a ＜3时，y ＝log a u 在(0，＋∞)上为增函数， u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为增函数， ∴此时f (x )在其定义域内为增函数，符合要求．当a ＞3时，y ＝log a u 在其定义域内为增函数，而u ＝(3－a )x －a 在其定义域内为减函数， ∴此时f (x )在其定义域内为减函数，不符合要求．当0＜a ＜1时，同理可知f (x )在其定义域内是减函数，不符合题目要求．故选B. 答案 B 二、填空题6．函数y ＝12log (3x －a )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝______.解析要使函数有意义，则3x －a ＞0，即x ＞a3， ∴a 3＝23，∴a ＝2. 答案 27．已知f (x )＝⎩⎨⎧2a 2，x ＜2，log a (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)＝________. 解析 ∵f (2)＝log a (22－1)＝log a 3＝1， ∴a ＝3，∴f (1)＝2×32＝18. 答案 188．(2014·深圳中学模拟)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )＜－1的解集是________．解析当x ∈(－∞，0)时，则－x ∈(0，＋∞)，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ) ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，0，0，－log 2(－x )，x ＜0，由f (x )＜－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，log 2x ＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0＜－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－log 2(－x )＜－1，解得0＜x ＜12或x ＜－2. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，或x ＜－2三、解答题9．已知f (x )＝log 4(4x －1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性；(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域．解 (1)由4x －1＞0解得x ＞0，因此 f (x )的定义域为(0，＋∞)． (2)设0＜x 1＜x 2，则0＜4x 1－1＜4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)＜log 4(4x 2－1)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )在(0，＋∞)上递增． (3)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]．10．已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)．(1)若常数a <2且a ≠0，求f (x )的定义域；(2)若f (x )在区间(2,4)上是减函数，求a 的取值范围．解 (1)由题意知ax －2x －1>0，当0<a <2时，解得x <1或x >2a ；当a <0时，解得2a <x <1. 故当0<a <2时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1，或x >2a；当a <0时，f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <1. (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝12log u 为减函数，故要使f (x )在(2,4)上是减函数，只需u (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1在(2,4)上单调递增且为正．故由⎩⎨⎧a －2<0，u (2)＝2a －22－1≥0，得1≤a <2.故a ∈[1,2)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·河南洛阳二模)如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，P 4(2,2)中，“好点”的个数为 ( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a ＞0，a ≠1)，y ＝log b x (b ＞0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上，得a ＝1与a ＞0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a＝14，b ＝14；易得P 4(2,2)也为“好点”．答案 B2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时， f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝ ( )．A ．1 B.45 C ．－1D ．－45解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝－(＋15)＝－1.答案 C 二、填空题3．如果函数y ＝f (x )图象上任意一点的坐标(x ，y )都满足方程lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，那么y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是________．解析由lg(x ＋y )＝lg x ＋lg y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝xy ，由x ＋y ＝xy 得y ＝f (x )＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1(x ≠1)．则函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以y ＝f (x )在[2,4]上的最小值是f (4)＝1＋14－1＝43.答案 43 三、解答题4．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0. (2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减，∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

高中数学新高考复习试卷讲义第2章 §2.8 对数与对数函数

§2.8 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作 . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作 . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝，log a a ＝，log a Na ＝ (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝； ②log a MN ＝；③log a M n ＝ (n ∈R )．(3)对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域值域性质过定点，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，；当0<x <1时，当x >1时，；当0<x <1时，在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数 (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log m na b ＝n m log a b .2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 3．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a ,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N .( )(2)函数y ＝log a 2x (a >0，且a ≠1)是对数函数．( )(3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( ) 教材改编题1．若函数f (x )＝log 2(x ＋1)的定义域是[0,1]，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．(0,1) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)2．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0，且a ≠1)的图象恒过点________． 3．e ln 2＋log 2 02216log 2 0224＝________.题型一对数式的运算例1 (1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b 的值是( )A ．－1 B.12 C.710D ．1(2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝________.听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a ＝3，b ＝log 85，则4a －3b＝________.(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋12lg 4－log 34×log 23＝________.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1 B ．0<b <a －1<1 C ．0<b －1<a <1 D ．0<a －1<b －1<1(2)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2 (1)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是( )(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝a x的图象如图所示，则函数f(x)＝log a(－x＋1)的部分图象大致为()题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(2023·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．b<a<cC．a<c0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3对数函数的性质及应用例5(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)()A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f (x )＝log a (6－ax )(a >0，且a ≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3] B ．(1,3) C ．(0,1)D ．(1，＋∞)(2)(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2－ax ＋12(a >0，且a ≠1)有最小值，则实数a 的取值范围是________．。

高考数学复习考点知识讲解课件11 对数与对数函数

A．地震释放的能量为 1015.3 焦耳时，地震里氏震级约为七级 B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 6.3 倍 C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000 倍 D．记地震里氏震级为 n(n＝1,2，…，9,10)，地震释放的能量为 an，则数列{an}是等比数列
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[解析] 由 y＝ln(1－x)可得 ey＝1－x，即 x＝1－ey，因为函数 f(x)与 y＝ln(1－x)的图象关于直线 y＝x 对称，所以 f(x)＝1－ex.
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核心考点突破
02
(新教材) 高三总复习•数学
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考点一对数的运算——自主练透
对点训练
1．(2022·浙江卷)已知 2a＝5，log83＝b，则 4a－3b＝( C )
对点训练 1．函数 y＝lo1g3x的图象大致是( D )
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[解析] 当 x＝3 时，y＝1，即函数图象过点(3,1)，排除 A；因为 y＝log3x 为增函数，所以 y＝lo1g3x在(0,1)和(1，＋∞)上单调递减，排除 B，C.故选 D.
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(新教材) 高三总复习•数学
只需 f1(x)＝(x－1)2 在(1,2)上的图象在 f2(x)＝logax 图象的下方即可．
当 0<a<1 时，显然不成立；
当 a>1 时，如图，要使 x∈(1,2)时 f1(x)＝(x－1)2 的图象在 f2(x)＝logax 的图象下方，
只需 f1(2)≤f2(2)，
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
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高考数学对数与对数函数复习课件

B
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.

高考数学一轮复习专题3.6对数与对数函数知识点讲解含解析

专题3.6 对数与对数函数【考纲解读与核心素养】1. 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式. 2．理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用. 3.了解对数函数的变化特征.4．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养. 5. 高考预测：（1）对数运算；（2）对数函数的图象和性质及其应用；（3）除单独考查外，在大题中考查对数运算、对数函数的图象和性质的应用是热点. 6.备考重点：（1）对数运算（2）对数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.【知识清单】1．对数及其运算 1.对数的概念（1）如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.（2）对数的性质：①负数和零没对数；②10a log =；③1a log a =；（3）对数恒等式alog aN＝N2.对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log a m M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .③log a a b＝b (a >0，且a ≠1) 2．对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．【典例剖析】高频考点一：对数的化简、求值【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A 【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<；由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <；由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >.综上所述，a b c <<. 故选：A.【典例2】（2019·山东高考模拟（文））设函数()()21,04,0xlog x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()()233f f log -+=（）A ．9B ．11C ．13D ．15【答案】B 【解析】 ∵函数2log (1),0()4,0xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩， ∴()2l 23og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．故选：B ．【规律方法】1.对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【变式探究】1.（2018届安徽省宿州市第三次检测）已知，，，则（）A. -2B. 2C.D.【答案】C 【解析】由题意，设，则，，，据此有：，则：，即，据此可得：或，其中：，据此可得：，则.本题选择C 选项.2.()52016? 1.2b a a b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝，b ＝ . 【答案】4，2. 【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．高频考点二：对数函数的概念与图象【典例3】（2019·浙江高三高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例4】（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log a yx =在同一坐标系的图像只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】当1a >时，对数函数log a yx =为增函数，当1x =时函数y x a =-的值为负.无满足条件的图像.当01a <<时，对数函数log a y x =为减函数，当1x =时函数y x a =-的值为正.C 满足.故选：C【典例5】已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，则a 1，a 2，a 3，a 4的大小关系是 ( )A ．a 4<a 3<a 2<a 1B ．a 3<a 4<a 1<a 2C ．a 2<a 1<a 3<a 4D ．a 3<a 4<a 2<a 1【答案】B【解析】[思路分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用log a a ＝1，结合图象判断．[解析] 在图中作一条直线y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝log a 3x ，得log a 3x ＝1，所以x ＝a 3.所以直线y ＝1与曲线C 3：y ＝log a 3x 的交点坐标为(a 3,1)．同理可得直线y ＝1与曲线C 4，C 1，C 2的交点坐标分别为(a 4,1)，(a 1,1)，(a 2,1)．由图象可知a 3<a 4<a 1<a 2，故选B. 【总结提升】1.对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x . 2. (1)不管a >1还是0<a <1，底大图低；(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a 逐渐变小，即a 的值越小，图象越靠近y 轴．3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．4．对数值log a x的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，log a x>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数log a x>0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，log a x<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数log a x<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．【变式探究】1．（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A、B两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜＜1，在C图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．2．（2018届四川省南充市三诊）在同一坐标系中，函数与的图象都正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，.所以函数单调递减，排除B，D.与的图象关于轴对称.排除A.故选A.3．（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg,0 ()1lg,0x xf xxx>⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m>-，则实数m的取值范围是（）A．(1,0)(1,)-⋃+∞B．(,1)(1,)-∞-+∞C．(1,0)(0,1)-D．(,1)(0,1)-∞-【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >，观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：A . 【总结提升】应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．高频考点三：对数函数的性质及应用【典例6】（2020·全国高考真题（理））若242log 42log a ba b +=+，则（）A ．2a b >B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <【答案】B 【解析】设2()2log x f x x =+，则()f x 为增函数，因为22422log 42log 2log a b ba b b +=+=+ 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<，所以()(2)f a f b <，所以2a b <.2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当1b =时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有2a b >当2b =时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有2a b <，所以C 、D 错误. 故选：B.【典例7】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】求出0.2211log0.3,0.3log a b==，得到11a b+的范围，进而可得结果. 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例8】（2019·北京高考模拟（理））若函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩ 则函数()f x 的值域是（）A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞【答案】A 【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为(),2-∞，故选A.【典例9】满足()()0f x f x --=，且在0,单调递减，若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 9c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（）A ．()()()f b f a f c <=，11114459799207977a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 9a b ∴>>. ()f x 在0,单调递减，∴()()()2log 9f f a f b <<，即()()()f c f a f b <<.故选：C .【典例10】【2018届河南省南阳市第一中学第十四次考】函数，则使得成立的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单调递减，∵是偶函数， ∴在上单调递增． ∵， ∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．故选B ．【典例11】（2020·上海高三专题练习）函数20.5log (43)y x x =-的定义域为．【答案】【解析】由题意可知20431x x <-≤，解得x ∈．【典例12】（2020·河北新乐市第一中学高二月考）函数()213()log 23f x x x =-++的单调递增区间是________．【答案】[1,3)或(1)3，【解析】由题意，令223u x x =-++，由0>u ，解得13x，即函数()f x 的定义域为(1,3)-又根据二次函数的图象与性质可知，函数223u x x =-++在区间(]1,1-上单调递增，在区间[1,3)上单调递减，又由函数()12log f x u =为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数()f x 的单调递增区间为[1,3).故答案为：[1,3)或(1)3，【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误. 【变式探究】1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．2.（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C 【解析】因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <，由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >，综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C.3.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a 的取值范围是（） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C 【解析】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，上单调递增，则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ⇒⇒＜＜＜，即222log a -<＜，解得：144a <<，即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭；故选：C ．4.(2019·宜春中学、新余四中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋4－2a ，x ＜1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(－∞，2] C ．(0,2] D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x ＜1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1，才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．【总结提升】1.解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．2.应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性等问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．。

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-6-第6讲-对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N?log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b aa>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________．解析：由题意知f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43，则2a＋2－a＝________．【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 23 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n＝－1上可得，－3m＋－1n＝－1，即3m ＋1n＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ，因为m >0，n >0，所以n m ＋m n≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一求对数型函数的定义域函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )【解析】要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f ，c ＝f ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>>log 24＝2>，且函数f (x )是增函数，所以c log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )≤a <14或a >1B ．a >1 ≤a <14≤a ≤14或a >1解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <，所以不等式f (x )<0的解集是(2，．答案：7 (2，思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为增函数，所以a t∈[1a，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t在[－1，0]上为减函数，所以a t∈[1，1a]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A.2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )D ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)<f (3)B ．f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)C ．f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (0)D ．f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2]C ．[2，＋∞)∪[2，＋∞)解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故选B.7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k，b ＝5k，a ＋b ＝10k，所以ab ＝10k，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1. 得x ＝a 或x ＝1a，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f (x )＝log 12(a x－3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1，由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x－3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33. [综合题组练]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15 4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。

高考数学复习讲义：对数与对数函数

第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0，log a a＝1，a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．解析：lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案：q p ＋q2．计算：2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析：原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案：53．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝22a ＝2，∴a ＝12.∴lg x ＝12，∴x ＝10.答案：104．log 225·log 34·log 59＝________.解析：原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案：8[典例感悟]计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－202．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案：13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.解析：∵4a ＝5b ＝10，∴a ＝log 410，1a ＝lg 4，b ＝log 510，1b ＝lg 5，∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.答案：2突破点二对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征在y 轴右侧，过定点(1,0)当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.答案：13．若f (x )＝log 2x ，则f (x )>0的x 的范围是________．答案：(1，＋∞)[全析考法]考法一对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一：函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.法二：||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|log12x|的图象(如图)，可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当x >1时，log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________．答案：[2，＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞3．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案：2或12[全析考法]考法一与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3.综上0≤m <3，故选B.[答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0，且a ≠1)的定义域为R ，求参数范围时，要注意分p ＝0，p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12，c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12，所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考法四对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c b >c解析：选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1，b ＝log 20.3<log 20.5＝－1，c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2.答案： 2[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析：选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy )，因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：选A 由函数f (x )的解析式可得：f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4， ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A ，C ；当x >0时，y ＝ln x ，只有B项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝(－∞，log a 2＋5)，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，得1<a ≤2.综上所述，选C.6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.7．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[ 12，23 ]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 8．(2019·六安一中一模)计算：(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析：原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案：269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，解得a >4，且0<a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a－6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9.答案：911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a(3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.[C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：因为点A 的纵坐标为2，所以令2x ＝2，解得点A 的横坐标为12，故x D ＝12.令x 12＝2，解得x ＝4，故x C ＝4.所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14，故y D＝14，所以D ⎝⎛⎭⎫12，14.答案：⎝⎛⎭⎫12，143．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：9。

第09讲-对数与对数函数(讲义版)

第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、经典例题考点一对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三对数函数的性质及应用【例3－1】已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b <≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值（1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域；（2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明；（3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠．（1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明；（3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。

高考数学第一轮基础复习对数与对数函数课件

对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
(2)(2011·苏北四市二模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
分析：(1)由11－＋aa与11＋－aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
a
x2、x3 的大小关系是( )
答案：D
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．

浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时82.6对数与对数函数课件

§ 2.6对数与对数函数教材研读1.对数的概念2.对数的性质与运算法则3.对数函数的图象与性质4.对数函数与指数函数的性质比较考点突破考点一对数的求值与化简考点二对数函数的图象与应用考点三对数函数的性质及应用教材研读对数的概念及运算1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=loga N,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的基本性质(a >0且a ≠1,N >0)a.log a 1=0;log a a =1;b.=②N ;log a a N=③N .(2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么a.log a (MN )=log a M +log a N ;b.log a =log a M -log a N ;log a N a M Nc.log a M n=n log a M (n ∈R).(3)对数的换底公式及推论a.log a N =(a ,b >0,a ,b ≠1,N >0);b.lo b n =④log a b (a ,b >0且a ≠1,m ,n ∈R 且m ≠0);c.log a b ·log b a =1(a ,b >0且a ,b ≠1);d.log a b ·log b c ·log c d =log a d (a ,b ,c 均大于0且不等于1,d 大于0).log log b b N ag m a n m3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质定义域:⑤(0,+∞)值域:⑥R过定点⑦(1,0),即⑧x=1时,⑨y=0当x>1时,⑩y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数知识拓展1.快速判断log a x符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+∞),当a与x位于这两个区间中的同一个时,log a x>0,否则log a x<0.2.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=log a x,y=log b x,y=log c x,y= x(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.logd作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D( b,1),得到底数的大小关系是b>a>1>d>c>0.4.对数函数与指数函数的性质比较1.(教材习题改编)函数f(x)=log2x2的大致图象是(D)2.已知1<m<n,令a=(log n m)2,b=log n m2,c=log n(log n m),则(D)A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b3 43 0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭3.若log a <1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是∪(1,+∞).4. 函数f (x )=lg 的定义域是{x |x >3或x <-2} ,函数g (x )=lg(x -3)-lg(x+2)的定义域是{x |x >3} .32x x -+5.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为.2 3对数的求值与化简典例1(1)(2016浙江理,12,6分)已知a >b >1.若log a b +log b a =,a b =b a ,则a =4 ,b =2.(2)给出下列等式:①lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=2;②2(+)lo =5;5232(32)g 5考点突破③=-;④(log 23+log 49+log 827+…+lo 3n )log 9=.其中计算正确的序号是①③④.2(lg3)lg91(lg 27lg8lg 1 000)lg0.3lg1.2-++-⨯322g n 32n 52解析(1)令log a b =t ,∵a >b >1,∴0<t <1,由log a b +log b a =得,t +=,解得t =或t =2(舍去),即log a b =,∴b 又a b =b a ,∴a ,即,,解得a =4,∴b =2.(2)①原式=2lg 5+lg 2×(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2×(1+lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2;②)lo +5)lo ;521t 521212a a a a 2a a a 2a 3232g 53232g 3232g +15③原式===-;④原式=()log 932=n log 23·log 932=·=·=.233(lg3)2lg31lg33lg 222(lg31)(lg32lg 21)⎛⎫-++- ⎪⎝⎭-⋅+-3(1lg3)(lg32lg 21)2(lg31)(lg32lg 21)-⨯+--⨯+-322222log 3log 3log 3log 3n +++⋯+　个1n 1nlg3lg 2lg32lg9lg3lg 25lg 22lg352方法指导对数式求值化简的思想方法(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底数对数的积、商、幂再进行运算.易错警示对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]=log2(-3)+log2(-4)的错误.1-1(2017浙江台州调研)已知a =2x ,b =,则log 2b =,满足log a b ≤1的实数x 的取值范围是(-∞,0)∪.234434,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析log 2b =log 2=.利用换底公式,不等式log a b ≤1变形为≤1,即≤1,解得x <0或x ≥.2344322log log 2x b 43x 431-2给出下列等式:①+log 2=-2;②|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02=6;③lo (2+)=-2;④=-3.其中计算正确的序号是①②④.222(log 5)4log 54-+1521lg 4lg343⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(23)g -35493257log 2log 811log log 43⋅⋅解析①原式=|log 25-2|+log 25-1=log 25-2-log 25=-2;②原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6;③原式=lo =lo )-1=-1;④原式==-3.(23)g 23-(23)g 31lg 24lg32lg52lg7lg32lg 22lg53lg7⋅⋅-⋅典例2(1)若函数y=loga x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( B)对数函数的图象与应用(2)函数f (x )=若a ,b ,c ,d 互不相同,且f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则abcd 的取值范围是(A )A.(24,25)B.[16,25)C.(1,25)D.(0,25]2|5||log |,04,2,4,x x x x -<≤⎧⎨>⎩解析(1)由题图可知y =log a x 的图象过点(3,1),∴log a 3=1,即a =3.A 项,y =在R 上为减函数,错误;B 项,y =x 3符合;C 项,y =(-x )3=-x 3在R 上为减函数,错误;D 项,y =log 3(-x )在(-∞,0)上为减函数,错误.(2)不妨设a <b <c <d ,作出函数f (x )的图象,如下图,13x⎛⎫ ⎪⎝⎭根据函数图象,若存在a <b <c <d 满足f (a )=f (b )=f (c )=f (d ),则<a <,2<b <4<c <5<d <6,14125-c=2d-5,且-log2a=log2b,2所以ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c)=-c2+10c.由4<c<5,易得adcd∈(24,25).故选A.方法指导(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.(2)对一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应函数图象问题,利用数形结合法求解.2-1(2019嘉兴一中月考)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( D )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y> 0,即log a c>0,所以0<c<1.2-2若不等式x 2-log a x <0对任意x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( B )A.{a |0<a <1}B.C.{a |a >1}D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1|116a a ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭1|016a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭解析由x 2-log a x <0得x 2<log a x ,设f 1(x )=x 2, f 2(x )=log a x ,x ∈时,要使不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=x 2在上的图象在f 2(x )=log a x 在上的图象的下方即可.当a >1时,显然不成立;当0<a <1时,如图所示, f 1≤f 2,所以有≤log a ,解得a ≥,∴≤a <1.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭212⎛⎫ ⎪⎝⎭12116116典例3(2019河北石家庄模拟)已知函数y =f (x )的图象关于直线x =0对称,当x ∈(0,+∞)时, f (x )=log 2x ,若a =f (-3),b =f ,c =f (2),则a ,b ,c 的大小关系是(D )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.a >c >b 14⎛⎫ ⎪⎝⎭对数函数的性质及应用命题方向一比较大小解析由函数y =f (x )的图象关于直线x =0对称得,y =f (x )是偶函数,由x ∈(0,+∞)时, f (x )=log 2x 得, f (x )在(0,+∞)上单调递增,又a =f (-3)=f (3),<2<3,所以f <f (2)<f (3),即a >c >b ,故选D.1414⎛⎫ ⎪⎝⎭方法技巧比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.命题方向二解简单对数不等式典例4(2019广西三市联考)已知在(0,+∞)上函数f (x )=则不等式log 2x -(lo 4x -1)f (log 3x +1)≤5的解集为(C )A. B.[1,4] C. D.[1,+∞)2,01,1,1,x x -<<⎧⎨≥⎩14g 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1,43⎛⎤ ⎥⎝⎦解析由题意知,原不等式等价于或解得1≤x ≤4或<x <1,∴原不等式的解集为.故选C.3214log 11,log (log 41)5x x x +≥⎧⎪⎨--≤⎪⎩32140log 11,log 2(log 41)5,x x x <+<⎧⎪⎨+-≤⎪⎩131,43⎛⎤ ⎥⎝⎦方法技巧解对数不等式的类型及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式,借助y =log a x 的单调性求解,若a 的取值不确定,则需分a >1与0<a <1两种情况讨论.(2)形如log a x >b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式.命题方向三对数函数性质综合应用典例5(2018浙江温州十校模拟)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则(A)A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a )<0解析易知函数f (x )=e x+x -2是R 上的增函数,且f (0)=-1<0, f (1)=e-1>0,故0<a <1,且x >a 时, f (x )>0;x <a 时,f (x )<0.又易知g (x )=ln x +x 2-3在(0,+∞)上是增函数,且g (1)=-2<0,g 故1b 时,g (x )>0;0<x 0,g (a )<0,故选A.3333方法指导与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1)确定定义域;(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);(3)分别确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=f( g(x))为减函数,即“同增异减”.3-1已知a =,b =log 2,c =lo ,则(C )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a132-1312g 13解析由指数函数及对数函数的单调性易知0<<1,log 2<log 21=0,lo >lo =1,故选C.132-1312g 1312g 123-2已知函数f (x )=lg (a ≠1)是奇函数.(1)求a 的值;(2)若g (x )=f (x )+,x ∈(-1,1),求g +g 的值.11x ax++212x +12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪⎝⎭解析(1)因为f (x )为奇函数,所以对定义域内任意x ,都有f (-x )+f (x )=0,即lg +lg =lg =0,所以a =±1,又a ≠1,所以a =-1.(2)因为f (x )为奇函数,所以f +f =0,令h (x )=,11x ax --11x ax ++22211x a x --12⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭212x +则h +h +=2,所以g +g =2.12⎛⎫ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪⎝⎭12+2112+12⎛⎫- ⎪⎝⎭12⎛⎫ ⎪⎝⎭。

浙江新高考数学一轮复习(教学指导)对数与对数函数

第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1 对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)推广：log am b n＝nm log a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>10<a<1 图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数在同一平面直角坐标系中，分别作出对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x (a ＞1，b ＞1，0＜c ＜1，0＜d ＜1)的图象，如图所示．作出直线y ＝1，分别与四个图象自左向右交于点A (c ，1)，B (d ，1)，C (a ，1)，D (b ，1)，得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象，单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________．解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x 的反函数，则f (2)＝________．解析：由题意知f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x )＋1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过点________．解析：当4－x ＝1即x ＝3时，y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.所以c >a >b .答案：c >a >b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝⎛⎦⎤12，1.答案：⎝⎛⎦⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______，2log 23＋log 43＝________． (2)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23，所以2a ＋2－a ＝2log 23＋2－log 23 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 33 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝⎛⎭⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________．解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2) ＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上，且m >0，n >0，则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过A (－3，－1)，由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得，－3m ＋－1n ＝－1，即3m ＋1n ＝1，故3m ＋n ＝(3m ＋n )×⎝⎛⎭⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝⎛⎭⎫n m ＋mn ，因为m >0，n >0，所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn，即m ＝n 时取等号)，故3m ＋n ＝10＋3⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16，故选B. 【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的性质得0<a <1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c >0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知0<c <1.2．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0，1)，则log b a ＝________．解析：f (x )的图象过两点(－1，0)和(0，1)．则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题．角度一求对数型函数的定义域函数f (x )＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－∞，54C.⎝⎛⎦⎤54，32D.⎝⎛⎭⎫54，32【解析】要使函数有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1，54<x ≤32.故函数f (x )的定义域为⎝⎛⎦⎤54，32. 【答案】 C角度二比较对数值的大小(1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 215)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b >c B ．a >c >b C ．b >a >cD ．b >c >a【解析】 (1)由f (x )是奇函数可得，a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f (log 25)，因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，且函数f (x )是增函数，所以c log 33＝1，b ＝log 23<log 22＝1，所以a >b ，又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1，c >0，所以b >c ，故a >b >c .【答案】 (1)C (2)A 角度三解对数不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】 C角度四与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x |( ) A ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B ．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |为偶函数，又函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上单调递增，由其图象关于y 轴对称可得，y ＝lg|x |在区间(－∞，0)上单调递减，故选B.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)B (2)[1，2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．②形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是( )A.16≤a <14或a >1 B ．a >1 C.18≤a <14 D.15≤a ≤14或a >1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x |，y ＝log a t ，当a >1时，外函数为递增函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递增函数，所以1a <3或4≤12a ，解得a >13或a ≤18，所以a >1，当0<a <1时，外函数为递减函数，所以内函数t ＝|ax 2－x |，x ∈[3，4]，要为递减函数，12a ≤3<4<1a ，解得16≤a <14，综上所述，16≤a <14或a >1，故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f (x )＝lg(2x －4)，则方程f (x )＝1的解是________，不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为f (x )＝1，所以lg(2x －4)＝1，所以2x －4＝10，所以x ＝7；因为f (x )<0，所以0<2x －4<1，所以2<x <2.5，所以不等式f (x )<0的解集是(2，2.5)．答案：7 (2，2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax 2＋2x (a ，b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有y max ＝3，y min ＝52，试求a ，b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，因为x ∈[－32，0]，所以t ∈[－1，0]．(1)若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，所以a t ∈[1a，1]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，所以a t ∈[1，1a]，则b ＋ax 2＋2x ∈[b ＋1，b ＋1a]，依题意得⎩⎨⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.综上，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x 的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.因为f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，所以要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x <0.3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg 5(用p 、q 表示)等于( )A.3p ＋q5B.1＋3pq p ＋qC.3pq 1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p ，所以lg 3＝3p lg 2，又因为log 35＝q ，所以lg 5＝q lg 3，所以lg 5＝3pq lg 2＝3pq (1－lg 5)，所以lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.4．若函数f (x )＝a x－1的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，a ＝32. 所以g (x )＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g (0)＝0，且g (x )在定义域上是减函数，故排除A ，B ，C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f (x )＝log 12|x －1|，则下列结论正确的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0)<f (3) B ．f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (3) C ．f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－12<f (0) D ．f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫－12 解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫－12＝log 1232，因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0，所以－1<f ⎝⎛⎭⎫－12<0；f (0)＝log 121＝0；f (3)＝log 122＝－1，所以C 正确．6．设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2] B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析：选B.因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减，令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x ∈[－1，1]，所以x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，故选B.7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a ，b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )，则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b )＝k ，所以a ＝2k ，b ＝5k ，a ＋b ＝10k ，所以ab ＝10k ，所以a ＋b ＝ab ，则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a－1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83，当0<a <1时，f (x )在x ∈[1，2]上是增函数，由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a <0，所以a >4，且a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0＜x ≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f (a )＝f (b )＝f (c )，可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c ，则ab ＝1，bc ＝9，故a ＝1b ，c ＝9b ，则a ＋b ＋c ＝b ＋10b ，又b ∈(1，3)，位于函数f (b )＝b ＋10b 的减区间上，所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎫193，11 11．函数f (x )＝log 12(a x －3)(a >0且a ≠1)．(1)若a ＝2，求函数f (x )在(2，＋∞)上的值域；(2)若函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x －3＝2x －3，则它在(2，＋∞)上是增函数，所以t >22－3＝1，由复合函数的单调性原则可知，f (x )＝log 12(2x －3)在(2，＋∞)上单调递减，所以f (x )<f (2)＝log 121＝0，即函数f (x )在(2，＋∞)上的值域为(－∞，0)．(2)因为函数f (x )在(－∞，－2)上单调递增，根据复合函数的单调性法则，所以t ＝a x－3在(－∞，－2)上单调递减且恒为正数，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，t min >a －2－3≥0，解得0<a ≤33.[综合题组练]1．设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z解析：选D.设2x ＝3y ＝5z ＝k >1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0，所以2x >3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5<0，所以3y <5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0，所以5z >2x .所以5z >2x >3y ，故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A.f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f (x )＝ln(e 2x ＋1)－mx 为偶函数，其中e 为自然对数的底数，则m ＝________，若a 2＋ab ＋4b 2≤m ，则ab 的取值范围是________．解析：由题意，f (－x )＝ln(e －2x ＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx ，所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)＝2x ，所以m ＝1，因为a 2＋ab ＋4b 2≤m ，所以4|ab |＋ab ≤1，所以－13≤ab ≤15，故答案为1，⎣⎡⎦⎤－13，15. 答案：1 ⎣⎡⎦⎤－13，15 4．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)，由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)，即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)，即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1，解得13≤a ≤3.答案：⎣⎡⎦⎤13，3。

浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第2章第6讲对数与对数函数含解析

第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nmlog a M(m，n∈R，且m≠0).(3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >logb x ，则a 0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D3.(必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.(2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________.解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案942 5.(2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________.解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3. 答案－123 36.若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________.解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一对数的运算【例1】 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析 (1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 (1)A (2)－20规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2017·北京东城区综合练习)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为( ) A.24 B.16 C.12 D.8(2)(2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案 (1)A (2)－1考点二对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2017·金华调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x－a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 (1)B (2)a >1规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.(1，2)D.(2，2)解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.(2)由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示). 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 (1)C (2)B考点三对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度一比较对数值的大小【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a cc b解析由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确. log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二解对数不等式【例3－2】若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度三对数型函数的性质【例3－3】已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. (3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以，c 最大. 由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 (1)D (2)⎝⎛⎭⎪⎫1，83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定. [易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.2.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·四川卷)设a ，b 为正实数，则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当a >b >1时，有log 2a >log 2b >log 21＝0；当log 2a >log 2b >0＝log 21时，有a >b >1. 答案 A2.(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <c B.a ＝b >c C.a b >c解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )解析由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A.5B.3C.－1D.72解析由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A.(a －1)(b －1)<0 B.(a －1)(a －b )>0 C.(b －1)(b －a )<0D.(b －1)(b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a ba>0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<ba <1，则b >a >1或00. 答案 D 二、填空题6.设f (x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________. 解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0. 答案 (－1，0)7.(2017·绍兴调研)已知5lg x ＝25，则x ＝________；已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f (ab )＝1，所以lg(ab )＝1，即ab ＝10，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2. 答案 100 28.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1，2]. 答案 (1，2] 三、解答题9.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值.解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)，∴a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1，3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.10.(2016·衡阳月考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2017·长沙质检)设f (x )＝ln x ，0<a pD.p ＝r >q解析 ∵0<a ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________. 解析由题意可知lna 1－a＋lnb 1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，1413.(2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4. 答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18.当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈(0，1). ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f (x )取得最小值时，x ＝(2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f (x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.15.已知函数f (x )＝lg 1＋x1＋ax(a ≠1)是奇函数. (1)求a 的值； (2)若g (x )＝f (x )＋21＋2x ，x ∈(－1，1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f (－x )＋f (x )＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1，由条件知a ≠1，所以a ＝－1.(2)因为f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.令h (x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。

浙江专版高考数学一轮复习第三章函数导数及其应用第七节对数与对数函数课件

的对_数____，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数， N叫做真数，logaN叫做对数式
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔_x_＝__l_o_g_aN__
loga1＝0，logaa＝1，alogaN ＝_N__
loga(M·N)＝__l_o_g_aM__＋__l_o_g_aN___ loga MN ＝_l_o_g_aM__－__l_o_g_aN__
则 f(f(1))＋f
log3
12的值
是________．
解析：因为 f(1)＝log21＝0，所以 f(f(1))＝f(0)＝2. 因为 log312＜0，所以 f log312＝3－log312＋1 ＝3log32＋1＝2＋1＝3. 所以 f(f(1))＋f log312＝2＋3＝5.
答案：5
[谨记通法]
解析：log2 22＝log2 2－log22＝12－1＝－12； 2 log 23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2 3＝3 3. 答案：－12 3 3
必过易错关
1．在运算性质 logaMα＝αlogaM 中，要特别注意条件，在无 M>0 的条件下应为 logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且 α 为偶数)．
对数运算的一般思路 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并； (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．如“题组练透”第 1 题易错．
考点二对数函数的图象及应用
[典例引领]
(2018·杭州模拟)设 f(x)＝|ln(x＋1)|，已知 f(a)＝f(b)(a<b)，则( )
第七节对数与对数函数

【创新设计】(浙江专用)高考数学总复习第二篇函数与导数第6讲对数与对数函数课件理

( )．
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>a>b
[教你审题] 第 1 步变成以 2 为底的对数；第 2 步比较真数的大小；
第 3 步根据对数的单调性得出结论．
[一般解法] b＝log43.2＝log2 3.2，c＝log43.6＝log2 3.6， ∵3.6> 3.6 > 3.2，∴a>c>b. [优美解法] a＝log23.6＝log43.62＝log412.96， ∵y＝log4x 在(0，＋∞)上为单调增函数，而 3.2<3.6<12.96， ∴a>c>b，选 B. [反思] ①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较； ②当底数不同，真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象，数形结合解决； ③当不同底数，不同真数时，则可利用中间量进行比较．
(4)当x＞1时，_y_＞__0__
(5)当x＞1时，_y_＜__0_
当0＜x＜1时，_y_＜__0__
当0＜x＜1时，_y_＞__0_
(6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
【助学·微博】两个防范解决有关对数函数的问题 (1)优先考虑定义域；(2)注意对数底数的取值范围．四种方法对数值的大小比较方法： (1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．
(2)画出函数 y＝4x 与 y＝logax 的大致图象如图，则只需满足 loga12>2，解得 a> 22，∴ 22<a<1，故选 B.
答案 (1)(-∞，-1) (-1，+∞) (2)B

高考数学讲义对数与对数函数.板块一.对数与对数运算.教师版

一、对数的定义如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）.二、对数的运算性质 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+. log log log aa a MM N N=-. log log n a a M n M =.（0M >，0N >，0a >，1a ≠）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ；（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．题型一：对数的定义与对数运算【例1】 ⑴将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①45625=；②61264-=；③1 5.733m⎛⎫= ⎪⎝⎭；④12log 164=-；⑤lg0.012=-；⑥ln10 2.303=.⑵求下列各式中x 的值：①642log 3x =-；②log 86x =；③lg100x =；④2ln e x -=.【考点】对数的定义与对数运算【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】典例分析板块一.对数运算【答案】⑴①5log 6254=；②21log 664=-；③13log 5.73m =；④41()162-=；⑤2100.01-=； ⑥ 2.30310e =. ⑵①()2232331644416x ---====；②68x =，又0x >，∴11136628(2)2x ==== ③21010010x ==，∴2x =；④2x e e -=，∴2x =-.【例2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=；（2）327a =；（3）1100.1-=；（4）12log 325=-；（5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606.【考点】对数的定义与对数运算【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（1）21log 7128=-；（2）3log 27a =；（3）lg0.11=-；（4）51()322-=；（5）3100.001-=；（6） 4.606100e =.【例3】将下列对数式写成指数式：（1）12log 164=-；（2）2log 1287=；（3）lg0.012=-；（4）ln10 2.303=【考点】对数的定义与对数运算【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】（1）16)21(4=-（2）72128=；（3）2100.01-=；（4）303.2e =10【例4】已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（）.A. 1B. 2C. 8D. 12【考点】对数的定义与对数运算【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例5】计算下列各式的值：（1）lg0.001；（2）4log 8；（3）【考点】对数的定义与对数运算【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）设lg0.001x =，则100.001x =，即31010x -=，解得3x =-. 所以，lg0.0013=-.（2）设4log 8x =，则48x =，即2322x =，解得32x =. 所以，43log 82=.（3）设x ，则x e 12xe e =，解得12x =. 所以，12=.【答案】lg0.0013=-，43log 82=，12=【例6】 ⑴9log 27，⑵，⑶((2log 2-，⑷【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】解法一：⑴设x =9log 27,则927,x =2333x =,∴32x = ⑵设x =则81x=,4433x =,∴16x =⑶令x =((2log 2-=((12log 2-+,∴((122x-+=+,∴1x =-⑷令x =,∴625x=,44355x =,∴3x =解法二：⑴3329993log 27log 3log 92===；⑵1616==⑶((2log 2-=((12log 21-=-⑷33==k【答案】⑴32x =⑵16x = ⑶1x =- ⑷3x =【例7】）. A. 1B. －1C. 2D. －2【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】B【例8】 25log ()a -（0a ≠）化简得结果是（）.A. a -B. 2aC. aD.a【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例9】化简3log 1的结果是（）.A.12B. 1C. 2 【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】A【例10】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ . 【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】1【例11】计算：()2151515log 5log 45log 3⋅+【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】原式 ()()()215151515151515log 5log 31log 3log 5log 3log 5log 3=++=++151515151515log 5log 3log 15log 5log 3log 151+=+== 解二：原式 = 215151515log log (153)(log 3)3⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭()()()21515151log 31log 3log 3=-++ ()()2215151log 3log 31=-+=【答案】1【例12】化简与求值：（1）21lg2lg52+g（2）2log .【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）原式=211(lg2)lg2lg522++g 211lg 2lg2lg51)42+-g=2111lg 2lg2lg5lg21422+-+g =1lg 2(lg 22lg52)14+-+=1lg 2(lg1002)10114-+=+=.（2）原式=1222log ⨯=221log 2=21log (442=21log 142.【答案】（1）1，（2）21log 142【例13】若2510a b ==，则11a b+= . 【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】由2510a b ==，得2log 10a =，5log 10b =. 则251111lg 2g5lg101log 10log 10a b +=+=+==.【答案】1【例14】化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是（）.A .1 B.32C. 2D.3 【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】【答案】C【例15】计算：① 50.21log 3-②4912log 3log 2log ⋅-【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ①原式0.25log 31log 3555151553==== ②原式22115153log 3log 2224442=⋅+=+=【答案】①15，②32【例16】求下列各值：⑴221log 36log 32-；⑵log ；⑶lg1；⑷3log 53；⑸3log 59；⑹3log 3；⑺；⑻22(lg5)lg 2lg 25(lg 2)+⋅+；⑼827log 9log 32⋅.【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】⑴22221log 36log 3log log 212-===；⑸33log 52log 5293525===；⑺1lg33212lg33==；⑻22222(lg5)lg 2lg 25(lg 2)(lg5)2lg 2lg5(lg 2)(lg5lg 2)1+⋅+=+⋅+=+=；⑼827lg9lg322lg35lg 210log 9log 32lg8lg 273lg 23lg39⋅=⨯=⨯=.【答案】⑴1；⑵12；⑶0；⑷5；⑸25；⑹9；⑺32；⑻1；⑼109【例17】求值：⑴2572lg3lg7lg lg 94++-；⑵；⑷32516log 4log 9log 5⋅⋅.【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ⑴2572542lg3lg7lglg lg(97)lg10029497++-=⨯⨯⨯==；⑵1lg55313lg55==；5111log 322453⨯===；⑷32516lg 4lg9lg52lg 22lg3lg51log 4log 9log 5lg3lg 25lg16lg32lg54lg 22⨯⨯⋅⋅=⨯⨯==⨯⨯.【答案】⑴2，⑵5312【例18】（1）化简：532111log 7log 7log 7++；（2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=gg g g g ，求实数m 的值. 【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）原式=77777log 5log 3log 2log (532)log 30++=⨯⨯=.（2）原式左边=2222222222log 4log 5log 2006log log 3log log 3log 4log 2005log 2006mm ⋅⋅⋅=g g g g g ,∴ 422log 4log 2m ==，解得16m =.换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数. 换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.【答案】（1）7log 30（2）16m =【例19】（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.【考点】对数的定义与对数运算【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）由log 2a m =，log 3a n =，得2m a =，3n a =. 所以，222()2312m n m n a a a +==⨯=.（2）由0a >且1a ≠，由于A B =，所以2a =.【答案】（1）12，（2）2a =题型二：对数运算法则的应用【例20】若a 、0b >，且a 、1b ≠，log log a b b a =，则A.a b =B.1a b=C.a b =或1a b=D.a 、b 为一切非1的正数【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 log log a b b a =22lg lg (lg )(lg )lg lg lg lg b a a b a b a b ⇒=⇒=⇒=±，得a b =或1a b=，故选C.【答案】C【例21】求证：（1）log n a a n =；（2）log log log a a aMM N N-=. 【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a -==，则log log log a a a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a a MM N N-=.对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到. 我们需熟知各种运算性质的推导.【答案】（1）设log n a a x =，则n x a a =，解得x n =.所以log n a a n =.（2）设log a M p =，log a N q =，则p a M =，q a N =.因为p p q q M a a N a -==，则log log log a a a M p q M N N=-=-.所以，log log log a a a MM N N-=.【例22】试推导出换底公式：log log log c a c bb a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）. 【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=. 所以，log log log c a c bb a=. 换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具. 其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.【答案】设log c b m =，log c a n =，log a b p =，则m c b =，n c a =，p a b =. 从而()n p m c b c ==，即np m =. 由于log log 10c c n a =≠=，则m p n=. 所以，log log log c a c bb a=【例23】下列各式中，正确的是（）A.2lg 2lg x x =B.1log log a a x n=C.log log log a a a x xy y=1log 2a x【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 B .选项A ，当0x <时，lg x 没有意义；选项C ，当1y =时，log 0a y =；选项D，1log log 2a a x =【答案】B【例24】已知1212log log log n a a a n b b b λ====L L求证：1212log ()na a a nb b b λ=L L【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由换底公式1212lg lg lg lg lg lg n nb b b a a a λ====L L 由等比定理得： 1212lg lg lg lg lg lg n n b b b a a a λ+++=+++L L ∴1212lg()lg()n n b b b a a a λ=L L∴12121212lg()log ()lg()nn a a a n n b b b b b b a a a λ==L L L L【答案】换底公式1212lg lg lg lg lg lg n nb b b a a a λ====L L 由等比定理得： 1212lg lg lg lg lg lg n n b b b a a a λ+++=+++L L ∴1212lg()lg()n n b b b a a a λ=L L∴12121212lg()log ()lg()nn a a a n n b b b b b b a a a λ==L L L L【例25】已知32a =，用 a 表示33log 4log 6-【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵32a = ∴ 3log 2a =∴33log 4log 6-=332log log 2113a =-=-【答案】1a -【例26】若32a =，则33log 82log 6-＝ .【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】【答案】2a -.【例27】已知3log 2a =，35b =用a b ，表示3log【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵35b = ∴3log 5b = 又∵3log 2a =∴log =()()3333111log 235log 2log 3log 5(1)222a b ⨯⨯=++=++【答案】1(1)2a b ++【例28】已知(0,0,1)ab m a b m =>>≠且log m b x =，则log m a 等于A.1x -B.1x +C.1xD.1x -【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 ∵(0,0,1)ab m a b m =>>≠∴log log 1log 1m m m ma b x b==-=-. 【答案】A【例29】已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8.【考点】对数运算法则的应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】30103lglg83lg 23(1lg5)3(1)5log 8lg30lg10lg3lg10lg31lg31m n--=====++++. 【答案】3(1)1m n-+【例30】（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.【考点】对数运算法则的应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）由18log 9a =，得到189a =. 设18log 45z =，则1845z =.因为1895181818z a b a b +=⨯=⨯=，所以z a b =+，即18log 45a b =+. （2） 141414141435141414142log log 28log 7log 42log 27log 28log 35log 7log 5a a a ba b+++====+++142(1log 7)2(1)2a a a aa b a b a b+-+--===+++ 【答案】（1）18log 45a b =+（2）2aa b-+【例31】已知2log 3a =，37b =，求12log 56【考点】对数运算法则的应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】法一：已知2log 3a =，原式可化成：221222log 56log 73log 56log 12log 32+==+2log 732a +=+ 设2log 7m =，则27m =，由37v =，可知23m b =，∴22log 3log 3b m b ab ===∴原式32ab a +=+法二：∵2log 3a =，∴23a =又37b =，∴7(2)2a b ab ==，故3562ab += 又21234242a a +=⋅=⋅= 从而3322256(2)12ab ab a a a +++++==，故3212123log 56log 122ab a aba +++==+法三： ∵2lg3log 3lg 2a ==，∴lg3lg2a = 又37b =∴lg7lg3b =，∴lg7lg2ab =从而12lg563lg 2lg7log 56lg122lg 2lg3+==+ 3lg 2lg 232lg 2lg 22ab aba a ++==++ 法四：∵32log a =，∴31log 2a= 又37b =∴3log 7b =从而33312333log 56log 7log 8log 56log 12log 3log 4+==+33313log 73log 23112log 2212b ab a a a+⋅++===+++⋅ 【答案】32ab a ++【例32】 8log 3p =，3log 5q =，那么lg5等于（用p ，q 表示）；【考点】对数运算法则的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】无【解析】 ∴33333log 5log 53lg51log 10log 2log 5133q pqpqq p====+++；换底公式的一个重要应用：log log 1m n n m ⋅=【答案】313pqpq+【例33】知18log 9a =，185b =，用,a b 表示36log 45.【考点】对数运算法则的应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】18log 9a =，18log 5b =， ∴1818181818361818181818log 45log 9log 5log 9log 5log 4518log 36log 18log 22log 18log 9a ba+++====+-+.181818log 2log 9=，将未知转化为已知，是对数函数运算性质的重要应用. 【答案】2a ba+-【例34】设,,x y z 均为实数，且34x y =，试比较3x 与4y 的大小.【考点】对数运算法则的应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由34x y =，得到33log 4log 4y x y ==.从而4333333381343log 44(3log 44)log log log 10464x y y y y y y y -=-=-==>=，所以34x y >【答案】34x y >题型三：对数方程【例35】求底数：（1）533log -=x , （2）872log =x【考点】对数方程【难度】1星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）53355333---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x , ∴353-=x（2）87788722⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==x , ∴2=x 【答案】（1）353-=x ，（2）2=x【例36】已知2(3)log (3)1x x x ++=，求实数x 的值.【考点】对数方程【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】答案：1x =错解：由对数的性质可得：233x x x +=+ 解得：1x =或3x =-错解分析：对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了.正解：由对数的性质22333030x x x x x x ⎧+=+⎪+>⎨⎪+>⎩解得：1x =，故实数x 的值为1【答案】1【例37】已知log log a a x c b =+，求x【考点】对数方程【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】解法一：由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a⋅=log b a c ⋅=解法二：由已知移项可得log log a a x c b -=，即log a xb c= 由对数定义知：b xa c= ∴b x c a =⋅ 解法三：∵log b a b a = ∴log log log log b b a a a a x c a c a =+=⋅ ∴b x c a =⋅【答案】b x c a =⋅【例38】证明：log 1log log a a ab xb x=+ 【考点】对数方程【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】证法1：设 log a x p = ，log ab x q =，log a b r =则：p x a = ()q q q x ab a b == r b a =∴(1)()p q q r a ab a +== 从而 (1)p q r =+ ∵ 0q ≠ ∴1pr q=+ 即：log 1log log a a ab x b x =+（获证）证法2：由换底公式左边＝log log log 1log log log a x a a ab x x abab b x a===+＝右边【答案】证法1：设 log a x p = ，log ab x q =，log a b r =则：p x a = ()q q q x ab a b == r b a = ∴(1)()p q q r a ab a +== 从而 (1)p q r =+ ∵ 0q ≠ ∴1pr q=+ 即：log 1log log a a ab x b x =+（获证）证法2：由换底公式左边＝log log log 1log log log a x a a ab x x abab b x a===+＝右边【例39】求x 的值：①43log 3-=x ②35log 2-=x ③()()1123log 2122=-+-x x x④()[]0log log log 432=x【考点】对数方程【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ①2713443==-x②53312x -==③2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x但必须：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x④()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x【答案】，③-2，④64【例40】解方程24lg lg 3x x +=【关键词】无【解析】方程24lg lg 3x x +=即为2lg 4lg 3x x +=，则1lg 2x =所以x =，即x =【答案】x =【例41】方程lg lg(3)1x x ++=的解x = ；【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由lg lg(3)1x x ++=，得lg[(3)]lg10x x +=，即(3)10x x +=，整理为23100x x +-=. 解得5x =-或2x =. ∵0x >， ∴2x =【答案】2x =【例42】设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x g 的值是 .【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】设lg x t =，则原方程化为20t at b ++=，其两根为1122lg ,lg t x t x ==.由121212lg lg lg()lg10b t t x x x x b +=+===g ，得到1210b x x =g .同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质. 第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【答案】（2）10b【例43】解方程()()1212log 21log 222x x --+--=-【关键词】无【解析】原方程可化为：()()()22log 211log 2212x x--⎡⎤---=-⎣⎦ 即：()()22log 21log 2112x x --⎡⎤--+=⎣⎦令()2log 21x t -=-，则220t t +-= 解之得2t =-或1t =∴()2log 212x --=-或()2log 211x --= 解之得：25log 4x =-或2log 3x =- 【答案】25log 4x =-或2log 3x =-【例44】解方程1222log (22)log (21)x x ++=+【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】由题意有2221log (21)log (21)x x ++=+，设2log (21)(0)x t t =+>，则21t t+=，解得1t =或2t =-（舍去），即2log (21)1x +=，∴0x =为方程解.【答案】0【例45】已知12()x f x a-=，且(lg )f a =a 的值.【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵12()x f x a-=，∴11lg 22(lg )10a f a a-==，两边取常用对数，得11lg 22lg lg10a a-=∴11lg lg 22a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即211(lg )lg 022a a --=，∴lg 1a =或1lga =-，由此得10a =或a =.【答案】10【例46】解方程2lg lg 1020x x x +=【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】原方程即为()lg lg lg 1020xx x x +=，得()lg 220x x =，即lg 10x x = 两边同时去lg ，得到lg lg 10x x =即2lg 1x =，lg 1x =±所以10x =或110【答案】10x =或110【例47】设a 为实常数，解关于x 的方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-.【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】将原方程等价转化为含有参数的二次函数的实根分布问题，需要分类讨论，注意x 的定义域限制.原方程等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-->->->-xa x x x a x x )3)(1(0301，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-<<<③②①0)3(5312a x x ax x 方程③的判别式)3(425+-=∆a .当0<∆，即413>a 时方程无实根；当0=∆，即413=a 时方程③有实根25=x 且满足①，②，即原方程有一个实根为25=x ；当0>∆，即413<a 时方程③有两个实根，分别是： 241351a x --=，=2x 24135a-+，分别代入①，②可得：4133<<a .综上可知：当a ≤1或4133<<a 时方程无实根；当1＜a ≤3或413=a 时方程有一实根分别为24135a x --=或25=x ；当4133<<a 时，方程有两个实根24135a x -±=.【答案】当a ≤1或4133<<a 时方程无实根；当1＜a ≤3或413=a 时方程有一实根分别为24135a x --=或25=x ；当4133<<a 时，方程有两个实根24135a x -±=【例48】设正数a ，b ，c 满足222c b a =+.（1）求证：1)1(log )1(log 22=-++++b ca a cb ；（2）又设1)1(log 4=++ac b ，32)(log 8=-+c b a ，求a ，b ，c 的值.【考点】对数方程【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】（1）利用对数函数的加法法则，将真数相乘，然后将条件直接代入求证；（2）利用所给条件可得到两个一次方程，再与已知条件联立，3个等式，3个未知数的方程组可解.（1）∵正数a ，b ，c 满足222c b a =+，22222()log (1)log (1)log [(1)(1)]log a b c a c b c a c a b c a b a b ab+-+-+-+++=++=21 222222log log 21a b ab c ab++-===. （2）由题意可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++32)(log 1)1(log 84c b a a c b ，化简可得⎩⎨⎧=-+=++-403c b a c b a ，解得22+=c a ，26+=c b 代入222c b a =+，得10c =，6a =，8b =.【答案】（1）∵正数a ，b ，c 满足222c b a =+，22222()log (1)log (1)log [(1)(1)]log a b c a c b c a c a b c a b a b ab+-+-+-+++=++=222222log log 21a b ab c ab++-=== （2）10c =，6a =，8b =.。

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§ 2.6对数与对数函数1.对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=logaN ,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的基本性质(a>0且a≠1,N>0)a.loga 1=0;logaa=1;b.a log a N=②N ;logaa N=③N .(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么a.loga (MN)=logaM+logaN;b.loga MN=logaM-logaN;c.loga M n=nlogaM(n∈R).(3)对数的换底公式及推论a.loga N=logb Nlog b a(a,b>0且a,b≠1,N>0);b.lo g a m b n=④nm logab (a,b>0且a≠1,m,n∈R且m≠0);c.loga b·logba=1(a,b>0且a,b≠1);d.loga b·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:⑤(0,+∞)值域:⑥R图象过定点⑦(1,0) ,即⑧x=1 时,⑨y=0 当x>1时,⑩y>0 ;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0 ;当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数知识拓展1.快速判断logax符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+∞),当a与x位于这两个区间中的同一个时,logax>0,否则logax<0.2.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是b>a>1>d>c>0.4.对数函数与指数函数的性质比较名称指数函数对数函数一般形式 y=a x (a>0且a≠1) y=log a x (a>0且a≠1)定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域(0,+∞)(-∞,+∞)单调性当 a>1 时为增函数,当 0<a<1 时为减函数当a>1时,若x>0,则 y>1 ; 若x=0,则 y=1 ; 若x<0,则 0<y<1 当a>1时,若x>1,则 y>0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若0<x<1,则 y<0 当0<a<1时,若x>0,则 0<y<1 ; 若x=0,则 y=1 ; 若x<0,则 y>1当0<a<1时,若x>1,则 y<0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若0<x<1,则 y>0图象 y=a x (a>0且a≠1)的图象与y=log a x(a>0且a≠1)的图象关于直线 y=x 对称1.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|y=lg(x-1)},则A∩(∁R B)=( ) A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,1)D.(-1,1]1.答案 D2.(2019浙江学考)函数f(x)=√2-x +log 2x 的定义域是( ) A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)2.答案 A3.若log a 34<1(a>0,且a≠1),则实数a 的取值范围是 .3.答案 (0,34)∪(1,+∞)4. 函数f(x)=lg x -3x+2的定义域是 ,函数g(x)=lg(x-3)-lg(x+2)的定义域是 .4.答案 {x|x>3或x<-2};{x|x>3}5.函数f(x)=|log 3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 . 5.答案 23考点一对数的化简与求值典例1 (2019浙江衢州五校联盟高三上联考)log 24+log 42= ,log a b+logba(a>1,0<b<1)的最大值为 .答案 52;-2解析 log 24+log 42= log 222+log 4412=2+12=52.由换底公式可得log b a=1log ab ,因为a>1,0<b<1,所以log a b<0,log b a<0,所以-log a b>0,-log b a>0, 所以(-log a b)+(-log b a)≥2,所以log a b+log b a=-[(-log a b)+(-log b a)]≤-2,当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,即log a b+log b a(a>1,0<b<1)的最大值为-2. 方法指导对数式化简求值的思想方法(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底数对数的积、商、幂再进行运算. 易错警示对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的,不能出现log 212=log 2[(-3)×(-4)]=log 2(-3)+log 2(-4)的错误.1-1 (2019浙江宁波高三上期末)已知实数a>0且a≠1,若log a 78=2,则a+1a = ;若0<log a 78<1,则实数a 的取值范围是 .答案15√1428;(0,78) 解析 ∵实数a>0且a≠1,log a 78=2, ∴a 2=78,∴a=√144, ∴a+1a =√144+4√14 =15√1428. ∵0<log a 78<1,∴当0<a<1时,0<a<78;当a>1时,无解, 综上,实数a 的取值范围是(0,78).考点二对数函数的图象与应用典例2 (1)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )(2)函数f(x)={|log 2x |,0<x ≤4,2|x -5|,x >4,若a,b,c,d 互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )A.(24,25)B.[16,25)C.(1,25)D.(0,25]答案 (1)B (2)A解析 (1)由题图可知y=log a x 的图象过点(3,1), ∴log a 3=1,即a=3.A 项,y=(13)x在R 上为减函数,错误; B 项,y=x 3符合;C 项,y=(-x)3=-x 3在R 上为减函数,错误;D 项,y=log 3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误. (2)不妨设a<b<c<d,作出函数f(x)的图象,如图,根据函数图象可知,若存在a<b<c<d 满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则14<a<12,2<b<4<c<5<d<6, 且-log 2a=log 2b,25-c =2d-5, 所以ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c)=-c 2+10c. 由4<c<5,易得abcd∈(24,25). 故选A.方法指导(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解.(2)对一些对数型方程、不等式问题的求解,常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.2-1 (2019嘉兴一中月考)已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案 D 由题图可知,函数在定义域内为减函数,所以0<a<1.又当x=0时,y>0,即log a c>0,所以0<c<1.2-2 若不等式x 2-log a x<0对任意x∈(0,12)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.{a|0<a<1} B.{a|116≤a <1} C.{a|a>1}D.{a|0<a ≤116}答案 B 由x 2-log a x<0得x 2<log a x,设f 1(x)=x 2, f 2(x)=log a x,x∈(0,12)时,要使不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x)=x 2在(0,12)上的图象在f 2(x)=log a x 在(0,12)上的图象的下方即可.当a>1时,显然不成立;当0<a<1时,如图所示, f 1(12)≤f 2(12), 所以有(12)2≤log a 12,解得a≥116,所以116≤a<1.考点三对数函数的性质及应用命题方向一比较大小典例3 (2019舟山中学第二次模拟)已知a=log 3e,b=ln 3,c=log 32,则a,b,c 的大小关系是( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c 答案 D解析 e=2.71828…,y=log 3x 是增函数,所以log 3e>log 32,即a>c,a=log3e<log 33=1,b=ln 3=log e 3>log e e=1,所以b>a>c,故选D.方法技巧比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.命题方向二解简单对数不等式典例4 已知f(x)=e x-1+4x-4,若正实数a 满足f (log a 34)<1,则a 的取值范围是( ) A.a>34B.0<a<34或a>43C.0<a<34或a>1D.a>1答案 C解析因为y=e x-1与y=4x-4都是R上的增函数, 所以f(x)=e x-1+4x-4是R上的增函数,又因为f(1)=e1-1+4-4=1,所以f(loga 34)<1等价于log a34<1,由1=loga a,知loga34<logaa,当0<a<1时,y=loga x在(0,+∞)上单调递减,故a<34,从而0<a<34;当a>1时,y=loga x在(0,+∞)上单调递增,故a>34,从而a>1,综上所述,a的取值范围是0<a<34或a>1,故选C. 方法技巧对数不等式的类型及求解方法(1)形如loga x>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,若a的取值不确定,则需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.命题方向三对数函数性质的综合应用典例5 (2018浙江温州十校模拟)设函数f(x)=e x+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则( )A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0答案 A解析易知函数f(x)=e x+x-2是R上的增函数,且f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0,故0<a<1,且x>a时, f(x)>0,x<a时,f(x)<0.又易知g(x)=ln x+x2-3在(0,+∞)上是增函数,且g(1)=-2<0,g(√3)=ln √3>0,故1<b<√3,且x>b时,g(x)>0,0<x<b时,g(x)<0.由0<a<1<b<√3,得f(b)>0,g(a)<0,故选A.方法指导与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)确定定义域;(2)弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的,将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x);(3)分别确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则y=f(g(x))为减函数,即“同增异减”.3-1 若函数f(x)=lo g 12(1+x 2)-11-2|x |,则使得f(x)≤f(2x -1)成立的x 取值范围是( ) A.(-∞,1]B.[13,12)∪(12,1]C.[13,1] D.(-∞,13]∪[1,+∞)答案 B 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当x>0时, f(x)=lo g 12(1+x 2)-11-2x ,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,易知f(x)是偶函数, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增, ∵f(x)≤f(2x -1), ∴|x|≥|2x -1|≠0, ∴3x 2-4x+1≤0且x≠12, 解得13≤x<12或12<x≤1,故使不等式成立的x 取值范围是[13,12)∪(12,1],故选B.3-2 已知函数f(x)=lg 1+x1+ax (a≠1)是奇函数. (1)求a 的值;(2)若g(x)=f(x)+21+2x ,x∈(-1,1),求g (12)+g (-12)的值.解析 (1)因为f(x)为奇函数,所以对定义域内任意x,都有f(-x)+f(x)=0, 即lg 1-x1-ax +lg 1+x1+ax =lg 1-x 21-a x =0, 所以a=±1, 又a≠1,所以a=-1.(2)因为f(x)为奇函数,所以f (12)+f (-12)=0, 令h(x)=21+2x,则h (12)+h (-12)=1+√2+21+1√2=2,所以g (12)+g (-12)=2.A 组基础题组1.设a,b,c 均为不等于1的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.log a b·log c b=log c aB.log a b·log c a=log c bC.log a (bc)=log a b·log a cD.log a (b+c)=log a b+log a c 1.答案 B2.(2019浙江台州中学月考)lg 2516-2lg 59+lg 3281=( ) A.lg 2B.lg 3C.4D.lg 52.答案 A3.在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )3.答案D4.为了得到函数y=lo g 12x 的图象,只需将函数y=log 22x+1的图象( )A.向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度4.答案 A y=log 22x+1=1+lo g 12(x+1),所以要得到y=lo g 12x 的图象,只需将y=log 22x+1的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,故选A. 5.(2019浙北四校高三模拟)若log m 2<log n 2<0,则( ) A.m<n<1 B.1<m<nC.n<m<1D.1<n<m5.答案 C ∵log m 2<log n 2<0, ∴lg2lgm <lg2lgn <0,∴lg n<lg m<0,则n<m<1.故选C.6.(2019浙江七彩联盟高三上期中)已知函数f(x)={2x +1,x ≤0,log 12x ,x >0,且f (m -12)=0,则不等式f(x)>m 的解集为( ) A.(0,√22) B.(0,√24)C.(-1,√24) D.(-1,+∞)6.答案 C 由函数f(x)={2x +1,x ≤0,log 12x ,x >0,可知x≤0时, f(x)>1,所以m-12>0,所以log 12(m -12)=0,解得m=32.所以f(x)>m 即f(x)>32,所以{x ≤0,2x+1>32或{x >0,log 12x >32,解得x∈(-1,0]或x∈(0,√24),即x∈(-1,√24). 故选C.7.(2019浙江台州模拟)已知函数f(x)={2x ,x <1,log 3x ,x ≥1,则f(0)= , f(f(0))= .7.答案 1;08.已知函数f(x)={2x ,x <1,log 2x ,x ≥1,则f(x)的值域是 ;若方程f(x)-a=0恰有一个实根,则实数a 的取值范围是 . 8.答案 [0,+∞);{0}∪[2,+∞)解析作出函数y=f(x)的图象(如图所示).由函数图象可知, f(x)的值域为[0,+∞).方程f(x)-a=0恰有一个实根,等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a 恰有一个交点, 故a=0或a≥2,即a 的取值范围是{0}∪[2,+∞).9.已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则xy 的最大值是 . 9.答案112解析由lg 2x +lg 8y =lg 2,知x+3y=1,即1≥2√3xy ,故xy≤112,当且仅当{x =12,y =16时,取等号.10.已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3-x). (1)判断f(x)的奇偶性并加以证明; (2)判断f(x)的单调性(不需要证明);(3)解关于m 的不等式f(m)-f(m+1)<0. 10.解析 (1)函数f(x)为偶函数. 证明:由{3+x >0,3-x >0得-3<x<3,∴函数f(x)的定义域为(-3,3).∵函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=lg(3-x)+lg(3+x)=f(x),∴函数f(x)为偶函数. (2)f(x)=lg(9-x 2), ∵y=lg u 为增函数,u=9-x 2在(-3,0)上是增函数,在(0,3)上是减函数, ∴f(x)在(-3,0)上是增函数,在(0,3)上是减函数. (3)f(m)-f(m+1)<0即f(m)<f(m+1),则{-3<m <3,-3<m +1<3,|m +1|<|m |⇒{-3<m <3,-4<m <2,m <-12,得-3<m<-12.∴关于m 的不等式f(m)-f(m+1)<0的解集为(-3,-12).B 组提升题组1.(2019温州中学月考)对于0<a<1,给出下列四个不等式: ①log a (1+a)<log a (1+1a ); ②log a (1+a)>log a (1+1a ); ③a 1+a<a 1+1a ; ④a 1+a >a1+1a.其中成立的是( ) A.①③B.①④C.②③D.②④1.答案 D 因为0<a<1,所以(1+a)-(1+1a )=(a+1)(a -1)a<0,则1+a<1+1a ,所以②④成立.2.(2019浙江高三模拟)若函数f(x)={-x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a>0且a≠1)的值域为[4,+∞),则f(1)= ,实数a 的取值范围是 .2.答案5;(1,2]解析因为1≤2,所以f(1)=-1+6=5.当x≤2时,y=-x+6是减函数,所以y≥-2+6=4.当x>2时,若0<a<1,则函数y=3+logax是减函数,显然当x→+∞时,y→-∞,不符合题意;若a>1,则函数y=3+loga x是增函数,所以y>3+loga2,若函数f(x)的值域为[4,+∞),则3+loga2≥4,即loga 2≥1⇒lg2lga≥1⇒lg 2≥lg a ⇒a≤2,所以1<a≤2,即实数a的取值范围是(1,2].3.(2019浙江杭州高级中学高三上期中)已知函数f(x)={x2-1,x≤0,log2x,x>0,则f(f(12))= ,若f(f(t))∈[-1,0],则所有符合条件的t组成的集合为.3.答案0;[-√2,-√62]∪[-1,0]∪[12,1]∪[√2,2]解析∵f(x)={x2-1,x≤0,log2x,x>0,∴f(12)=log212=-1,f(f(12))=f(-1)=1-1=0.如图,作出函数f(x)的图象,若f(f(t))∈[-1,0],则f(t)∈[-1,0]∪[12,1],∴t∈[-√2,-√62]∪[-1,0]∪[12,1]∪[√2,2].4.已知函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0,1).(1)求k的值及函数f(x)的值域;(2)若关于x的方程f(x)=x+m有实根,求实数m的取值范围;(3)若函数h(x)=2f(x)-a·2x 2+1,x∈[0,4],则是否存在实数a,使得函数h(x)的最大值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.4.解析 (1)因为函数f(x)=log 2(2x +k)(k∈R)的图象过点P(0,1), 所以f(0)=1,即log 2(1+k)=1,所以k=1,所以f(x)=log 2(2x +1),因为2x >0,所以2x +1>1,所以log 2(2x +1)>0, 所以函数f(x)的值域为(0,+∞).(2)关于x 的方程f(x)=x+m 有实根,即方程m=log 2(2x +1)-x 有实根,即函数y=log 2(2x +1)-x 的图象与直线y=m 有交点,令g(x)=log 2(2x +1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=m 有交点, 又g(x)=log 2(2x+1)-x=log 2(2x+1)-log 22x=log 22x +12x =log 2(1+12x ),任取x 1,x 2∈R 且x 1<x 2,则0<2x 1<2x 2,所以12x 1>12x 2,所以1+12x 1>1+12x 2, 所以g(x 1)-g(x 2)=log 2(1+121)-log 2(1+122)>0,所以g(x 1)>g(x 2), 所以g(x)在R 上是减函数,因为1+12x >1, 所以g(x)=log 2(1+12x )∈(0,+∞), 所以实数m 的取值范围是(0,+∞). (3)存在.由题意知h(x)=2x+1-a·2x 2+1=2x-2a·2x 2+1,x∈[0,4],令t=2x 2,则φ(t)=t 2-2at+1,t∈[1,4], 当a≤52时,φ(t)max =φ(4)=17-8a=0,所以a=178, 当a>52时,φ(t)max =φ(1)=2-2a=0,所以a=1(舍去),综上,存在a=178,使得函数h(x)的最大值为0.1.(2019天津,5,5分)已知a=log 27,b=log 38,c=0.30.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<aD.c<a<b答案 A 显然c=0.30.2∈(0,1). 因为log 33<log 38<log 39,所以1<b<2. 因为log 27>log 24=2,所以a>2. 故c<b<a.选A.2.(2018课标全国Ⅲ,12,5分)设a=log 0.20.3,b=log 20.3,则( ) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b答案 B 本题考查不等式及对数运算.解法一:∵a=log 0.20.3>log 0.21=0,b=log 20.3<log 21=0,∴ab<0,排除C. ∵0<log 0.20.3<log 0.20.2=1,log 20.3<log 20.5=-1, 即0<a<1,b<-1,∴a+b<0,排除D. ∵ba =log 20.3log0.20.3=lg0.2lg2=log 20.2,∴b -b a =log 20.3-log 20.2=log 232<1, ∴b<1+ba ⇒ab<a+b,排除A.故选B. 解法二:易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0, ∵1a +1b =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4<1, 即a+bab <1,∴a+b>ab, ∴ab<a+b<0.故选B.3.(2018天津,5,5分)已知a=log 2e,b=ln 2,c=lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D 本题主要考查对数的大小比较.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln 2<1,∴c>a>b,故选D.。