高考浙江版数学 对数与对数函数 讲义

§ 2.6对数与对数函数

1.对数的概念

一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①x=log

a

N ,其中a叫做对数的底数,N叫做对数的真数.

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的基本性质(a>0且a≠1,N>0)

a.log

a 1=0;log

a

a=1;

b.a log a N=②N ;log

a

a N=③N .

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

a.log

a (MN)=log

a

M+log

a

N;

b.log

a M

N

=log

a

M-log

a

N;

c.log

a M n=nlog

a

M(n∈R).

(3)对数的换底公式及推论

a.log

a N=log

b N

log b a

(a,b>0且a,b≠1,N>0);

b.lo g a m b n=④n

m log

a

b (a,b>0且a≠1,m,n∈R且m≠0);

c.log

a b·log

b

a=1(a,b>0且a,b≠1);

d.log

a b·log

b

c·log

c

d=log

a

d(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).

3.对数函数的图象与性质

a>1 0

图象

性质

定义域:⑤(0,+∞)

值域:⑥R

图象过定点⑦(1,0) ,即⑧x=1 时,⑨y=0 当x>1时,

⑩y>0 ;

当0

当x>1时,y<0 ;

当00

是(0,+∞)上的增函

数

是(0,+∞)上的减函

数

知识拓展

1.快速判断log

a

x符号的方法:给定区间(0,1)和(1,+∞),当a与x位于这两个区间中的同

一个时,log

a

x>0,否则log

a

x<0.

2.对数函数的变化特征

在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数

y=log

a

x,y=log

b

x,y=log

c

x,y=log

d

x(a>1,b>1,0

作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是b>a>1>d>c>0.

4.对数函数与指数函数的性质比较 名称

指数函数

对数函数

一般形式 y=a x (a>0且a≠1) y=log a x (a>0且a≠1)

定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值域

(0,+∞)

(-∞,+∞)

单调性 当 a>1 时为增函数

,当 0

当a>1时,

若x>0,则 y>1 ; 若x=0,则 y=1 ; 若x<0,则 01时,

若x>1,则 y>0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若0

若x>0,则 01

当0

若x>1,则 y<0 ; 若x=1,则 y=0 ; 若00

图象 y=a x (a>0且a≠1)的图象与y=log a x(a>0且a≠1)的图象关于直线 y=x 对称

1.已知集合A={x|-1

B.(-1,3)

C.(-1,1)

D.(-1,1]

1.答案 D

2.(2019浙江学考)函数f(x)=√2-x +log 2x 的定义域是( ) A.(0,2]

B.[0,2)

C.[0,2]

D.(0,2)

2.答案 A

3.若log a 3

4<1(a>0,且a≠1),则实数a 的取值范围是 .

3.答案 (0,3

4)

∪(1,+∞)

4. 函数f(x)=lg x -3

x+2的定义域是 ,函数g(x)=lg(x-3)-lg(x+2)的定义域是 .

4.答案 {x|x>3或x<-2};{x|x>3}

5.函数f(x)=|log 3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a 的最小值为 . 5.答案 2

3

考点一 对数的化简与求值

典例1 (2019浙江衢州五校联盟高三上联考)log 24+log 42= ,log a b+log

b

a(a>1,0

答案 5

2;-2

解析 log 24+log 42= log 222

+log 4412

=2+12=5

2.

由换底公式可得log b a=1

log a

b ,因为a>1,0

所以-log a b>0,-log b a>0, 所以(-log a b)+(-log b a)≥2,

所以log a b+log b a=-[(-log a b)+(-log b a)]≤-2,

当且仅当log a b=log b a 时,等号成立,即log a b+log b a(a>1,0

对数式化简求值的思想方法

(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.