数学分析教案(华东师大版)第十八章隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用
教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；
2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；
3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。

教学时数：14学时
§1 隐函数
一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.
隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.
1.
2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析
性质.
二.隐函数存在条件的直观意义:
三.隐函数定理:
Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件:
ⅰ> 函数
在以为内点的某一区域D上连续;
ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件)
;
ⅲ> 在D内存在连续的偏导数
ⅳ> .
的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在
则在点
某区间内的隐函数
⑴,
时()且
.
在区间内连续 .
⑵函数
四.隐函数可微性定理:
满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内
Th 2 设函数
存在且连续 . 则隐函数
. ( 证)
在点满足隐函数存在
例1 验证方程
唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1
. 其中为由方程所确定
例2
的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿)
在点的某邻域内
例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数
有连续的导函数
函数, 并求反函数的导数. P151例4
五. 元隐函数: P149 Th3
. 验证在点存在是
例4
§２隐函数组
一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组
入手介绍隐函数组，一般形式为
*
二.隐函数组定理:
分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组*在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件, 得出以下定理 .
Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.
例1P154例1.
三.反函数组和坐标变换:
1.反函数组存在定理:
Th 2 (反函数组定理) P155 Th 5
2.坐标变换: 两个重要的坐标变换.
例2 , 3 P156—157例2 , 3 .
§3 几何应用
平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有
一.
.
,
切线方程为
法线方程为
例1
求Descartes叶形线在点处的切线和
二.空间曲线的切线与法平面:
曲线由参数式给出: .
1.
切线方程为.
法平面方程为.
的方程为
2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线
点
在上. 推导切线公式. [1]P209.
切线方程为.
法平面方程为.
例2P161例2 .
三.曲面的切平面与法线:
的方程为, 点在上. 推导切面公
设曲面
式.1]P211.
切平面方程为.
法定义域线方程为.
例3P162例3 .
§4 条件极值
一.条件极值问题: 先提出下例:
的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使
例要设计一个容积为
水箱的表面积最小 . 分别以、
为: 在约束条件之下求函数
二. 条件极值点的必要条件:
之下求函数的极值 . 当满足约束条件
设在约束条件
的点
存在条件时, 由方程
的极限点, 有.
代入, 就有, 、、、均表示相应偏导数在点的值 . )
( 以下
即—
可见向量(
, )与向量, )正交. 注意到向量, )
, )与向量, )线性相关,
即存在实数, 使(
, ) + , ).
亦即
二.Lagrange乘数法:
在约束条件之下的条件极值
由上述讨论可见, 函数
点应是方程组的解.
倘引进所谓Lagrange函数
为Lagrange乘数)
, ( 称其中的实数
则上述方程组即为方程组
以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .
四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:
求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1
例1
抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆
例2
到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2
求函数在条件
例3
下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3。