2021届高三数学新高考三轮复习选择填空题专练(11)(含答案解析)

2021届高三数学新高考三轮复习小题狂练（11）
一､单选题
1. 已知函数y =的定义域为集合M ，集合N ＝{}
02x x ≤≤，则M N ⋂＝（ ） A. [﹣1，3] B. [0，2]
C. [0，1]
D. [﹣1，4]
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知条件求出集合M ，结合集合N ＝{}
02x x ≤≤，由交集的性质可得M N ⋂的值.
【详解】解：由题意：令2230x x -++得13x -， 所以{}|13M x x =-，所以{}|02M N x x ⋂=， 故选：B ．
【点睛】本题主要考查交集的性质，考查学生对基础知识的理解，属于基础题. 2. 已知条件p ：|1|2x -<，条件q ：2560x x --<，则p 是q 的（ ） A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【详解】:212,13p x x -<-<-<<；:16q x -<<， 所以p 是q 的充分而不必要条件.
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 3. 命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是（ ）
A. 2[2,),4x x ∀∈+∞<
B. 2(,2),4x x ∀∈-∞≥ C 2
00[2,),4x x ∃∈+∞< D. 2
00[2,),4x x ∃∈+∞≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定形式书写.
【详解】命题“2[2,),4x x ∀∈+∞≥”的否定是
[)02,x ∃∈+∞，204x <.
故选C
【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题型.
4. 已知1
cos 63πα⎛⎫+
= ⎪
⎝
⎭，则sin 26πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ） A. 7
9-
B.
79
C.
89
D. 89
-
【解析】 【分析】
利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得sin 26πα⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值. 【详
解
】
2sin 2sin 2cos 212cos 66266πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2
171239
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭. 故选：B.
【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式和诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
5. 已知二次函数()()()1f x x m x n =--+，且1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则1x ，2x ，m ，n 的大小关系可能是（ ） A. 12x x m n <<<
B. 12x m x n <<<
C. 12m n x x <<<
D. 12m x x n <<<
【答案】D 【解析】 分析】
根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知()()1f m f n ==，()()120f x f x ==，而抛物线
()y f x =开口向上，可得m ，n 在两根12,x x 之外，结合选项即可得出答案.
【详解】解：由题可知，()()()1f x x m x n =--+，并且12,x x 是方程()0f x =的两根， 即有()()1f m f n ==，()()120f x f x ==，
由于抛物线()y f x =开口向上，可得m ，n 在两根12,x x 之外， 结合选项可知A ，B ，C 均错，D 正确，如下图. 故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题. 6. 已知函数()()sin 30f x x x ωωω=>的零点构成一个公差为2
π
的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向右平移
6
π
个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A. 在,42
ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是增函数
B. 其图象关于直线2
x π=
对称
C. 函数()g x 是偶函数
D. 在区间2,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦ 【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）=2sin （ωx π
3
+
），由三角函数图象的平移得：g （x ）＝2sin2x ， 由三角函数图象的性质得y ＝g （x ）的单调性，对称性，再由x π2π63
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，时，求得函数g （x ）值域得解.
【详解】f （x
）＝sinωx 2sin （ωx π3
+
）， 由函数f （x ）的零点构成一个公差为
π
2
的等差数列， 则周期T ＝π，即ω＝2， 即f （x ）＝2sin （2x π3
+
）， 把函数f （x ）的图象沿x 轴向右平移
π
6
个单位，得到函数g （x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x π6-
）π
3
+]＝2sin2x ， 当π2k π2+
≤2x≤3π2k π2+,即πk π4+≤x≤3πk π4+, y ＝g （x ）是减函数，故y ＝g （x ）在[π4，π
2
]为减函数， 当2x=πk π2+
即x k ππ24=
+（k∈Z ）,y ＝g （x ）其图象关于直线x k ππ
24
=+（k∈Z ）对称,且为奇函数， 故选项A ，B ，C 错误，
当x π2π63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2x∈[π3，4π
3]，函数g （x ）的值域为
[2]，
故选项D 正确， 故选D ．
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函数基本性质，熟练计算是关键，属中档题
7. 已知符号函数()1,?0sgn 0,?
01,?0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，()2f x x =，若()(3)()x f x f x ϕ=-，则（ ） A. ()2sgn f x x x = B. ()2sgn f x x x =- C. [][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=
D. [][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=-
【解析】 【分析】
根据题意，求出()ϕx 的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得1,0[()][()]0,01,0x sgn f x sgn x x x ϕ->⎧⎪
===⎨⎪<⎩
，
即可得出答案．
【详解】解：根据题意，()2f x x =，()(3)()624x f x f x x x x ϕ=-=-=，
当0x >时，可知()0f x >，()0x ϕ>，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==，
当0x =时，可知()0f x =，()0x ϕ=，则[][]sgn ()sgn ()0f x x ϕ==，
当0x <时，可知()0f x <，()0x ϕ<，则[][]sgn ()sgn ()1f x x ϕ==-，
则有1,0[()][()]0,01,0x sgn f x sgn x x x ϕ->⎧⎪
===⎨⎪<⎩
，
所以[][]sgn ()sgn ()f x x ϕ=. 故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题．
8. 若定义域为R 的函数()f x 的导函数为()'f x ，并且满足()()2f x f x '<-，则下列正确的是（ ）
A. (2021)(2020)2(1)f ef e -<-
B. (2021)(2020)2(1)f ef e ->-
C. (2021)(2020)2(1)f ef e ->+
D. (2021)(2020)2(1)f ef e -<+
【答案】B 【解析】
根据题意，可知()()20f x f x '-->，构造函数()2
()x
f x
g x e
+=
，利用导数研究函数的单调性，可知()g x 在R 上单调递增，得出(2021)(2020)g g >，整理即可得出答案． 【详解】解：由题可知()()2f x f x '<-，则()()20f x f x '-->，
令()2
()x
f x
g x e +=
， 而0x e >，则()()2
()0x
f x f x
g x e '--'=
>，
所以()g x 在R 上单调递增，
故(2021)(2020)g g >，即
20212020
(2021)2(2020)2
f f e e ++>，
故(2021)2(2020)2f ef e +>+， 即(2021)(2020)22f ef e ->-， 所以(2021)(2020)2(1)f ef e ->-.
故选：B.
【点睛】本题考查根据函数的单调性比较大小，考查构造函数和利用导数解决函数单调性问题，属于中档题．
二､选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 11
04
ab <
≤ 2<
C.
11
1a b
+≥ D.
2211
8
a b ≤+
【答案】CD 【解析】
根据均值不等式及不等式的性质分析即可求解. 【详解】A 选项由22a b ab +≤=知4ab ≤，因为0ab >，所以11
4
ab ≥，当且仅当2a b ==时等号成立，故A 选项错误； B 选项，因为22
a b
ab +≤
=，当且仅当2a b ==时等号成立，故B 选项错误； C 选项，
111112212a b a b ab
+≥⋅=≥⨯=，当且仅当2a b ==时等号成立，故C 正确； D 选项，由2
2
2
()82
a b a b ++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，所以22
118a b ≤+正确， 故选：CD
【点睛】本题主要考查了均值不等式，重要不等式的应用，考查了不等式等号成立的条件，属于中档题.
10. 将函数()()πcos 02f x x ωω⎛
⎫=-
> ⎪⎝
⎭的图象向右平移π
2
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（
）
A. ()g x 为奇函数
B. π02g ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
C. 当5ω=时，()g x 在()0,π上有4个极值点
D. 若()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的最大值为5
【答案】BCD 【解析】 【分析】
利用题目已知条件，求出ω，再结合三角函数的性质即可得出答案.
【详解】∵()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫
=-
=> ⎪⎝
⎭
∴()sin ()2g x x πω⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎦，且(0)1g =-， ∴()1222
k k Z π
ωπ⎛⎫
-
=-∈ ⎪⎝
⎭，即14k ω=-为奇数， ∴()sin ()cos 2g x x x πωω⎡
⎤
=-
=±⎢⎥⎣
⎦
为偶函数，故A 错. 由上得：ω为奇数，∴()cos 02
2g ππω⎛⎫
-=±-= ⎪⎝
⎭
，故B 对.
由上得，当5ω=时，5()sin(5)cos52g x x x π
=-=-，25
T π=,由图像可知()g x 在()0,π上有4个极值点,故C 对，
∵()g x 在π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，所以π052T π
ω-≤=,解得：05ω<≤，又∵14k ω=-，
∴ω的最大值为5，故D 对 故选：BCD.
【点睛】本题考查了三角函数的平移变换，奇偶性，极值点，单调区间,属于难题.
11. 已知双曲线22
:1916
x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）
A. 若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于
43
B. 若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2
C. AB 的最短长度为
323
D. 满足11AB =的直线有4条 【答案】BD 【解析】 【分析】
设直线l 的方程为5x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与双曲线C 的方程联立，利用判别式、韦达定理、弦长公式可判断各选项的正误. 【详解】易知双曲线C 的右焦点为()5,0F ，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为5x my =+， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1k m
=
， 联立22
5169144
x my x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 并整理得()22
1691602560m y my -++=. 则()()
2
22222
1690
16042561699610m m m m ⎧-≠⎪⎨∆=-⨯-=+>⎪⎩
，解得34m ≠. 对于A 选项，当0m =时，直线l x ⊥轴，则A 、B 两点都在双曲线的右支上，此时直线l 的斜率不存在，A 选项错误；
对于B 选项，min 532F c a A =-=-=，B 选项正确； 对于C 选项，当直线l 与x 轴重合时，32
263
AB a ==<
，C 选项错误；
对于D 选项，当直线l 与x 轴重合时，2611AB a ==≠；
当直线l 与x 轴不重合时，由韦达定理得122
160169m y y m +=--，122
256
169
y y m =-， 由弦长公式可得
()
()22
221212122
961114169
m AB m y y m y y y y m +=+⋅-=+⋅
+-=
-()22
6161611169
m m +=
=-，解得
374
m =±
或51
m =±. 故满足11AB =的直线有4条，D 选项正确. 故选：BD.
【点睛】本题考查直线与双曲线的综合问题，考查了直线与双曲线的交点个数，弦长的计算，考查了韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.
12. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AC ==，3AB =，90BAC ∠=︒，点D ，E 分别是线段
BC ，1BC 上的动点(不含端点)，且
1EC DC
B C BC
=，则下列说法正确的是（ ）
A. //ED 平面1ACC
B. 四面体A BDE -的体积是定值
C. 异面直线1BC 与1AA 13
D. 二面角A EC D --的余弦值为413
【答案】ACD 【解析】 【分析】
说明四边形11BCC B 是矩形，然后证明ED ∥1BB ∥1AA ，推出//ED 平面1ACC ，判断A ；设ED m =，然后求解四面体A BDE -的体积可判断B ；说明异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，然后求解三角形，判断C ；利用空间向量求解二面角A EC D --的余弦值
【详解】解：对于A ，在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是矩形，
因为
1EC DC
B C BC
=，所以ED ∥1BB ∥1AA ， 所以//ED 平面1ACC ，所以A 正确；
对于B ，设ED m =，因为90BAC ∠=︒，12AA AC ==，3AB =，
所以BC ==
因为ED ∥1BB ，所以1DE DC BB BC =
，所以1DE BC DC BB ⋅==，
所以BD =
，所以
1233(1)22ABD
m S =
⨯⨯=-，
四面体A BDE -的体积为211
3(1)3
22
m m m m ⨯-
=-，所以四面体A BDE -的体积不是定值，所以B 错误； 对于C ，因为1BB ∥1AA ，所以异面直线1BC 与1AA 所成角为1BB C ∠，在1Rt B BC
中，12,B B BC =
所以11tan 2
BC BB C BB ∠=
=C 正确；
对于D ，如图，以A 为坐标原点，以1,,AB AC AA 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则
1(0,0,0),(3,0,0),(0,2,0),(3,0,2)A B C B ，
所以1(0,2,0),(3,0,2)AC AB ==，
设平面1ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则
120
320
n AC y n AB x z ⎧⋅==⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，令2x =，则3z =-，所以(2,0,3)n =-， 同理可求得平面1BB C 的一个法向量为(2,3,0)m =，
所以二面角A EC D --的余弦值为
4
13
1313=⨯，所以D 正确，
故选：ACD
【点睛】此题考查立体几何中的关每次和计算，二面角的平面角的求法，异面直线所成角的求法，属于中档题
三､填空题：
13. 高三一班周一上午有四节课，分别安排语文､数学､英语和体育.其中语文不安排在第一节，数学不安排在第二节，英语不安排在第三节，体育不安排在第四节，则不同的课表安排方法共有______种. 【答案】9 【解析】
【分析】
分三类考虑，语文安排在第二节, 语文安排在第三节，语文安排在第四节，分别求出各类的安排方法，相加即可
.
【详解】第一类：语文安排在第二节,
若数学安排在第一节,则英语安排在第四节,体育安排在第三节; 若数学安排在第三节，则英语安排在第四节,体育安排在第一节; 若数学安排在第四节,则英语安排在第一节,体育安排在第三节; 第二类：语文安排在第三节，
若英语安排在第一节,则数学安排在第四节,体育安排在第二节; 若英语安排在第二节，则数学安排在第四节，体育安排在第一节; 若英语安排在第四节,则数学安排在第一节,体育安排在第二节; 第三类：语文安排在第四节，
若体育安排在第一节,则英语安排在第二节,数学安排在第三节; 若体育安排在第二节，则英语安排在第一节，数学安排在第三节; 若体育安排在第三节，则英语安排在第二节，数学安排在第一节; 所以共有9种方案. 故答案为：9.
【点睛】本题考查有限制的元素排列问题，属于基础题.
14. 已知四面体A BCD -中，5AB CD ==10AC BD ==13BC AD ==，则其外接球的体积为______.
714
【解析】 【分析】
由题意可采用割补法，构造长宽高分别x ，y ，z 51013，，解出x ，y ，z ,求长方体的体对角线即可.
【详解】如图，构造长方体，其面对角线长分别为51013
，，，
则四面体A BCD
-的外接球即为此长方体的外接球，
设长方体的长宽高分别x，y，z，外接球半径为R
则222222
5,10,13
x y y z x z
+=+=+=，
所以222222
5,10,13
x y y z x z
+=+=+=,
则2222
14(2)
x y z R
++==，解得
14
2
R=
所以3
4714
33
V R
π
==.
714
π
【点睛】本题主要考查了球的内接四面体的性质，考查了构造法求球的半径，球的体积公式，属于中档题.
15. 已知数列{}n a满足()
sin1
cos cos1
n
a
n n
=
-
，{}n a的前n项的和记为n S，则60
30
S
S
=______.
【答案】3
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式化简得出()tan 1tan n a n n =--+，可求得n S ，进而可计算得出
60
30
S S 的值. 【详解】
()()()()()()
sin 1sin cos 1cos sin 1sin1
cos cos 1cos cos 1cos cos 1n n n n n n n a n n n n n n ⎡⎤-----⎣⎦==
=---()()tan tan 1tan 1tan n n n n =--=--+，
()()()()tan 0tan1tan1tan 2tan 2tan3tan 1tan n S n n ⎡⎤∴=-+
+-++-++
+--
+⎣⎦
tan n
=，
因此，
6030tan 60
33tan 30
3S S ==
=. 故答案为：3.
【点睛】本题考查裂项相消法求和，同时也考查了利用两角差的正弦公式化简求值，考查计算能力，属于中等题.
16. 某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为
1，31(单位：cm )，则三个圆之间空隙部分的面积为______2cm .
【答案】(10π3
-
【解析】 【分析】
由已知可得
AB =2BC =,4AC cm =,得到
=2
B π
∠，,6
3
A
C π
π
∠=
∠=
，求出ABC
S
，
A 中的小扇
形的面积，B 中的小扇形的面积，C 中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即
可得到答案.
【详解】如图，
A
的半径为
)
1cm,
B 的半径为
)
1cm,
C 的半径为(3-cm,
11AB ∴==,132cm BC +=,
31334AC cm =++-=, 222
=
2
AB BC AC B π
∴+∠=，,
又2AC BC =,可得,6
3
A C π
π
∠=
∠=
,
()
211
22323cm 22
ABC
S
BC AB =
⋅=⨯⨯=， A 中的小扇形的面积为()
22123(31)cm 26ππ+⨯⨯+=，
B 中的小扇形的面积为()
22123(31)cm 22ππ-⨯⨯-=， C 中的小扇形的面积为()()
221(33)23cm 23
π
π⨯⨯-=-，
则三个圆之间空隙部分的面积为
()
()
()
2104323π2323
2323
3cm πππ+-------=
故答案为：()104323π3
--
【点睛】本题考查圆与圆相切的性质，考查扇形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.。