10月月考理科数学答案

绵阳南山中学高 2021级高三上期10月月考试题
理科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

1-5: ADABC 6-10 :ADDBA 11-12 :CA
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13.4− 14.3√10 15. )16,1( 16.2
三、解答题：共 70 分。

17.（1）由题意得：
π()sin 21cos 2sin 21sin 22sin 212f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫=−++=−+=− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由ππ2π22π(Z)22
k x k k −+≤≤+∈，可得ππππ(Z)44k x k k −+≤≤+∈； 所以()f x 的单调递增区间是πππ,π(Z)44k k k ⎡⎤−++∈⎢⎥⎣⎦
； 令2πx k =，Z k ∈，解得：π2
k x =，Z k ∈，此时函数值为-1， 所以对称中心为π,1,Z 2k k ⎛⎫−∈ ⎪⎝⎭
． （2）∵ππ32sin 21635f x x ⎛⎫⎛⎫+=+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭∴π4sin 235x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∵X ϵ(−π2
,0), ∴2X +π3ϵ(−2π3,π3), ∵sin(2X +π3)>0, ∴0<2X +π3<π3 , ∴cos(2X +π3)=35
ππππππcos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 333333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=3+4√310
． 18.（1）设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，等差数列{}n b 的公差为d ，
因为1n a +−，n a ，2n a +成等差数列，所以212n n n a a a ++=− 即111112n n n a q a q a q −+=−，
因为0q >，10a >，所以22q q =−，解得2q 或1q =−（舍去），
所以111222n n n n a a q −−==⨯=，2121215b a =+=+=，
由523233b b a −=−可得()()32543523d d +−+=−，解得2d =，
所以()()1152123n b b n d n n =+−⋅=+−=+；
（2）因为23n b n =+ ，所以，11111()(21)(21)(23)22123
n n b n n n n ==−+++++ 所以11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−++−= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111111111235572123232369
n n n n n ⎛⎫⎛⎫−+−++−=−= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 19.(1)：因为()sin cos sin cos a C B B C −= ，即cos sin cos sin cos a B C B B C −= ，所以
()cos sin cos sin cos sin a B C B B C C B =+=+，即cos sin a B A =，所以1sin cos a A B
= ，又sin sin a b A B = ，
b =
，所以1sin cos b B B = ，所以sin tan cos B B b B
===，因为()0,B π∈ ，所以3B π=；
(2)因为3
B π= 、b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+− ，即223a c ac =+− ，即2232a c ac ac +=+≥
当且仅当a c ==时取等号，所以03ac <≤ ，所以()2
22233a c a c ac ac +=++=+ ，所以()2
312a c <+≤ a c +≤ ，所以ABC C <≤，即三角形的周长的取值范围为
(
20. （1）因为()()()3223160f x x a x ax a =−++>，所以()()()'2()661661f x x a x a x x a =−++=−−．
①当1a =时，()2'()610f x x =−≥，()f x 在R 上严格递增； ②当01a <<时，由()0f x '>得x a <或1x >，由()0f x '<得1a x <<，
所以()f x 在(,)a −∞单调递增，在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞单调递增；
③当1a >时，由()0f x '>得1x <或x a >，由()0f x '<得1x a <<，
所以()f x 在(,1)−∞单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞单调递增；
（2）由（1）可知①当1a =时，()2
'()610f x x =−≥，()f x 在[]0,1a +上严格递增，此时()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +；
②当01a <<时，()f x 在()0a ，单调递增，在(,1)a 上单调递减，在()1,1a +单调递增；
，()f x 在[]0,1a +上的最大值只有可能是()f a 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，
所以()()()()323213313310f a f a a a a a a a +−=−++−−−+=−≥，解得13a ≥，此时113
a ≤<； ③当1a >时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(),1a a +单调递增；
()f x 在[]0,1a +上的最大值可能是()1f 或()1f a +，因为()f x 在[]0,1a +上的最大值为()1f a +，
所以()()()()()323221133131330f a f a a a a a a a a +−=−++−−−=−+=−−≥，解得3a ≤，此时13a ，
由①②③得，133a ≤≤，∴满足条件的a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 21. （1）()f x 有两个零点，∴关于x 的方程e ax x =有两个相异实根，
e 0ax >，∴0,x >()
f x 有两个零点即ln x a x =
有两个相异实根. 令()ln x G x x
=，则()21ln x G x x −'=，()0G x '>得0e x <<，()0G x '<得e,x > ()G x ∴在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减，()max 1()e e G x G ∴==
， 又()10,G =∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >，当x →+∞时，()0,G x →
()f x 有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 恒成立，a
函数22.（1）由2cos sin x y αα
=⎧⎨=⎩（α为参数），得2214x y +=， 故曲线C 的普通方程为2
214
x y +=． 由2cos sin 20ρ
θρθ−+=
，得220x y −+=，
故直线l 的直角坐标方程为220x y −+=．
（2）由题意可知直线l
的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t
为参数）． 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并整理得217600t ++=，
设A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，则12
17t t +=−，126017t t =， 故121212121115
t t t t PA PB t t t t +++===． 23.（1）因为()21,2325,2321,3x x f x x x x x x −+≤−⎧⎪=−++=−<<⎨⎪−≥⎩
，
所以()7f x ≤等价于2217x x ≤−⎧⎨−+≤⎩，或2357
x −<<⎧⎨≤⎩，或3217x x ≥⎧⎨−≤⎩， 解得32x −−≤≤或23x −<<或34x ≤≤，所以34x −≤≤，即不等式()7f x ≤的解集为[]3,4−． （2）因为()33f x x x a a =−++≥+，当且仅当()()30x x a −−≤时等号成立；
所以函数()3f x x x a =−++的最小值为3a +，由已知可得32a +≥，所以32a +≥或32a +≤−， 解得1a ≥−或5a ≤−，即a 的取值范围(][),51,−∞−⋃−+∞．。