机械优化设计期末考试试卷

机械优化设计期末复习题
一、填空题
1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦点处的梯度为120-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，海赛矩阵为
2442-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。

5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例 递增的方法。

7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为
梯度法，其收敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的必要条件是()00f X ∇= , 充分条件是该点处的海赛矩阵正定
9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题
12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描
述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。

14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 。

15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。

二、选择题
1、下面 方法需要求海赛矩阵。

A 、最速下降法 B 、共轭梯度法 C 、牛顿型法 D 、DFP 法
2、对于约束问题
()()()()2212221122132min 44 g 10
g 30 g 0
f X x x x X x x X x X x =+-+=--≥=-≥=≥
根据目标函数等值线和约束曲线，判断()1[1,1]T X =为 ，
()2
51[,]22
T X =为 。

A ．内点；内点 B. 外点；外点 C. 内点；外点 D. 外点；内点
3、内点惩罚函数法可用于求解__________优化问题。

A 无约束优化问题
B 只含有不等式约束的优化问题
C 只含有等式的优化问题
D 含有不等式和等式约束的优化问题
4、拉格朗日乘子法是求解等式约束优化问题的一种经典方法，它是一种___________。

A、降维法
B、消元法
C、数学规划法
D、升维法
5、对于一维搜索，搜索区间为[a，b]，中间插入两个点a1、b1，a1<b1，计算出f(a1)<f(b1)，则缩短后的搜索区间为___________。

A [a1，b1]
B [ b1，b]
C [a1，b]
D [a，b1]
6、_________不是优化设计问题数学模型的基本要素。

A设计变量
B约束条件
C目标函数
D 最佳步长
7、变尺度法的迭代公式为x k+1=x k-αk H k▽f(x k)，下列不属于H k必须满足的
条件的是________。

A. H k之间有简单的迭代形式
B.拟牛顿条件
C.与海塞矩阵正交
D.对称正定
8、函数)
(X
f在某点的梯度方向为函数在该点的。

A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
9、下面四种无约束优化方法中，__________在构成搜索方向时没有使用
到目标函数的一阶或二阶导数。

A 梯度法
B 牛顿法
C 变尺度法
D 坐标轮换法
10、设)
(X
f在R f为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的函数，则)
(X
上为凸函数的充分必要条件是海塞矩阵G(X)在R上处处。

A 正定
B 半正定
C 负定
D 半负定
11、通常情况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是
A 牛顿法
B 梯度法
C 共轭梯度法
D 变尺度法
12、一维搜索试探方法——黄金分割法比二次插值法的收敛速
度。

A、慢
B、快
C、一样
D、不确定
13、下列关于最常用的一维搜索试探方法——黄金分割法的叙述，错误的
是，假设要求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。

A、其缩短率为0.618
B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b-a）
D、在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法。

14、与梯度成锐角的方向为函数值方向，与负梯度成锐角的方向为函数值
方向，与梯度成直角的方向为函数值方向。

A、上升
B、下降
C、不变
D、为零
15、二维目标函数的无约束极小点就是。

A、等值线族的一个共同中心
B、梯度为0的点
C、全局最优解
D、海塞矩阵正定的点
16、最速下降法相邻两搜索方向d k和d k+1必为向量。

A 相切
B 正交
C 成锐角
D 共轭
17、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。

A 需要求海赛矩阵
B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度
C 共轭梯度法具有二次收敛性
D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度
18、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是 。

A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。

B 惩罚因子是不断递减的正值
C 初始点应选择一个离约束边界较远的点。

D 初始点必须在可行域内
三、问答题
1．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？
1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可
行域内逐步逼近约束边界上的最优点。

内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。

相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 1(1,2,)k k r cr k -==⋅⋅⋅c 为惩罚因子的缩减系数，其为小于1的正数，通常取值范围在0.1~0.7 2）外点惩罚函数法简称外点法，这种方法新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。

外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。

惩罚因子按下式递增
1(1,2,)k k r cr k -==⋅⋅⋅，式中c 为惩罚因子的递增系数，通常取5~10c =
2．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？. 答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。

共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。

其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个
角度，也就是对负梯度进行修正。

所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

四、计算题
1、用外点法求解此数学模型
()()min ..
10F X x s t g x x =⎧⎪⎨
=-≤⎪⎩
2 将()22
121212262233f x x x x x x x =+++++写成标准二次函数矩阵的形式。

3 用外点法求解此数学模型 ：()()()12
211221min ..00
f X x x s t
g X x x g X x =+=-≤=-≤
4 求出()221122262420f x x x x x =-+-+的极值及极值点。

5 用外点法求解此数学模型 ：()()()()3
1211221min 13
..100
f X x x s t
g X x g X x =++=-+≤=≥
6．用内点法求下列问题的最优解：
31
2)(2112
221≤-=⋅+-+=x g t
s x x x x f m in
（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=2
1
)(ln )(),(u u x g r x f r x φ，然后用解析法求
解。

）。

7.设已知在二维空间中的点[]T x x x 21
=，并已知该点的适时约束的梯度
[]T g 11
--=∇，目标函数的梯度[]T f 15
.0-=∇，试用简化方法确定一
个适用的可行方向。

8. 用梯度法求下列无约束优化问题：Min F(X)=x 12+4x 22，设初始点取为
X (0)=[2 2]T ，以梯度模为终止迭代准则，其收敛精度为5。

9. 对边长为3m 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。

10. 已知约束优化问题：
)(0)(0
25)(12
4)(m in 2312222112
21≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g t
s x x x f
试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形
法进行一次迭代计算。

11. 使用黄金分割法确定函数()3342f x x x =-+的极值点。

初始点
00,1,0.8x h ε===。

（使用进退法先确定初始区间）
12. 用阻尼牛顿法求函数()22
1225f X x x =+的极小点。

13. 利用库恩-塔克条件判断[]*1,0X =点是不是下列优化设计数学模型的极值点？
()()()()()2
2
12
21122132min 2..1000
f X x x s t
g X x x g X x g X x =-+ =+-≤ =-≤ =-≤
四、解答题
1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x 12+0.5x 22- x 1x 2-2x 1的最优解，设初始点x (0)=[-2，4]T ,选代精度ε=0.02（迭代一步）。

2、试用牛顿法求f( X )=(x 1-2)2+(x 1-2x 2)2的最优解，设初始点x (0)=[2,1]T 。

3、设有函数 f(X)=x 12+2x 22-2x 1x 2-4x 1，试利用极值条件求其极值点和极值。

4、求目标函数f( X )=x 12+x 1x 2+2x 22 +4x 1+6x 2+10的极值和极值点。

5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x 22 +x 32+2x 3x 2+2x 3x 1-6x 2+3在点[1，1，-2]T 处具有极小值。

6、给定约束优化问题
min f(X)=(x 1-3)2+(x 2-2)2 s.t. g 1(X)=x 12+x 22-5≤0 g 2(X)=x 1+2x 2-4≤0 g 3(X)=-x 1≤0 g 4(X)=-x 2≤0
验证在点T X
]2[，１=Kuhn-Tucker
条件成立。

7、设非线性规划问题
1)(0
)(0
)(..)2()(min
2
221322112
2
21≤-+-=≤-=≤-=+-=x x X g x X g x X g t s x x X f
用K-T 条件验证[]T X 0,1*=为其约束最优点。

8、用共轭梯度法求函数1212
2212122
123
),(x x x x x x x f --+=的极小点。

9、已知目标函数为f(X)= x 1+x 2，受约束于： g 1(X)=-x 12+x 2≥0 g 2(X)=x 1≥0 写出内点罚函数。

10、已知目标函数为f(X)=( x 1-1)2+(x 2+2)2
受约束于：g 1(X)=-x 2-x 1-1≥0
g 2(X)=2-x 1-x 2≥0 g 3(X)=x 1≥0 g 4(X)=x 2≥0
试写出内点罚函数。

11、如图，有一块边长为6m 的正方形铝板，四角截去相等的边长为x 的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x 取何值）才能获得最大容器的箱子。

试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB 软件求解的程序。

12、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

13、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

14、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。

试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。

15、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。

写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

16、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。

管道内液体的流速与管道截面的周长s 的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边，不计顶边）。

试按照使液体流速最大确定该管道的参数。

写出这一优化设计问题的数学模型。

并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。

17、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。

力缆每米需用材料9kg，3个工时，消耗电能4kW·h，可得利润60元；话缆每米需用材料4kg，10个工时，消耗电能5kW·h，可得利润120元。

若每天材料可供应360kg，有300个工时消耗电能200kW·h可利用。

如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解
的程序。