3、偏导数

z z 2 x cos xy xy sin xy, 2 x 2 sin xy yx y
2 2
2 z 2 2 例3：函数z=f(x +y )求 x y
z 2 xf ( x 2 y 2 ) x z 2 2 2 2 x f ( x y ) 2 xf ( x 2 y 2 ) 2 y y xy
x z 1 z 2z 例2：设 z x ( x 0, x 1) ，求证： y x ln x y
y
z y 1 z yx , x y ln x x y x z 1 z x y 1 1 y yx x ln x 2 z y x ln x y y ln x
偏导数 一、偏导数的定义及其计算方法
(x,y)沿平行于x轴 的方向趋于(x0,y0)
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y 固定在y0，而x在x0处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x 存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对 x的偏导数。 记为
y
(x,y)沿平行于y轴 的方向趋于(x0,y0)
记为 说明：
z y
x x0 y y0
f , y
x x0 y y0
, zy
x x0 y y0
或 fy=fy(x0,y0)
f2( x0 , y0 )
(1)求多元函数某个变量的偏导数时，只需把其余的变 量看作常数，然后直接利用一元函数求导公式及复 合函数求导法则来计算。
注意三元函数混合偏导数的表达，具体求多少阶偏导数， 求三元函数的三阶偏导数还有哪些？ 练习：P208 4,5
dy (2)对一元函数，导数 可看作函数dy与自变量的微 dx 分dx 的商，但偏导数的记号 y 是一个整体。 x
(3)函数某点的偏导数都存在,不能保证函数在该点连续
例1：求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数
z z 2x 3y x x 8
x 1 y 2
z z 3x 2 y 7 y y (1,2)
2、定理：若fxy(x,y),fyx(x,y)都在点(x0,y0)连续，则
fxy(x,y)=fyx(x,y) 定理说明，高阶混合偏导数在连续的条件下与求导 顺序无关。 本定理对n元函数的高阶混合偏导数都成立 如，对三元函数u=f(x,y,z)，当三阶混合偏导数在点 (x,y,z)连续时，有
f xyz ( x, y , z ) f yzx ( x, y , z ) f z xy ( x, y , z ) f xzy ( x, y , z ) f yxz ( x, y , z ) f z yx ( x, y , z )
例3：已知z=xy+x3，求
z z x y
z z 2 y 3x x x y
例4：设f(x,y)=sinx2y，求 f x ( x, y), f y ( x, y)
f x ( x, y ) cos x y 2 xy
2
f y ( x, y ) cos x y x
2
2
练习：P208 1(1)(6)
2,3
二、高阶偏导数
1、定义：设函数z=f(x,y)在区域D内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y), f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的 二阶偏导数。 其中2.3.叫混合偏导数
按照求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：
3 z x2 y 2 e yx 2 z 2 z 2 注意，此处 ，但这一结论并不总成立 xy yx
例2：求函数z=x2y-sinxy的二阶偏导数。
z z 2 xy y cos xy, x 2 x cos xy x y
2 2 z z 2 2 y y sin xy, 2 x cos xy xy sin xy 2 x xy
3 z 例1：求函数z=ex+2y的二阶偏导数，及 yx 2 z x 2 y z e , 2e x 2 y x y
2 2 z z x2 y x2 y e , 2 e x 2 xy 2 z 2 z 2e x 2 y , 2 4e x 2 y yx y
z 2 z 4. 2 f yy ( x, y) y y y
类似地，可以定义更高阶的偏导数
例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为
2 z 3 z 2 3 x x x
又如，z=f(x,y)关于x的n－1阶偏导数，再关于y的一 阶偏导数 n 1 z n z n 1 n 1 y x x y
z 2 z 1. 2 f xx ( x, y), x x x
z z 2. f xy ( x, y) y x xy
z 2 z 3. f yx ( x, y), x y yx
z x
x x0 y y0
f , x
x x0 y y0
, zx
x x0 y y0
或 fx=fx(x0,y0) f1( x0 , y0 )
类似地，函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数。
定义为： lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y 0