2023-2024学年上海市普陀区七年级(上)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列计算结果正确的是（）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a6÷a3＝a3D．3a2+2a3＝5a5
2．（2分）下列判断中错误的是（）
A．3a2bc与﹣bca2是同类项
B．3x2﹣y+5xy2是三次三项式
C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1
D．是分式
3．（2分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A．6x2y＝2x•3xy
B．2a3b﹣4a2b＝2a2b（a﹣2）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3
4．（2分）如果当x＝﹣1时，分式M的值为0，那么M可以是（）A．B．C．D．
5．（2分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．
C．D．
6．（2分）如果x﹣2y+2＝0，那么x2﹣xy+y2﹣3的值是（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．0
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）用代数式表示：“x与y的2倍的和”．
8．（3分）单项式a3bc2的次数是．
9．（3分）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝．
10．（3分）计算：（4a3﹣a2）÷a2＝．
11．（3分）因式分解：3a2b﹣9ab＝．
12．（3分）因式分解：am+an﹣bm﹣bn＝．
13．（3分）3D打印技术日渐普及，打印出的高精密游标卡尺误差只有±0.000063米．0.000063这个数用科学记数法可以表示为．
14．（3分）如果方程＝4有增根，那么增根是．
15．（3分）计算：＝．
16．（3分）如果多项式x2+mx﹣6可以因式分解为（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，那么m的最大值是．
17．（3分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF所在的直线折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向左平移若干单位长度后，恰好能与边AC重合，联结AD．如果阴影部分的周长为18，那么BC＝．
18．（3分）如图，已知△ABC和△DBF是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点B、C、D在同一条直线上，点B、A、F也在同一条直线上，△ABC的位置不动，将△DBF 绕点B顺时针旋转x°（0＜x＜180），点F的对应点为点F1，点D的对应点为点D1，当∠F1BC＝∠ABF1时，∠D1BC的度数为．
三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
19．（4分）计算：（a+1）2﹣（a+4）（a﹣4）．
20．（4分）计算：a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2．
21．（4分）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
22．（4分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．
23．（4分）计算：．
24．（4分）解方程：＝1．
四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）
25．（6分）化简：（1﹣a+）÷，然后从﹣1，1，﹣2，2中取一个你认为合适的数作为a的值，再代入求值．
26．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B1B2，四边形AC1B1B2的面积为．（直接写出答案）
27．（8分）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保
持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？
28．（8分）阅读下列材料，并完成相应任务．
教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．
如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形．
（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用（a+b）2表示，也可以用含a、b、c的代数式表示为，那么可以得到等式：．整理后，得到a、b、c之间的数量关系：a2+b2＝c2，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a、b与斜边c所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）
（3）应用：如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么AB＝，点D为射线BC上一点，将△ACD沿AD所在直线翻折，点C的对应点为点C1，如果点C1在射线BA上，那么CD＝．（直接写出答案）
2023-2024学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共6题，每题2分，满分12分）
1．（2分）下列计算结果正确的是（）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a6÷a3＝a3D．3a2+2a3＝5a5
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（﹣a3）2＝a6，故选项A错误，
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误，
a6÷a3＝a3，故选项C正确，
3a2+2a3不能合并，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
2．（2分）下列判断中错误的是（）
A．3a2bc与﹣bca2是同类项
B．3x2﹣y+5xy2是三次三项式
C．单项式﹣x3y2的系数是﹣1
D．是分式
【分析】根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念分析判断．
【解答】解：A、3a2bc与﹣bca2是同类项，正确，故不符合题意；
B、3x2﹣y+5xy2是三次三项式，正确，故不符合题意；
C、单项式﹣x3y2的系数是﹣1，正确，故不符合题意；
D、是整式，错误，故符合题意．
故选：D．
【点评】主要考查了整式的有关概念及分式的定义．并能掌握同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的确定方法．
3．（2分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A．6x2y＝2x•3xy
B．2a3b﹣4a2b＝2a2b（a﹣2）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、6x2y不是多项式，故A不符合题意；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．4．（2分）如果当x＝﹣1时，分式M的值为0，那么M可以是（）A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
【解答】解：A．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意；
B．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意；
C．当x＝﹣1时，分式的值为0，故本选项符合题意；
D．当x＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．5．（2分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6．（2分）如果x﹣2y+2＝0，那么x2﹣xy+y2﹣3的值是（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．0
【分析】由已知条件可得x﹣2y＝﹣2，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y+2＝0，
∴x﹣2y＝﹣2，
∴x2﹣xy+y2﹣3
＝（x2﹣4xy+4y2）﹣3
＝（x﹣2y）2﹣3
＝×（﹣2）2﹣3
＝1﹣3
＝﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．（3分）用代数式表示：“x与y的2倍的和”x+2y．
【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出题目中对的语句，本题得以解决．
【解答】解：x与y的2倍的和是：x+2y，
故答案为：x+2y．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8．（3分）单项式a3bc2的次数是6．
【分析】单项式中所有字母的次数之和即为该单项式的次数，据此即可求得答案．
【解答】解：单项式a3bc2的次数是3+1+2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查单项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键．
9．（3分）计算：（x﹣5y）（2x+y）＝2x2﹣9xy﹣5y2．
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
【解答】解：（x﹣5y）（2x+y）
＝2x2+xy﹣10xy﹣5y2
＝2x2﹣9xy﹣5y2．
故答案为：2x2﹣9xy﹣5y2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项
式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
10．（3分）计算：（4a3﹣a2）÷a2＝4a﹣1．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（4a3﹣a2）÷a2
＝4a3÷a2﹣a2÷a2
＝4a﹣1．
故答案为：4a﹣1．
【点评】本题主要考查了整式的除法，熟记多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．
11．（3分）因式分解：3a2b﹣9ab＝3ab（a﹣3）．
【分析】提取公因式，即可得出答案．
【解答】解：3a2b﹣9ab
＝3ab（a﹣3），
故答案为：3ab（a﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键．12．（3分）因式分解：am+an﹣bm﹣bn＝（m+n）（a﹣b）．
【分析】把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答．
【解答】解：am+an﹣bm﹣bn
＝（am+an）﹣（bm+bn）
＝a（m+n）﹣b（m+n）
＝（m+n）（a﹣b），
故答案为：（m+n）（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解﹣分组分解法是解题的关键．
13．（3分）3D打印技术日渐普及，打印出的高精密游标卡尺误差只有±0.000063米．0.000063这个数用科学记数法可以表示为 6.3×10﹣5．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000063＝6.3×10﹣5，
故答案为：6.3×10﹣5．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．（3分）如果方程＝4有增根，那么增根是﹣2．
【分析】将原方程等号左边通分，若它有增根，其分母为零，求出此时x的值即可．
【解答】解：∵原方程可整理为＝4，它有增根，
∴x+2＝0，
∴x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查分式方程的增根，理解并掌握增根的定义是本题的关键．
15．（3分）计算：＝﹣1．
【分析】利用分式的加减法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．（3分）如果多项式x2+mx﹣6可以因式分解为（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，那么m的最大值是5．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣6．
【解答】解：﹣6可以分成：﹣1×6，1×（﹣6），﹣2×3，2×（﹣3），3×（﹣2），﹣3×2，
而﹣1+6＝5，1+（﹣6）＝﹣5，﹣2+3＝1，2+（﹣3）＝﹣1，3+（﹣2）＝1，﹣3+2＝﹣1，
因为5＞1＞﹣1＞﹣5，
＝p+q＝5．
所以m
最大
故答案为：5．
【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．17．（3分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF所在的直线折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向左平移若干单位长度后，恰好能与边AC重合，联结AD．如果阴影部分的周长为18，那么BC＝9．
【分析】由折叠性质得DF＝BF，四边形ADFC为平行四边形，AD＝FC，再由BC＝BF+FC，可得四边形ADFC的周长为：2×（DF+FC），据此解答即可．
【解答】解：∵△BEF沿EF折叠点B落在点D处，
∴DF＝BF，
∵DF沿BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，
∴四边形ADFC为平行四边形（DF∥AC且DF＝AC），
∴AD＝FC，
∵BC＝BF+FC，
∴2×（DF+FC）＝2×BC＝18，
∴BC＝9，
∴故答案为：9．
【点评】题主要考查了翻折及平移变换，解题的关键是掌握折叠及平移的性质，求出DF+FC＝10．
18．（3分）如图，已知△ABC和△DBF是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点B、C、D在同一条直线上，点B、A、F也在同一条直线上，△ABC的位置不动，将△DBF 绕点B顺时针旋转x°（0＜x＜180），点F的对应点为点F1，点D的对应点为点D1，当∠F1BC＝∠ABF1时，∠D1BC的度数为112.5°或45°．
【分析】分两种情形：当BF1在BC的上方时，当BF1在BC的下方时，分别求解．【解答】解：当BF1在BC的上方时，∵∠F1BC＝∠ABF1，
∴∠CBF1＝∠CBF＝22.5°，
∴∠CBD1＝∠CBF1+∠F1BD1＝22.5°+90°＝112.5°．
当BF1在BC的下方时，同法可得∠CBD1＝45°．
故答案为：112.5°或45°．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题．
三、简答题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
19．（4分）计算：（a+1）2﹣（a+4）（a﹣4）．
【分析】利用完全平方公式及平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2+16
＝2a+17．
【点评】本题考查完全平方公式及平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．20．（4分）计算：a2•a4+（﹣2a2）3+a8÷a2．
【分析】根据幂的运算法则计算求值即可．
【解答】解：原式＝a6+（﹣8a6）+a6
＝﹣6a6．
【点评】本题考查了幂的运算法则：同底数幂相乘（除），底数不变指数相加（减）；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的幂等于幂的积．掌握幂的运算法则是解题的关键．21．（4分）因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．
【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2﹣2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，
＝（a﹣b）2﹣1，
＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．
【点评】本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
22．（4分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．
【分析】把x2﹣2x看成一个整体，利用十字相乘法分解，然后利用十字相乘法和完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
23．（4分）计算：．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方运算求解即可．
【解答】解：
＝﹣1+1+4
＝4．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的混合运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
24．（4分）解方程：＝1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2＝x2+2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
∴分式方程的解为x＝1．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
四、解答题（本大题共4题，第25、26题每题6分，第27、28题每题8分，满分28分）
25．（6分）化简：（1﹣a+）÷，然后从﹣1，1，﹣2，2中取一个你认为合适的数作为a的值，再代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：原式＝[﹣（a﹣1）]•
＝•
＝•
＝•
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵a+1≠0，a+2≠0，a﹣2≠0，
∴a≠﹣1，a≠﹣2，a≠2，
∴当a＝1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC关于点A成中心对称．
（2）在第（1）小题的基础上，联结B1B2，四边形AC1B1B2的面积为13．（直接写出答案）
【分析】（1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求四边形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1和△AB2C2即为所求．
（2）四边形AC1B1B2的面积为＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
27．（8分）金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区．假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度
为每小时多少千米？
【分析】设骑脚踏车学生的速度为每小时x千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，利用时间＝路程÷速度，结合乘电瓶车学生比骑脚踏车学生少用半小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设骑脚踏车学生的速度为每小时x千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，
根据题意得：﹣＝，
解答：x＝15，
经检验，x＝15是所列方程的解，且符合题意．
答：骑脚踏车学生的速度为每小时15千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．28．（8分）阅读下列材料，并完成相应任务．
教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．
如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形．
（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用（a+b）2表示，也可以用含a、b、c的代数式表示为4×ab+c2，那么可以得到等式：（a+b）2＝4×ab+c2．
整理后，得到a、b、c之间的数量关系：a2+b2＝c2，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a、b与斜边c所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）
（3）应用：如图3，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么AB＝5，点D为射线BC上一点，将△ACD沿AD所在直线翻折，点C的对应点为点C1，如果点
C1在射线BA上，那么CD＝或6．（直接写出答案）
【分析】（1）将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子即可，比如把两个直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个梯形；
（3）分两种情况：点D在BC上和点D在BC延长线上，并分别画出图形，在Rt△BDC'中利用勾股定理列方程解出即可．
【解答】解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即4×ab+c2，
∵用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，
∴（a+b）2＝4×ab+c2，
故答案为：4×ab+c2，（a+b）2＝4×ab+c2；
（2）答案不唯一，比如：
（3）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理，得AB＝＝＝5，
点D为射线BC上一点，分两种情况：
①点D在BC上时，如图，
设CD＝x，由翻折可知C'D＝x，BD＝BC﹣CD＝4﹣x，BC'＝AB﹣AC'＝AB﹣AC＝5﹣3
＝2，
在Rt△BDC'中，
由勾股定理，得BD2＝BC'2+DC'2，
即（4﹣x）2＝22+x2，
解得x＝；
②点D在BC的延长线上时，如图，
设CD＝y，由翻折可知C'D＝y，BD＝BC+CD＝4+y，BC'＝AB+AC'＝AB+AC＝5+3＝8，在Rt△BDC'中，
由勾股定理，得BD2＝BC'2+DC'2，
即（4+y）2＝82+y2，
解得y＝6．
故答案为：或6．
【点评】本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键。