离散数学第四讲关系

利用关系图和关系矩阵都可找出所有最大相容类这里只介绍利用关系矩阵构成所有最大相容类其步骤如下201212168只与自身相容的元素能够分别单独地构成最大相容类因此从矩阵中删除这些元素所在行和从由简化的矩阵最右一列开始向左扫描发现1时以相应的行号和列号组成一相容类
第四讲
序偶与笛卡尔积 二元关系 关系运算 关系类型
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实例
例2 证明A (1) 证明A=B,C=D ⇒ A×C=B×D 为什么？ (2) A×C = B×D是否推出 A=B,C=D? 为什么？
任取<x,y> 解 (1) 任取 <x,y>∈A×C ∈ × ⇔ x∈A∧y∈C ∈ ∧ ∈ ⇔ x∈B∧y∈D ∈ ∧ ∈ ⇔ <x,y>∈B×D ∈ × (2) 不一定 反例如下： 不一定.反例如下 反例如下： A={1}，B={2}, C = D = ∅, 则A×C = B×D但是 ≠ B. 但是A ， × × 但是 定理3-4.2和3-4.3 例3、例4见P103定理 、 见 定理 和
i
1 i=
i
上的n元关系。特别A 上的n元关系。特别A1=A2=···=An时，称S为A上

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定义4.1.2 定义4.1.2
令R⊆ A×B，且
dom(R)={x|(∃y)(xRy)} dom(R)={x|(∃y)(xRy)} (R xRy
ran(R)={y|(∃x)(xRy)} an(R)={y|(∃x)(xRy)} )={y|( xRy FLD(R)=D(R) FLD(R)=D(R)
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可见， 是有序对的集合。 可见，R是有序对的集合。若<x,y>∈R，则也表为 x,y>∈ xRy， xRy，即<x,y>∈R⇔xRy。 x,y>∈ xRy。 则称S ×A，则称S为 ×A
n
n
类似地可定义n元关系。若S ⊆ 类似地可定义n元关系。 的n元关系。 元关系。
i= 1
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4.2
定义4 定义4.2.1
二元关系
二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。 二元关系，这里是指集合中两个元素之间的关系。 给定任意集合A和B ， 若R⊆A×B ， 则称R 为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R为A上 的二元关系， 的二元关系。 的二元关系。 为集合, （即：设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二 元关系叫做从 的二元关系, 元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫 上的二元关系。） 做A上的二元关系。）
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性质证明
(A 证明 A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
任取<x,y> 证 任取 <x,y>∈A×(B∪C) ∈ × ∪ ⇔ x∈A∧y∈B∪C ∈ ∧ ∈ ∪ ⇔ x∈A∧(y∈B∨y∈C) ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ⇔ (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ⇔ <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C ∈ × ∨ ∈ × ⇔ <x,y>∈(A×B)∪(A×C) ∈ × ∪ × 所以有A× ∪ 所以有 ×(B∪C) = (A×B)∪(A×C). × ∪ ×
例如
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 类似的还可以定义： 类似的还可以定义： 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等。 大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等。
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1.
关系矩阵 是从A 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到 的关系， 的关系矩阵是布尔矩阵M B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] m×n, 其中 1⇔ rij = 1⇔ < xi, yj> ∈R。 2. 关系图 是从A上的关系， 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图 其中A为结点集， 为边集。 如果<x 是GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集。 如果<xi,xj>属 于关系R 的有向边。 于关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边。 注意： 注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有穷 关系矩阵适合表示从A 的关系或A上的关系（A,B为有穷 集） 关系图适合表示有穷集A 关系图适合表示有穷集A上的关系
元素相同的有序对。 元素相同的有序对。
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实例： 全域关系E 实例 ： 全域关系 EA ， 恒等关系 IA, 小于等于关 是自反的。在全集U 系LA, 整除关系DA是自反的。在全集U中所有子 集的集合中，包含关系⊆是自反的； 但是， 集的集合中 ， 包含关系 ⊆ 是自反的 ； 但是 ， 真 包含关系⊂不是自反的。整数集合Z 关系< 包含关系 ⊂ 不是自反的 。 整数集合 Z 中 ， 关系 < 不是自反的。 不是自反的。
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关系的性质
定义4 定义 4.1.4 令 R⊆A×A ， 若对 A 中每个 x ， 都有 xRx ， 是自反的， 则称R是自反的，即
A上关系R是自反的⇔<∀x)(x∈A→xRx) 是自反的⇔ 该定义表明了， 在自反的关系 R 中 ， 除其他有 该定义表明了 ， 序对外， 序对外 ， 必须包括有全部由每个 x∈A 所组成的
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笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 ≠∅, ≠∅) A×B ≠ B×A (A≠B, A≠∅, B≠∅) (2) 不适合结合律 (A≠∅, ≠∅, ≠∅) (A×B)×C ≠ A×(B×C) (A≠∅, B≠∅, C≠∅) (3) 对于并或交运算满足分配律 (A (B (B A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) (B∪C)×A = (B×A)∪(C×A) (A (B (B A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) (B∩C)×A = (B×A)∩(C×A) 中有一个为空集， 就是空集. (4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 A×B 就是空集. ∅×B A×∅ = ∅×B = ∅ (5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |A×B| = mn |B
n
有
2
n2
个不同的二元关系。 个不同的二元关系。 上有=512个不同的二元关系。 =512个不同的二元关系 则 A上有=512个不同的二元关系。
例如 |A| = 3,
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常用的几类关系
若R=∅，则称R为A到B上空关系；若R=A×B，称R为A R=∅ 则称R 空关系； R=A× 到B上全域关系。特别当A=B时，称∅为A上空关系 全域关系。特别当A=B时 A=B ，称R=A×A为A上的全域关系。称R={<x,x>|x∈A}为 R=A× 上的全域关系。 R={<x,x>|x∈A}为 全域关系 A上的恒等关系，记为IA。 上的恒等关系，记为I 恒等关系
∪
R(R)
则称Dom(R) Ran(R) FLD(R)分别是二元关系R 则称Dom(R)、Ran(R)和FLD(R)分别是二元关系R的定义域 Dom(R 值域和域。 、值域和域。 显然Dom(R) 显然Dom(R)⊆A，Ran(R)⊆B。 Dom(R Ran(R)
例 4 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} FLDR={1, 2, 3, 4}
关 系
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4.1 序偶与笛卡尔积
定义4.1 定义4.1 .1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序 组成的二元组称为序偶（有序对）， ），记作 组成的二元组称为序偶（有序对），记作 <x,y>。 有序对性质: 有序对性质: (1) 有序性 <x,y>≠<y,x> （当x≠y时） 相等的充分必要条件是 (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> ⇔ x=u∧y=v。 n元有序组可简写为（x1 , x2 ,…xn ）。 元有序组可简写为（
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笛卡儿积
定义4.1.2 定义4.1.2 为集合， 笛卡儿积记作 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A×B，且 A×B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} A×B × ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} B×A × ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={∅}, B=∅ ∅ ∅ P(A)×A = {<∅,∅>, <{∅},∅>} × ∅∅ ∅ ∅ P(A)×B = ∅ ×
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定义4.1.5 定义4.1.5 令R⊆A×A，若对于A中每个x，有<x,x>∉R ， 是反自反的， 则称R是反自反的，即
A上关系R是反自反的⇔<∀x)(x∈A→<x,x>∉R ) 是反自反的⇔
该定义表明了，一个反自反的关系R中，不应包括有任 该定义表明了， 何相同元素的有序对。 何相同元素的有序对。
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例5
A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, =A× R2=A×B, R 3= ∅ , R4={<0,1>}
的二元关系, R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, 也是A上的二元关系。 R3 和 R4 也是A上的二元关系。 计数: 计数: |A× A× |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有 2 个。 所以 A上
关系的表示
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反之， 当给定关系R，可求出关系矩阵MR；反之，若给出关系 矩阵MR，也能求出关系R。 集合A上的二元关系R用有向图表示的具体方法是：用 用有向图表示的具体方法是： 中的元素，小圆圈称为图的结点。 小圆圈“ 小圆圈“ο”表示A中的元素，小圆圈称为图的结点。 的结点， 。。若 把对应于元素 ai 和 aj 的结点 ， 分别标记 ai 和 aj 。。 若 连接起来， <ai, aj>∈R ， 则用弧线段或直线段把 ai 和 aj 连接起来 ， 并在弧线或直线上设置一箭头， 并在弧线或直线上设置一箭头 ， 使之由 ai 指向 aj ； 若 <ai, ai>∈R ， 则在结点 ai 上画一条带箭示的自封闭曲 线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。 线或有向环，称这样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。 的图示， 这样得到的有向图< 这样得到的有向图 <A, R> 叫做关系 R 的图示 ， 简称关 系图， 系图，记为GR。
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A上重要关系的实例
定义4.1.3 设 A 为集合, 定义4.1.3 为集合, 上的关系，称为空关系 (1) ∅是A上的关系，称为空关系 A× (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A 恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 x,y∈B∧x整除 整除y}, 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A 为非0 为非0整数子集 包含关系 R⊆ = {<x,y>| x,y∈A∧x⊆y}, A是 x,y∈A∧x⊆ A是 集合族
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实例
例如, 例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>} 例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} {∅ A = P(B) = {∅,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 {<∅ >,<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅ R⊆ = {<∅,∅>,<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,<{a},{a}>,
•
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例6
实例
A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, 的关系矩阵M 和关系图G 如下： R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 0 MR = 0 0
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1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0