福建省长汀一中、连城一中等六校2018届高三上学期期中联考数学(文)试卷含答案

“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考
2017—2018学年第一学期半期考
高三数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．
2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.） 1.设集合{}2
|2M x x
x ==，{}2|log 1N x x =≤,则M
N =
A.[]0,2
B. (0,2]
C. [0,2)
D.(,2]-∞
2。

设1z i =+（i 是虚数单位），则复数2
2
i z -的虚部是
A.i B 。

1 C 。

i - D.1- 3。

下列命题中，真命题是
A.函数sin y x =的周期为2π
B.x R ∀∈，22
x
x >
C 。

“0a b +=”的充要条件是“1a
b =-" D.函数2
ln 2x y x +=-是奇函数 4。

0.22a =,20.2b =，0.2log 2c =的大小关系是
A.c a b <<
B.a b c << C 。

b c a << D 。

c a b << 5.已知1a =，3b =，3a b ⋅=,则a b +=
A.4
B.15 C 。

13 D 。

15
6。

函数sin 1x
y x
=
-的部分图象大致为
7.数列{}n
a 是公差不为零的等差数列，1
2
5
,,a a a 为等比数列,1
1a
=,则5S =
A 。

5 B.9 C 。

25 D 。

50 8。

函数
223,0
()2ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨+>⎩
的零点个数
A 。

3
B 。

2 C.1
D.0
9.下列函数中，最小值为2的函数是
A.1
sin sin y x x
=+
B 。

22
122
y x x =++
+
C.
22
21
x y x +=
+
D 。

21
x y x +=
10。

函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2
A π
ϕ><
）的图象如图所示，为了得到
()f x 的图象,则只需将x x g 2sin )(=的图象
A.向右平移6
π
个长度单位
B.向右平移12π
个长度单位
C.向左平移6π
个长度单位 D.向左平移12π
个长度单位
11.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体的表面积为
A.43
B.43+
C.33 D 。

45
12.已知
,(0,),sin sin 02
π
αββααβ∈->
，则下列不等式
一定成立的是
A 。

2παβ+<
B 。

2π
αβ+= C 。

αβ< D.αβ>
第Ⅱ卷（非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13。

曲线x
y e
e =-在(1,0)A 处的切线方程是_______________.
14.已知实数y x ,满足20002x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩
,则y x z +=的最大值是______________。

15。

已知矩形ABCD 的顶点都在半径为13的球O 的球面上，且
8AB =,6BC =，过点D 作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于E ，则四棱锥E ABCD
-的体积为_____________。

16.图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图,我们采用 “坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数（横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数)比如第一行记为()0,1，第二行记为()1,2,第三行记为()4,5，照此下去,第5行中白圈与黑圈的“坐标”为_______________。

三、解答题（本大题共6小题,共70分。

应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.） 17．（本题共12分）
若数列{}n a 的前n 项和n
S 满足21n
n S
a =+．
(I)求{}n a 的通项公式；
（II ）设()21log n n b a +=-,求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
18．(本题共12分)
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
2sin 1sin 2
C
C =-． (I ）求角C 的大小; （II)若2,5,a c =
=ABC ∆的面积．
19．（本小题满分12分）
从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时）的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
（I ）求频率分布直方图中的a ，b 的值；
（II ）从阅读时间在[14,18)的学生中任选2人，求恰好有1人阅读时间在[14,16)，另1人阅读时间在[16,18)的概率.
20．（本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
,2
AB BC AD BAD ==
∠90.ABC =∠=︒ （I ）证明：直线⊥AB 平面PAD ； （II ）若△PCD 7求四棱锥
P ABCD -的
体积。

21.（本小题满分12分) 已知函数
3()(ln )f x a x x x =++
，32
31
()2g x x x =-+． （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当1a =时,证明()()f x g x ≥对任意[1,2]x ∈成立．
请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy 中，将圆O ：22
1x y +=经过伸缩变换23x x y y '=⎧⎨'=⎩
后得到
曲线C ,
直线l 的参数方程为222x t
y t =+⎧⎨=-⎩
（t 为参数）。

（Ⅰ)求曲线C 和直线l 的普通方程；
(Ⅱ）若点,P A 分别是曲线C 、直线l 上的任意点，求||PA 的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
已知不等式14x x m ++-≤的解集为[]m ,1-,函数122)(-++=x m x x f ．
(Ⅰ）求m的值，并作出函数()f x的图象；
(Ⅱ)若关于x的方程1
x
f恰有两个
(2-
=a
)
不等实数根,求实数a的取值范围．
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中"六校联考
2017-2018学年第一学期半期考
高三数学（文科)答案
一、选择题：
ADDBA BCBCC BC
11。

解：该几何体的直观图是三棱锥A BCD -
1
2332ABD
S
=⨯=，1
2112
BCD
S =
⨯⨯=, 1
2112ABC
S
=
⨯⨯=，ACD 中，5CA CD ==， 2AD =，所以1
2222
ACD
S =⨯⨯=，故表面积43S =12。

解:
,(0,)
2
π
αβ∈, sin sin 0βααβ->，
∴
sin sin α
β
α
β>
，设
sin ()x f x x =
，(0,)2x π∈,2
cos sin '()x x x
f x x -=,
在(0,)2x π
∈，可证tan x x <，即cos sin 0x x x -<，则'()0f x <， 所以
sin ()x f x
x =
在(0,)2
x π
∈上单调递减，sin sin α
β
α
β
>
，所以αβ<。

二、填空题：
13.y ex e =- 14。

4 15。

384 16.(40,41) 三、解答题： 17.（I ）当1n =时， 1
1121a S a ==+,得11a =-， (1)
分
当2n ≥时，根据题意得：
1121n n S a --=+，
……………………2分
所以()()111212122n n n n n n S S a a a a ----=+-+=-
，即12n
n a a -=
……………4分
∴
数列{}n a 是首项为1-，公比为2的等比数列。

∴ ()11122n n n a --=-⋅=-
(6)
分
（II ）由（I ）得：()212log log 2n n n b a n +=-== ……………………8分
()11111
11n n b b n n n n +∴
==-
++， (10)
分
∴1111
1111223111
n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……………………12分 18。

（Ⅰ）
2
2sin 1
sin 2
C
C =-
，cos sin C C ∴=……………………3分
tan 1C ∴=
……………………………………………………4分
(0,),4
C C π
π∈∴
=。

……………………6分
(Ⅱ）由余弦定理知
4
a c C π
===
,2
222cos c a b ab C =+-……………………7分
252
2
b ∴=+-⋅
……………………8分
∴2230b b --=∴3b =,或1b =-（舍去） (10)
分
故113sin 3222
ABC
S
ab C ∆=
==.……………………12分
19.解：(I）课外阅读时间落在[6,8)的有22人,频率为0.22，
所以
0.22
0.11
a==…………………………………………………2分2
课外阅读时间落在[2,4)的有8人，频率为0。

08，
所以
0.08
b==……………………………………………………4分
0.04
2
(II）课外阅读时间落在[14,16)的有2人，设为,m n;课外阅读时间落在[16,18)的
有2人，为
x,y，………………………………………………6分
则从课外阅读时间落在[14,18)的学生中任选2人包含(,),(,),(,),
m n m x m y (,),(,y),(x,y)
n x n共6种， (8)
分
其中恰好有1人阅读时间在[14,16)，另1人阅读时间在[16,18)的有(,),(,),(,),(,)
m x m y n x n y共4种，………………………………………………10分
所以所求概率
42
P==………………………………………………12分63
20。

解（I)平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =……2分
又在平面ABCD 内，90
BAD ∠=，AD BA ⊥∴ (3)
分
BA ∴⊥平面ABCD .
…………………………………………………4分
（II ）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，
由1
2AB BC AD ==，90
BAD ABC ∠=∠=
可得四边形ABCM 是正方形，则CM AD ⊥……………………………5分
PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
PM AD ∴⊥,PM ⊥底面ABCD
PM CM
∴⊥…………………………………………7分
设
BC x =，则CM x =，PM =
，2PC PD x ==,
取CD 的中点N ，则PN CD ⊥，x 2
14
PN =
∴，…………………………8分
PCD
2
x ⋅=得x =x =10分
()11
232
p ABCD V x x x -=⋅+=
所以，四棱锥
P ABCD -12分
21。

解:（I ）222
133
'()(1)0)ax ax f x a x x x x +-=+-=>（， (1)
分
若0a ≤，'()0f x <，∴()f x 在(0,)+∞上单调递减;…………………… 2分 若0a >,令'()0f x =，2
30ax
ax +-=，22
4(3)120a a a a =--=+>
10x =<，20x =>， (3)
分
∴()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增 (4)
分
综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减;
当0a >时,
()f x 在(0,2a a
-+上单调递减，
在()2a a
-+∞上单调递增。

(5)
分
(II ）证明:设32331
()()()ln 2F x f x g x x x x x x
=-=++-+-， 设()ln u x x x =+，3
23
13
()2v x x x x
=-+
+- ………………………………6分
令1
()ln ,'()10u x x x u x x
=+=+
>， ()u x ∴在[1,2]上单调递增，()(1)1u x u ≥=；………………7分
令32313()2v x x x x =-++-,24324
923329
'()x x v x x x x x
--+=--=， 设2
()329x x
x ϕ=--+，对称轴1
3
x =-
，()x ϕ∴在[1,2]上单调递减，………8分
且(1)4,(2)7ϕϕ==-，所以在[1,2]存在0
x 使得0
(1,)x x ∈时，0
()0x ϕ>，
0(,2)x x ∈时,0()0x ϕ<。

故()v x 在0
[1,)x 上单调递增，在0
(,2]x 上单调递减，………………9分
(1)1v =-,5
(2)8
v =-
， ()(1)1v x v ≥=- ………………………………10分
∴()()()()()(1)(1)0F x f x g x u x v x u v =-=+≥+=，
所以()()f x g x ≥ ………………………………12分 22。

解：（Ⅰ）由23x x y y '=⎧⎨'=⎩ 得1'2
1'
3x x y y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
代入221x y +=
得曲线C 方程为:22
149x y +=
………………………………………3分
直线l 的普通方程为：260x y +-= ……………………………………5分
（Ⅱ)设曲线C 上任意取一点(2cos ,3sin )P θθ（02θπ≤<）, 则P 到l 的距离d 为：
3sin 6)6d θθθα=
+-=+-，(其中4tan 3α=）……8分
所以，当()sin 1θα+=时，||PA
…………………………
10分
23.(Ⅰ)由题意可知1->m ，
当m x ≤≤-1时，有11+=-++m m x x ，………………………2分
因为m x ≤≤-1满足不等式14x x m ++-≤，因此14m +=，即3m =……4分
（Ⅱ)方程1
m
x
x
f=1
=x
+
2
2
)
(-
+
2-
a有两个不等实根，
即函数)(x f
y=和函数12-
=a
y有两个交点，
由（Ⅰ）的图象可知214
a->，5
a>
a<-5
所以实数a的取值范围是(()
,55,
a∈-∞-+∞……………………………10分。