2021-08-17-2021年中国女子数学奥林匹克第8题的解答

2021年中国女子数学奥林匹克第8题的解答

---含有60°角的三角形的性质与判定之一

2018年女子数学奥林匹克于2018年8月13、14两天举行考试，每天4个题目。此次考试规模恢宏，几乎聚齐了世界各地的巾帼英雄——女子数学奥林匹克选手。

在此，我顺便说点题外话，一直以来有一种普遍的认识是女性的理科比较弱，女科学家相当少，数学尤其不适合女生，因为女数学家更是凤毛麟角。甚至有人认为女生天生缺乏理科思维，不适合学理科，特别是数学！这种说法在农村里面尤其盛行。我来自农村，原来我也这样认为，因为周围的女生确实普遍理科弱。但是等我到了大城市以后，我发现班级里面的女学霸层出不穷，大学有不少同学毕业后留在大学、从事数学研究。再后来教书以后，发现班级里面也有不少女生的理科学得非常好。我开始对这个观点产生怀疑。后来读了不少科普知识，感觉今是而昨非。

我的理解是：从生物本能上看，雌性生物整体比雄性生物各方面都要出色，因为她们负担着物种延续的使命。所以人类平均寿命女性比男性高很多。因此男女在理科学习上应该也没有明显的差异。有不少统计数据来证实这个观点。之所以以往女科学家及数学家比较少，是因为以前一直是男权社会，重男轻女的思想特别严重。导致女性没

有足够的机会学习理科及数学。再加上重男轻女思想的侵蚀，给女性造成了巨大的舆论和生活、思想压力，导致她们很难全身心的投入到理科及数学的研究中去。

当今社会，农村里面的重男轻女思想还是很盛行，所以农村女孩整体的理科学习都比较弱。而在城市里面，男女平等，公平竞争，女生的理科思维得到充分锻炼，理科优秀的女性就越来越多了。我相信将来擅长理科的女性会层出不穷。我也经常鼓励喜欢理科的女学生报考及从事理科及数学相关专业。我也相信女性在社会中会扮演着越来越重要的角色，甚至会超过半边天。

也希望喜欢理科的女读者放下思想包袱，坚持下去，发挥自己的理科优势。

下面言归正传，今年女子竞赛压轴题第8题是一个几何题，这是一件破天荒的事情！以往的几何题都是前两题中的简单题，最多放到第三题，今年压轴算是一个创举。原因可能和今年IMO我国的选手在压轴题——几何题上发挥不太好有关。

如图，I为△ABC的内心，D、E分别为内切圆与边AB、AC的切点，

设BI与AC交于点F，CI与AB交于点G。DE交BI于点M，DE交CI于点N，DE与FG交于P，BC与IP交于Q。

证明：BC=2MN <=> IQ=2IP.

思路分析：本题中M、N我还是比较熟悉的，因为这是一个经典的性质BM⊥CM，同理BN⊥CN。

由正弦定理即可得到BC=2NM<=>∠NCM=30°<=>∠A=60°，从而发现这是含有60°角的三角形的性质与判定。此类问题我也比较熟悉，而且根据经验，性质比较简单，判定很难。估计此题亦然。

从而本题可以把MN消去，转化为如下图，需要证明∠A=60°<=> IQ =2IP，先看性质，∠A=60°=>GD=FE=>GP=FP(Menelaus)=>IP⊥FG=>2IP=IF=IQ，得证。

本题难点在于如何由2IP=IQ推出∠A=60°。

此时点P为两条直线的交点，这个条件比较难用。

一个思路是计算，用Menelaus定理算出FP/GP,

然后用张角定理，这个会相当复杂。

如果不算呢？如果确定P点呢？

经过一番漫长的毫无目标的探索。我发现

P在FG上比较难用，突然想到FG的一个核心的性质：

线段FG上任意点到AB、AC距离和等于到BC距离。

从而可以消去FG，如下图，

P在三边射影为W,T,U，且PW=PT+PU,

又AD=AE,从而PT+PU=DV,

令r为内切圆半径，又由IQ=2IP,得PW=1.5r,即DV=1.5r，由此即得关于A的等式，即可解出∠A=60°。

详细证明如下：

证明：先证明两个引理：

引理1：已知：如下图，I为△ABC内心，D、E为I在AB、AC 上投影，

BI交DE于M。则∠BMC=90°。

证明：依题意∠AED=90°-0.5∠A

=0.5∠ABC+0.5∠ACB=∠FIC,

故IMEC共圆，故∠BMC=∠IEC=90°.

引理2：已知BF,CG为△ABC角平分线，P在线段FG上，P在三边投影为W、T、U，

则PW=PU+PT，

证明：设G、F在边上的投影为X,R,Y,S，由角平分线定理得GX=GR,FY=FS,

由平行得PU/FY=PG/GF=PZ/FS=PZ/FY,

故PU=PZ,同理WZ=PT，

故PW=PZ+ZW=PU+PT.

下面回到本题中来，

如图设P在三边射影为W,T,U，D在AC上射影为V。

由引理1知BM⊥CM同理BN⊥CN.

从而I为△LBC垂心，则BCMN共圆，

由正弦定理得BC=2NM<=>BC=2BCsin∠NBM

<=>∠NBM=30°<=>∠L=60°<=>∠BIC=120°<=>∠A=60°若∠A=60°，则∠GID=∠EIF,故GD=FE，

由Menelaus定理得1=(AE/EF)*(FP/PG)*(GD/DA)=FP/PG,故GP=FP。

又AGIF共圆，故IF=IG,故IP⊥FG

且FIC=GIC故IF=IQ,

从而2IP=IF=IQ。

若2IP=IQ，由引理2知

PW=PT+PU,

又AD=AE,由面积法容易得到PT+PU=DV,

令r为内切圆半径，A=2x,t=tanx,

则由IQ=2IP得PW=1.5r,即DV=1.5r，

从而1.5r=DV=ADsin2x=rcotx*sin2x

即1.5=cotx*sin2x=cotx*2t/(1+t^2)=2/(1+t^2)

从而t=√(3)/3, ∠A=60°。

综上所述：BC=2MN <=> IQ=2IP.

注：1）本题证明中的两个引理都是内心非常重要的性质，是除去鸡爪定理以外内心的最重要的性质，希望读者将其记住并时时尝试