实变函数 习题答案

实变函数习题答案
实变函数是数学分析中的一个重要概念，它在微积分和数学分析的学习中起着
重要的作用。

在学习实变函数的过程中，习题是非常重要的，通过解答习题可
以加深对实变函数的理解和掌握。

本文将通过一些典型的实变函数习题，来讨
论实变函数的一些基本性质和解题技巧。

一、实变函数的定义
实变函数是指定义在实数集上的函数，即函数的自变量和因变量都是实数。

常
见的实变函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

实变函数的
定义域是实数集，值域可以是实数集或者是实数集的子集。

二、实变函数的性质
1. 实变函数的奇偶性：若函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；若函数f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数。

通过奇偶性的判断，可以简化实变函数的求解过程。

2. 实变函数的周期性：若存在正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)，
则函数f(x)是周期函数。

常见的周期函数有正弦函数、余弦函数等。

3. 实变函数的单调性：若对于任意的x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)是递
增函数；若对于任意的x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)是递减函数。

4. 实变函数的极限：实变函数的极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的
值趋于某个特定值。

通过求解实变函数的极限，可以判断函数的收敛性和发散性。

三、实变函数习题解答
1. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的奇偶性和周期性。

解答：首先，将函数f(x)代入奇函数和偶函数的定义中，得到f(-x) = 2(-x)^2 -
3(-x) + 1 = 2x^2 + 3x + 1。

由于f(-x) ≠ f(x)，所以函数f(x)不是奇函数。

然后，将函数f(x)代入周期函数的定义中，得到f(x+T) = 2(x+T)^2 - 3(x+T) + 1 = 2x^2 + (4T-3)x + (2T^2-3T+1)。

若要使f(x)是周期函数，则需要满足4T-3 = 0，解得T = 3/4。

所以，函数f(x)的周期为3/4。

2. 求函数f(x) = sin(x)的单调区间。

解答：函数f(x) = sin(x)是周期函数，周期为2π。

在一个周期内，函数f(x)的最大值为1，最小值为-1。

由于函数f(x)的周期性，只需要求解一个周期内的单调区间即可。

在区间[0, 2π]内，函数f(x)的单调区间为[0, π]和[2π, 3π]，即函数f(x)在这两个区间内是递增函数。

3. 求函数f(x) = 1/x的极限。

解答：当x趋于正无穷大时，函数f(x)的极限为0；当x趋于负无穷大时，函数f(x)的极限也为0。

所以，函数f(x)的极限为0。

通过以上习题的解答，我们可以加深对实变函数的理解和掌握。

实变函数是数学分析中的重要内容，通过解答实变函数的习题，可以提高我们的数学分析能力和问题解决能力。

希望本文对大家在学习实变函数方面有所帮助。