小升初奥数思维训练第3讲：数字谜、数阵图、幻方(经典透析)

第3讲数字谜、数阵图、幻方
【例1】（☆☆☆）右面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的
乘积是。

审题要点：
此题为乘法数字谜，由于其中A中4出现在高位，所以利用高位分析法进行突破。

详解过程：
解：1、由c×4a=A，A百位数为4，可知c=8或9，若c=8，则
c×a必须向前进8，不可能。

所以c=9。

2、c=9时，a×9至少向前进4，即a×9≥40，知a≥5。

3、对a=5，6，7，8，9进行逐一验算，验算的主要方法是通过c
中的4进行，
若a=5，则A=405，f=4，但5×b末位不可能为4，排除。

若a=6，则A=414，f=3，但6×b末位不可能为3，排除。

若a=7，则A=423，f=2，7×b末位为2，则b=6，
所以乘积为3243。

若a=8，则A=432，f=1，但8×b末位不可能为1，排除。

若a=9，则A=441，f=0，但9×b末位不可能为0，（因为乘数不能0开头），排除。

专家点评：
此题是乘法数字谜中比较经典的一个题型，用到的分析法依次包括：高位分析法（步骤1），进位分析法（步骤1），估算分析法（步骤2），个位分析法（步骤3），逐一尝试法（步骤3），及排除法（步骤3），注意寻找数字谜突破口的方法，抓住题目所给的已知数字，从涉及已知数字所有的计算处考虑，首先考虑乘法的关系，因为能够使用的分析法最多。

希望同学也可以自己根据做题体会进行总结。

【例2】（☆☆☆）已知右面的除法算式中，每个□表示一个数字，
那么被除数应是。

审题要点：
此题属于数字谜中的复杂题型，题目给出已知数字只有两个，不能直接使用个位分析法与高位分析法，可以结合数位考虑利用数值大小估值的方法进行分析。

详解过程：
解：1、首先比较明显可得出d=0，然后从2个数字的相关计算
⨯=，由于B只有两位数，所以可估算
进行突破，首先，8ab B
推知ab=10，11或12。

⨯=，A为3位数，结合ab=10，11或12可知，c=9
2、又c ab A
ab=，将其他各数补充完整即可。

且12
专家点评：
此题是结合数位进行估算的一个典型数字迷，也利用了循环推理的原理。

先是根据数字8×ab的乘积，利用数位估算确定ab的可能值，再根据c×ab的乘积，利用数位估算确定ab为12。

所以在数字迷中，不仅有数字的地方有突破口，没有数字的地方也可能有突破口，一般是利用数位估算，当然也有其他分析方法，例如利用进退位的分析进行突破。

【例3】（☆☆☆☆☆）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，
不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字？
审题要点：
此题属于乘法数字谜中较难的题型，由于题目中出现的几个数字都为个位数，所以首先考虑运用个位分析法进行突破。

详解过程：
解：1、A行中末位为1，可推知a×b有四种可能性，1×1，3×7，
7×3，9×9，又因为A行中为5位数，所以排除1×1，若a×b为
9×9，则又结合B，C，D行中末位为9，可推出h，f，d为1，与B，
C，D都为5位数矛盾，排除。

3×7，7×3暂时不能确定。

2、假设a=7，b=3，由三个末位数是9，可推知h=f=d=7，这样反复利用
乘法和加法的个位分析法，可推知c=6，e=4，g无法满足。

假设排除。

3、假设a=3，b=7，由三个末位数为9，可推知h=f=d=3，同步骤2反
复利用乘法与加法个位分析法，可依次推出4,5,4c e g ===，而且满
足15新＝，年＝，所以“新年”代表15。

专家点评：
此题也是乘法数字谜中非常经典的一个题型，综合运用的分析法非常的多，且反复使用，环环相扣，同学可以在练习中好好体会其中的巧妙之处，依次包括：个位分析法（乘法与加法）（步骤1，2，3），结合数位考虑数字大小估算分析法（步骤1），循环推导（步骤2，3）。

【例4】（☆☆☆☆）2008年奥运会快要到了，下图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志，你能把1—9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等吗？
审题要点：
此题属于典型的数阵图，应该利用数字和全部相加的方法进行解答，从整体与个体的角度，同时考察应该填入的数字。

详解过程：
解：1、首先由于一共5个圆圈的数字和相等，由于填入的数无法确认，将5个数字和全部相加，由于数字和未知，设为S ，则5个圆圈全部数字和为5S 。

2、考虑全部数字和5S 中的各个组成部分：可知a ，b ，c ，
h ，i 只加了一次，而d ，e ，f ，g 四个加了2次，即可以看
成1至9全部数字均加了一次，d ，e ，f ，g 多加了一次，表示
为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g ）。

3、 整体等于部分之和，列出方程：5S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（d+e+f+g ），化简为5S=45+（d+e+f+g ），d+e+f+g 的最小值为1+2+3+4=10，此时S=11，最大值为6+7+8+9=30，此时S=15，一共5种可能填法。

4、逐一进行试验：
当S=11时，d ，e ，f ，g 为1，2，3，4时，可得出答案为：
当S=12时，经过试验无解。

当S=13时，d+e+f+g=20，取2，4，6，8，得出答案：
当S=14时，d+e+f+g=25，取3，6，7，9，得出答案：
当S=15时，经过试验无解。

【例5】（☆☆☆）小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，
上面写着：把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每条线段
上3个圆内所填数的和都相等。

如果中心圆内填的数相等，那么就视为同
一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？
审题要点：
此题属于数阵图中的经典题型，同学们一定要利用数字和的规律来做，千万不要直接试，否则会浪费很多时间的。

详解过程：
解：1、由于5条线段的和均相等，从整体考虑将其全部相加为5S 。

2、从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作所有数10至20均加了1次，中间数a 多加了四次，表示为（10+11+……+20）+4a ，
3、列出等式为5S=（10+11+……+20）+4a ，化简为5S=165+4a ，要使等式成立，a 必须为5的倍数，得出三种答案，a=10时，S=41，a=15时，S=45，a=20时，S=49。

4、将三种答案逐一尝试，得出三种答案分别如图：
专家点评：
此题中个体考虑时中心数字a 一共加了5次，在列式当中一定要注意：加上的是多加的次数，即4a ，而不是5a ，因为在全部数字里面a 已经相加一次。

对a 进行取值时的原则是使右边总和能够被5整除，确定a 值与S 值后进行简单的数字分组即可完成。

有的题目在数字分组时需要同时满足多个条件，需要综合考虑，请看例6。

【例6】（☆☆☆☆☆）右图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处
的九个○中，要求每个正三角形顶点的三数之和都相等，并且通过四个○
的每条直线上的四数之和也相等。

审题要点： 16141713181219112010151614171318121911201015
此题与上题相类似，注意题目要求两组和相等，应该先由一组进行分析满足后，再在此基础上满足另外一组和相等的条件。

前面的分析方法一致，后面尝试部分数字分组时需要多考虑几个部分的和相等即可。

详解过程：
解：1、先考虑三角形和相等的部分，由于无重复数字，全部数字相加一次，直接列出等式：3S =（1+2+3+4+5+6+7+8+9），解出：S =15
将所有数字分成数字和为15的三组：（1，5，9）；（2，6，7）；（3，4，8）
任意选择其中一组填入最里面三角形，另外两组则不能随便填，需要再满足另一组和相等。

2、考虑三直线和相等。

观察发现内部三角形三数相加两次，其他相加一次，列出等式为：
3K=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）+（a+b+c ）
注意到内部三角形三数之和a+b+c 已确定为15，代入解出方程得：K =20。

先看有5和9的直线，其他两个数和为20–5-9=6，即需要从其他两组数中分别选取两数和为6，可为4，2。

再看有5和1的直线，其他两个数和为20–5-1=14，即需要从其他两组数中分别选取两数和为14，可为8，6。

最后看有9和1的直线，其他两个数和为20–9-1=10，即需要从其他两组数中分别选取两数和为10，可为3，7。

分别填入即得到答案如下左图。

如果一开始使用其他的分组法，还可得出下右图。

专家点评：
1、此题中两组和均需要满足相等，应该首先选择较为简单的一组进行分析，三角形三数和相等由于无重复数字，可以直接求出和为15，对后面另一组分析有用。

2、步骤二的等式分析中，利用了第一组的结论三角形三数和为15，a+b+c=15，此处的利用十分巧妙，大家要注意其特点，还有很多题目中有此类使用。

3、步骤二中的尝试是在第一组分组的基础上进行，注意直线上其他两个数必须分别来自两组数字中，大家可以想一想其中的原因。

4、步骤二中三组数（4，2）（8，6）（3，7）确定后，填入图中时，同时又要考虑步骤一中的分组情况，即须保证（2，6，7），（3，4，8）在同一直线上。

综合考虑，需要全面周到。

【例7】（☆☆☆）请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条 对角线上的三数之和相等。

审题要点：
此题属于构造简单幻方题型，不能简单的直接尝试，而应该利用幻方的性质，按一定的9876534219876534
21
顺序和步骤进行逐一填入。

详解过程：
解：1、首先将2，3，4，5，6，7，8，9，10找出中间数6，并把其他数按首尾顺序配好对即（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），根据幻方性质4知道幻和为18。

2、根据幻方性质2将中间数填入幻方中心。

3、根据幻方性质3和5依次将配对填入。

首先（2，10）填入（B ，H ）（或者（D ，F ）也可以）。

其次（3，9）可填入（G ，C ） 注意：（3，9）不能填入（C ，G ），大家知道为什么吗？）下面两对
就不能随便填入了。

4、根据每行每列三数相加等于幻和18将其他数依次填入。

例如第一行中，A+2+9=18推出A=7，其他依次类推。

5、时间允许的情况下最好能够完全检验所有行列及对角线是否相加等于幻和。

专家点评：
构造幻方有很多的方法，这里介绍的是一种比较常用的方法，推荐使用，因为其构造的过程完全依赖于幻方的性质，掌握此构造过程有利于对幻方性质的更深理解。

【例8】（☆☆☆☆）在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然 数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都
等于21。

审题要点：
此题也是属于幻方的构造，只不过条件更为复杂，但还是万变不离其宗，利用幻方的基本性质按步骤进行构造。

详解过程：
解：1、由幻和为21首先确定数列中间数及幻方中心数为7，进而确定C 为9。

2、根据数列不大于12的条件将数列按中间数为7依次列出为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，发现有五组可能的配对，所以应该排除一组。

3、采用假设法，设最大最小数组为（3，11），按照幻方的性质5将填入（B ，H ），进而确定（A ，I ）为（C,G ）为（9，5），（A,I ）为（8，6），但是此时第一行三数之和8+3+9=20不等于幻和21。

4、确定最大最小数组为（2，12），填入（B ，H ），进而根据幻和依次填入其他数组。

满足条件。

A 7
B 2
C 9
D 8
E 6 F
4
G 3 H 10 I 5
A 8
B 3
C 9
D
E 7
F
G 5
H 11
I 6 A 10 B 2 C 9 D 6 E 7 F 8 G 5 H 12 I 4
专家点评：
此题中根据已知无法直接确定数列，而且幻方中有一组配对已经确定，所以只能采用假设法，按照最大最小数组的选择进行假设，很容易得出结论。

假设法是奥数里面常用的一种方法，希望同学们在几种情况无法确定的时候一定要采用假设法。

【例9】（☆☆☆☆☆）如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。

（1）求x ；
（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。

审题要点：
此题第一问中给出的条件只有两个数字，无法确定中心数，也无法确定幻和，这里需要利用幻方性质中最为复杂的一个即性质6。

第二问相对就简单得多了。

详解过程：
解：1、直接根据幻方性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。

可知95即为19与x 的平均数，所以可求出x 为171。

2、由中心数为100确定幻和为300，然后由每一行列数相加为幻和依次计算出其他数组。

结果如图所示：
专家点评：
本题中使用的幻方性质6比较偏，同学们可以重点记忆，当然此问也可以用方
程法直接解出，但是过程比较复杂，这里就不作深入分析，有兴趣的同学可以自己去试试，得出的答案完全一样。

第二问属于一般的幻方计算，综合利用幻方性质就可以直接得出结论。

x
199510095
19。