2021年福建省龙岩市永定第一中学高三数学文月考试题含解析

2020-2021学年福建省龙岩市永定第一中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. P是所在平面内一点，若，则P是的（）A．外心B．垂心 C．重心D．内心
参考答案：
B
2. 对任意的实数x，不等式mx2﹣mx﹣1＜0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．（﹣4，0）B．（﹣4，0] C．[﹣4，0] D．[﹣4，0）
参考答案：
B
考点：函数恒成立问题．
专题：计算题．
分析：当m=0时，不等式显然成立；当m≠0时，根据二次函数图象的性质得到m的取值范围．两者取并集即可得到m的取值范围．
解答：解：当m=0时，mx2﹣mx﹣1=﹣1＜0，不等式成立；
设y=mx2﹣mx﹣1，当m≠0时函数y为二次函数，y要恒小于0，抛物线开口向下且与x轴没有交点，即要m＜0且△＜0
得到：解得﹣4＜m＜0．
综上得到﹣4＜m≤0．
故选B．
点评：本题以不等式恒成立为平台，考查学生会求一元二次不等式的解集．同时要求学生把二次函数的图象性质与一元二次不等式结合起来解决数学问题．3. 函数的最小正周期和最大值分别为（）
A. B. C.，1 D.，
参考答案：
C
略
4. 已知，则不等式的解集为
（A）≥199，（B）≥200，
（C）≥201，（D）≥202，参考答案：
解：
5. 设实数x，y满足不等式，则的最小值是（）
A．－1 B． C. 2 D．
参考答案：
B
作出可行域如下图所示：
设，则只需求的最小截距，平移直线，当直线经过点时，的截距最小，此时，故选B.
6. 函数的图象大致是
参考答案：
A
7. 已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量与的夹角为
（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
由，变形可得，再利用平面向量数量积公式，结合向量夹角的范围可得结果. 【详解】设向量与的夹角为，
因为向量、为单位向量，
且在的方向上的投影为，
则有，
变形可得：，
即，
又由，则，
故选A．
【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.
8. 将函数的图象按向量平移后所得的图象关于对称，则向量的坐标可能为： A． B． C． D．
参考答案：
B
略
9. 下面的程序框图中，循环体执行的次数是()
A、50
B、99
C、100
D、49
参考答案：
D 略
10. 已知点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上运动，则x-y 的取值范围是
（ ）
A ．[-2,-1]
B ．[-2,1]
C ．[-1,2]
D ．[1,2]
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数(),则与
的大小关系为 ．
参考答案：
<
12. 函数
的定义域是 。

参考答案：
试题分析：因为
，所以
所以函数的定义域为：。

考点：函数的定义域及三角不等式.
13. 在圆内,过点有条弦,它们的长构成等差数列
,若为过该点最
短弦的长,
为过该点最长的弦的长,且公差
,则的值为 .
参考答案： 5
14. 数列满足， ，则 。

参考答案：
15. 直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数的取
值范围是 ▲ 。

参考答案：
16. （6分）（2015?丽水一模）设全集U=R ，集合A={x∈R|x 2﹣2x ﹣3＞0}，B={x∈R||x﹣a|＞3}，则C U A= [﹣1，3] ；若（C U A ）∩B=
，则实数a 的取值范围是 ．
参考答案：
[0，2]
【考点】： 交、并、补集的混合运算；补集及其运算． 【专题】： 集合．
【分析】： 求解二次不等式化简A ，然后直接求出其补集；求解绝对值的不等式化简集合B ，由
（C U A ）∩B=
得到关于a 的不等式组求得a 的范围．
解：A={x∈R|x 2
﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1或x ＞3}，全集U=R ， ∴C U A=[﹣1，3]；
由B={x∈R||x﹣a|＞3}={x|x ＜a ﹣3或x ＞a+3}， 由（C U A ）∩B=
，
得，即0≤a≤2．
∴实数a 的范围为[0，2]． 故答案为：[﹣1，3]；[0，2]．
【点评】： 本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了二次不等式与绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，是中档题．
17. 已知函数
，则满足
的的取值范围是
．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角．
(1)求BC 的长度；
(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为
，
，问点P 在何处时，
最小？
参考答案：
解得
．
的长度是
． ………………………7分
19. 设椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆
截得的线段长为
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l ：y=kx+t （k≠0）与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与y 轴交点P （0，﹣），求△MON（O 为坐标原点）面积的最大值．
参考答案：
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．
对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N （x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表
示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．
解答：解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，
a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①
易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，
代入椭圆方程中，得，解得y=±
由题意，得，得．…②
联立①、②，得，b2=2，
故椭圆C的方程为．
（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③
有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），
由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，
∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），
将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），
化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．
|MN|==
=．
设原点O到直线MN的距离为d，则，
∴S△MON=?|MN|?d=?．
==，
当t=2时，S△MON有最大值，
此时，由3k2+2=4t知，k=±，
∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．
点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：
程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．
2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定
理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求
最值．
20. 已知函数.
(1)若是函数的极值点,求的值；
(2)求函数的单调区间.
参考答案：
略
21. （12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员. 三个月后，统计部门在
一个小区抽取了户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），
将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）已知该小区共有居民户，在政府进行动员前平均每月用水量是吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；
（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在内的家庭中选出户作为采访对象，其中甲、乙两家在备选之列，求恰好选中他们两家作为采访对象的概率.
参考答案：
解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为
（吨）
于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水
（吨）……………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知动员前月均用水量在内的家庭有户，
设为：甲、乙、、、、，从中任选户，共包含个基本事件：
（甲，乙）、（甲，）、（甲，）、（甲，）、（甲，）、（乙，）、（乙，）、（乙，）、（乙，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，）
甲、乙两家恰好被选中是其中一个基本事件：（甲，乙），
因此所求概率为…………………………………………12分
略
22. 设的内角所对的边分别为，已知，
（I）求的周长；（II）求的值。

参考答案：
【知识点】解三角形C8
（I）5；（II）（I）因为，所以c=2，则△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5；（II）因为，所以，，因为a＜c,所以A＜C,则A
为锐角，所以,所以.
【思路点拨】结合已知条件，恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.。