2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章2.3从速度的倍数到数乘向量(第2课时) 教案

2.3从速度的倍数到数乘向量（第2课时）
———— 平面向量基本定理 一、教学目标 1.知识与技能
理解平面向量的基本定理及其几何意义，并能进行简单应用。

2.过程与方法
通过引导学生从实例中探究平面向量的基本定理，使学生掌握定理的推导方法；通过指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观
通过实例引入平面向量基本定理，让学生进一步认识和体会数学和实际生活、数学和各学科之间的联系，有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二、教材分析
教材从生活实例出发，引出平面向量基本定理，不仅让学生了解数学与实际生活的紧密联系，并通过例题使学生掌握应用定理解决相关问题的方法。

平面向量基本定理是向量法的理论基础。

这个定理揭示了任一平面向量均可用平面内的任意两个不共线向量线性表示出来的实质。

它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，使几何问题可以通过向量的坐标来解决。

三、教学重、难点
教学重点: 平面向量基本定理及其应用； 教学难点:平面向量的基本定理的理解。

四、教学方法与手段
教学方法采用引导探究教学方法. 五、教学过程 （一）复习引入
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa 。

（1）|λa |=|λ||a
|；
（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=。

2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a
；
分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λb 3. 向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . （二）探究新知 1．思考交流：
（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量，，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表
示？
（3）设，是不共线向量，是平面内任一向量，能否用向量，表示向量？
引导学生分析得出下面定理。

2．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2. 说明：
（1）、必须不共线，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
（2）基底给定时，分解形式唯一， λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量； （3）基底不惟一，关键是不共线；
（4）同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，这个定理也叫共面向量定理.
（三）例题讲评
例 4 1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别
2e 1e 2e a 1e 2e a 1e 2e a a
1e 2e 1e 2e 1e 2e
O
N
M
C
成30︒, 60︒角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90︒，
=1 (kg) ， ∠P1OP=60︒ ， ∠P2OP=30︒
， ∴=cos60︒=1•=0.5 (kg)
，
=cos30︒=1•=0.87 (kg)，
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 。

例5 如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=，=，
用，表示，，和。

解：在 ABCD 中，
∵=+=+，
=-=-，
∴=-=-(+)=--，
==(-)=- ， ==+，
=-=-=-+。

例6. 如图，在△ABC 中，=, =，AD 为边BC 的中线，G 为
△ABC 的重心，求向量。

解法1：∵=, = ，
则==，
∴=+=+，而=，
|
|−→
−OP ||1−→
−OP ||−→
−OP 21||2−→
−OP |
|−→
−OP 23−→
−AB a −→−
AD b a b
−→−MA −→−MB −→−MC −→−MD −→
−AC −→−AB −→
−AD a b
−→
−DB −→
−AB −→
−AD a b
−→
−MA 21−→−AC 21a b 21a
21b −→
−MB 21DB 21a b 21a 21b −→−MC 21AC 21a
21b
−→
−MD −→
−MB 21−→−DB 21a
21b
−→
−AB a −→−
BC b AG −→
−AB a −→−
BC b −→
−BD 21−→
−BC 21b −→
−AD −→
−AB −→
−BD a
21b −→−AG 32
−→−AD D M A
B
C
a
b P 1
P
P 2
30︒
60︒
∴=+。

解法2：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F ，
∵△AEF ∽△ABC ， ∴ == ， == ， == ，
∴=+=+。

例7．设,是两个不共线向量，已知=2+k , =+3, =2-, 若三点A, B, D 共线，求k 的值.
解： =-=(2-)-(+3)=-4， ∵A, B, D 共线， ∴,共线 ， ∴存在λ使=λ
即2+k =λ(-4)
∴ ， ∴k=-8。

（四）小结概括
（学生总结，其它学生补充） 1、平面向量基本定理；
2、平面向量基本定理的应用方法. 六、课后作业与反思
1．课后作业
（1）教材习题2--3 A 组第5、6、7题；B 组第1、2题；
（2）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M, N 分别是DC, AB 中点，设=, =，试以, 为基底表示, , 。

AG 3a
3b −→−AE 32−→−AB 32
a
−→
−EF 32−→−BC 32b −→−EG 21
−→
−EF 31b −→
−AG −→−AE −→
−EG 32
a 31
b 1e 2e −→−AB 1e 2e −→−CB 1e 2e −→
−CD 1e 2e −→
−BD −→
−CD −→
−CB 1e 2e 1e 2e 1e 2e −→
−AB −→
−BD −→
−AB −→
−BD 1e 2e 1e 2e ⎩⎨
⎧-==λλ
42k −→
−AD a −→−
AB
b a b
−→−DC −→−BC −→−MN D
A
E C
a b
B
F G
解：== ， 连ND 则DC ╩ND ，
∴==-=-，
又∵==，
∴=-=-=--
=(-+)-=-。

2、课后反思
平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，同时也使向量用坐标表示成为可能，使几何问题可以通过向量的坐标来解决。

在教学时，建议教师从具体的向量加法引入，引导学生认识到任意一个向量可以表示成两个不共线向量的和，并且这种分解不是唯一的。

DC 2AB 2b −→
−BC −→
−ND −→−AD −→
−AN a
21b
−→
−DM 21−→
−DC 41b −→−MN −→−DN −→−DM −→−CB −→−DM −→−BC −→
−DM a 21b 41b 41b
a
O D
A
C
N
M。