2012中考数学压轴题冲刺强化训练5

2012最新压轴题冲刺强化训练5
1、在梯形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AC，∠B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。

求过A、D、C三点的抛物线的解析式。

求△ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求⊙M的半径。

E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当ED＋EC＋FD＋FC最小时，EF的长。

设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的△与△ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。

2、已知关于x 的方程()03132
=+++x m mx .
（1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根； （2）若抛物线
()3
132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定
此抛物线的解析式；
（3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且
21y y =，求代数式8165124212
1
++++n n n x x 的值.
3、在□ABCD 中，∠A=∠DBC ，过点D 作DE=DF ，且∠EDF=∠ABD ，连接EF 、EC ， N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP.
（1）如图1，若点E 在DP 上，EF 与DC 交于点M ，试探究线段NP 与线段NM 的数量关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M 在线段EF 上，当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.
图2
B C
P
图1 B C
P
4、 如图：在平面直角坐标系中，将长方形纸片ABCD 的顶点B 与原点O 重合，BC 边放在x 轴的正半轴上，AB=3，AD=6，将纸片沿过点M 的直线折叠（点M 在边AB 上），使点B 落在边AD 上的E 处（若折痕MN 与x 轴相交时，其交点即为N ），过点E 作EQ⊥BC 于Q ，交折痕于点P 。

（1）①当点M 分别与AB 的中点、A 点重合时，那么对应的点P 分别是点1
P 、
2
P ，则
1
P （ ， ）、
2
P （ ， ）；②当∠OMN=60°时，对应的点P 是点
3
P ，求
3
P 的坐标；
（2）若抛物线
2
y ax bx c =++，是经过（1）中的点1P 、2P 、3P ，试求a 、b 、c 的值； （3）在一般情况下，设P 点坐标是（x ，y ），那么y 与x 之间函数关系式还会与（2）中函数关系相同吗（不考虑x 的取值X 围）？请你利用有关几何性质（即不再用1
P 、
2
P 、
3
P 三
点）求出y 与x 之间的关系来给予说明.
5．如图，
Rt△ABC（C
∠=90°）放在平面直角坐标系中的第二象限，使
点C的坐标为（1-，0），点A在y轴上，点B在抛物线
22
y ax ax
=+-上．
（1）写出点A，B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达AB C''
△的位置．请判断点B'、C'是否在
该抛物线上，并说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系中，二次函数
c bx ax y ++=2
的图像经过点)0,3(A ，)0,1(-B ，)3,0(-C ，顶点为D ．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y 轴上找一点P （点P 与点C 不重合），使得0
90=∠APD ，求点P 坐标；（3）
在（2）的条件下，将APD ∆沿直线AD 翻折，得到AQD ∆，求点Q 坐标．
7. （1）探究新知：
①如图，已知AD ∥BC ，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点．求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．
②如图，已知AD ∥BE ，AD ＝BE ，AB ∥CD ∥EF ，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线c bx ax y ++=2
的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点
D ．试探究在抛物线
c bx ax y ++=2
上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．
备用图
A
B
D
C
M
N
图 ①
C
图 ②
A B
D
M
F E
G
图 ③
8. 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．
备用图
9．（本题满分14分）
如图⊙P 的圆心P 在⊙O 上，⊙O 的弦AB 所在的直线与⊙P 切于C ，若⊙P 的半径为r ，⊙O 的半径为R. ⊙O 和⊙P 的面积比为9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C 、P 、D 三点共线. （1）求证：r R PB PA ⋅=⋅2； （2），求AE 的长；
（3）连结PD ，求sin ∠PDA 的值.
10．（14分）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
第9题
（1）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （2）求NC ，MC 的长（用t 的代数式表示）；
（3）当t 为何值时，射线QN 恰好将△ABC 的面积平分？并判断此时△ABC 的周长是否也被射线QN 平分．
11．（本题满分14分）
如图,AB 是圆O 的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠. 延长PD 交圆的切线BE 于点E
(1) 判断直线PD 是否为
O 的切线，并说明理由；
(2) 如果60BED ∠=
，PD =PA 的长。

（3）将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ,点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形
2012 压 轴 汇 编2 答 案
1. 解：（1）由题意知C （3, 0）、A （0, 3）。

过D 作x 轴垂线，由矩形性质得D （2, 3）。

由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴另一交点为（－1，0）。

设抛物线的解析式为y=a （x ＋1）（x －3）. 将（0， 3）代入得a = －1，所以y=－x2＋2x ＋3.
（2）由外接圆知识知M 为对称轴与AC 中垂线的交点。

由等腰直角三角形性质得OM 平分∠AOC,即yOM = x ，
∴ M （1,1）。

连MC 得MC = 5，即半径为5。

（3）由对称性可知：当ED ＋EC ＋FD ＋FC 最小时，E 为对称轴与AC 交点，F 为BD 与Y 轴交点，易求F （0,9/5）、E （1,2）
∴EF = 526。

（4）可得△ADC中，AD = 2，AC = 2
3，DC = 10。

假设存在，显然∠QCP<900，∴∠QCP = 450或∠QCP = ∠ACD 。

当∠QCP = 450时，这时直线CP的解析式为y = x－3 或y = －x＋3.
当直线CP的解析式为y = x－3时，可求得P（－2，－5）,这时PC = 52.
设CQ = x，则
x
x2
5
2
3
2
2
5
2
3
2
=
=或
，∴ x = 10/3或x = 15.
∴Q （－1/3,0）或（－12,0）。

当y = －x＋3即P与A重合时，可求得CQ = 2或9，∴ Q （1,0）或（－6,0）。

当∠QCP = ∠ACD时，设CP交y轴于H，连ED知ED⊥AC，
∴ DE = 2，EC = 22，易证：△CDE∽△CHQ，
所以HQ/2 = 3/ 22，∴ HQ = 3/2 。

可求 HC的解析式为y = 1/2
x－3/2.
联解⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
-
=
-
=
3
2
2
3
2
1
2x
x
y
x
y
，得P（－3/2，－9/4），PC =
5
4
9。

设CQ = x，知
x
x
2
3
5
4
9
10
5
4
9
2
3
10
=
=或
，
∴ x = 15/4或x = 27/4 ，∴ Q（－3/4,0）或（－15/4,0）。

同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为y = -1/2 x+3/2.
∴ P’（－1/2,7/4），∴PC =
5
4
7。

∴
CQ CQ
2
3
5
4
7
10
5
4
7
2
3
10
=
=或
，
∴ CQ = 35/12或21/4，所以Q（1/12,0）或（－9/4,0）。

综上所述，P1（－2，－5）、Q1（－1/3,0）或（－12,0）； P2（0,3）、 Q2（1，0）或（－6,0）；
P3（－3/2，－9/4）、Q3（－3/4，0）或（－15/4,0）； P4（－1/2,7/4）、Q4（1/12,0）或（－9/4,0）.
2． 解：（1）当m=0时，原方程化为,03=+x 此时方程有实数根 x = -3. …………1分
当m ≠0时，原方程为一元二次方程. ∵
()()
22
2311296131m m m m m ∆=+-=-+=-≥0.
∴ 此时方程有两个实数根.
综上, 不论m 为任何实数时, 方程 0
3)13(2=+++x m mx 总有实数根
（2）∵令y=0, 则 mx2+(3m+1)x+3=0.
解得
13
x =-，
21
x m =-
.
∵ 抛物线
()2313
y mx m x =+++与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，
∴1m =.
∴抛物线的解析式为
2
43y x x =++. （3）法一：∵点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上,
∴
2
211121143,()4()3y x x y x n x n =++=++++.
∵,21y y =
∴
22111143()4()3x x x n x n ++=++++. 可得
4221=++n n n x .
即 0)42(1=++n x n . ∵ 点P, Q 不重合, ∴ n ≠0.
∴124x n =--.
∴
222211114125168(2)265168x x n n n x x n n n ++++=+⋅+++ 22(4)6(4)516824.n n n n n =++--+++=
法二：∵
2
43y x x =++=(x+2)2-1， ∴ 抛物线的对称轴为直线 x=-2.
∵ 点P ),(11y x 与Q ),(21y n x +在抛物线上, 点P, Q 不重合, 且,21y y = ∴ 点 P, Q 关于直线 x=-2对称.
∴11 2.2x x n
++=-
∴124x n =--. 下同法一.
3. 解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180︒ (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分
（2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE 、CF. ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB， ∴∠ABD=∠BDC. ∵ ∠A=∠DBC， ∴ ∠DBC=∠DCB. ∴ DB=DC. ① ∵∠EDF =∠ABD, ∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC -∠ED C =∠EDF -∠ED C .
M 1 3 2
4
P
N A
E
F
C
D
B
即∠BDE =∠CDF.② 又 DE=DF ，③
由①②③得△BDE≌△CDF. ∴ EB=FC, ∠1=∠2. ∵N、P 分别为EC 、BC 的中点，
∴NP∥EB , NP=EB 21. 同理可得 MN∥FC，MN=FC
21
. ∴ NP = NM. ∵NP∥EB , ∴∠NPC =∠4.
∴∠ENP=∠N CP+∠NPC =∠N CP+∠4. ∵MN∥FC，
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠N CP+∠4 =∠DBC+∠DCB=180︒-∠BDC=180︒-∠ABD. ∴∠ABD +∠MNP =180︒.
4..解：（1）当M 与AB 的中点重合时，B 与A 重合，即E 与A 重合，则点P 为OA 的中点，
即：1P （0，3
2）， 当M 与A 重合时，Q 、P 与N 重合， ∴2P
（3，0）
当∠OMN=60°时，∠MNO=30°，则∠QNE=60°，在Rt△QNE 中，
Rt△PQN 中，PQ=1，又∵∠MEN=90°，∠MEP=90°-30°=60°，∠MOP=∠MEP=60°，
则∠POQ=30°，则OP=PN ，
，∴3P
，1）. ………………………4分
（2）∵抛物线与y 轴的交点坐标为（0，32），∴c=3
2，
2
32y ax bx =++
，3093231332a b a b ⎧
=++⎪⎪⎨
⎪=++⎪
⎩，160a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴a=-16，b=0，c=3
2. ……………………………8分
（3）相同.连结OP ，根据对折的对称性，△PON≌△PEN，
则PE=OP ，OP+PQ=EQ=AB=3.在Rt△OPQ 中，222(3)x y y +=-，
22296x y y y +=-+ ，213
62y x =-+
.…………………………………12分
5.答案：（1）A （0，2）， B （3-，1）；…4分
（2）解析式为
211
222y x x =
+-；…4分
（3）如图，过点B '作B M y '
⊥轴于点M ，过点B 作BN y ⊥轴于点N ，过点C '作C P y '
⊥轴于点P ．在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，
∵ AB=AB ′，∠AB ′M=∠BAN=90°-∠B ′AM ，∴ Rt △AB ′M ≌Rt △BAN ． ∴ B ′M=AN=1，AM=BN=3，∴ B ′（1，1-）．
同理△AC ′P ≌△CAO ，C ′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C ′（2，1）；
当x=1时
211
222y x x =
+-=－1， 当x=2时
211
222y x x =
+-=1，
可知点B ′、C ′在抛物线上．…4分
6..解：（1）由题意，得
93003a b c a b c c ++=⎧⎪
-+=⎨⎪=-⎩
，
解得1
23a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
所以这个二次函数的解析式为
2
23y x x =-- 顶点D 的坐标为（1，-4） （2）解法一：设()
0,P m
由题意，得
,,PA PD AD ===∵∠APD =90°，∴2
2
2
PA PD AD
+=
)
(2
2
2
+=
解得
121,3
m m =-=-（不合题意，舍去）
∴()
0,1P -
解法二：
如图，作DE ⊥y 轴，垂足为点E ， 则由题意，得 DE=1，OE=4
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°， 由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°， ∴∠OAP=∠EPD 又∠AOP =∠O ED =90°， ∴△OAP ∽△EPD
∴OA OP
PE ED =
设,4OP m PE m ==-
则341m m -=，解得1213m m ==，（不合题意，舍去）
∴
()
0,1P -
（3）解法一：
如图，作QH ⊥x 轴，垂足为点H
，易得OA AQ PD QD ====∠PAQ =90°， ∴四边形APDQ 为正方形，
由∠QAP =90°，得∠HAQ +∠OAP =90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°， ∴∠O PA =∠HAQ ， 又∠AOP =∠AHQ =90°，PA=QA ∴△AOP ≌△AHQ ，∴AH=OP=1，QH=OA=3 ∴
()
4,3Q -
解法二： 设(),Q m n
则
QA QD =
==
解得1143m n =⎧⎨=-⎩，2201m n =⎧⎨=-⎩（不合题意，舍去）
∴()
4,3Q -
7. 解：
﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ． ∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．
A
B
D
C
M
N
图 ①
E F
∴AB ∥CD ．∴ME ＝ NF ．∵S △ABM ＝ME AB ⋅21，S △ABN ＝NF AB ⋅21， ∴S △ABM ＝ S △ABN ．
②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ． 则∠DHA ＝∠EKB ＝90°．∵AD ∥BE ，∴∠DAH ＝∠EBK ．∵AD ＝BE ， ∴△DAH ≌△EBK ．∴DH ＝EK ．∵CD ∥AB ∥EF ，
∴S △ABM ＝DH AB ⋅21，S △ABG ＝EK AB ⋅21
， ∴S △ABM ＝ S △ABG. ﹙2﹚答：存在．
解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为
4)1(2
+-=x a y . 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得
()4
1302
+-=a ，解得1-=a .
∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322
++-=x x y ．
∴ D 点坐标为（0，3）．
设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．
过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-． ∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2．
设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322
++-m m ．
过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ． 由﹙1﹚可知：若EP ＝CH ，则△ADE 与△ADC 的面积相等．
H
C
图 ②
A
B
D
M
F E
G
K
①若E 点在直线AD 的上方﹙如图③-1﹚，
则PF ＝m -3，EF ＝322
++-m m ．
∴ EP ＝EF －PF ＝
)3(322m m m --++-＝m m 32+-．∴232=+-m m ． 解得21=m ，12=m ．
当2=m 时，PF ＝3－2＝1，EF ＝1+2＝3． ∴ E 点坐标为（2，3）． 同理 当m ＝1时，E 点坐标为（1，4），与C 点重合． ②若E 点在直线AD 的下方﹙如图③－2,③－3﹚，
则
m m m m m PE 3)32()3(2
2-=++---=． ∴232
=-m m ．解得
21733+=
m ，
217
34-=
m ． 当
2173+=
m 时，E 点的纵坐标为217
1221733+-
=-+-； 当
2173-=
m 时，E 点的纵坐标为217
1221733+-=
---．
∴在抛物线上存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等，E 点的坐标为E1（2，
3）；)21712173(
2+-+，E ；)217
12173(3+--，E ．
图 ③-1
8.解：（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP=1，CD=AB=2， ∴
，90ABP APB ∠+∠=︒． ∵90BPC ∠=︒， ∴90APB DPC ∠+∠=︒． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ． ∴AP PB
CD PC =
，即12=．
∴
．……………………………………………………………………2分 （2）①∠PEF 的大小不变． 理由：过点F 作F G⊥AD 于点G ． ∴四边形ABFG 是矩形． ∴90A AGF ∠=∠=︒．
∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒． ∵90EPF ∠=︒，
∴90APE GPF ∠+∠=︒． ∴AEP GPF ∠=∠．
∴ △A PE ∽△GFP. …………………………………………………………4分
∴2
21PF GF PE AP ===．
∴在Rt△EPF 中，tan∠PEF =2PF
PE =．……………………………………5分 即tan∠PEF 的值不变．
∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6分
. …………………………………………………………………………7分
9．(第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题4分)
（1）证明：连结CP ，作⊙O 的直径AF ，连结PF ，则∠APF ＝90° ∵AC 切于⊙O 于C ∴∠ACP=90°=∠APF
又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA （1分） 连结FB ，则∠AFB=∠BPA ，∠BFP=∠BAP
∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP （2分） （此处也可用圆内接四边形的定理求出） ∴△APF ∽△PCB
∴PB AF PC
PA =，∵AF=2R ，PC=r, ∴PB R
r PA 2=, ∴r R PB PA ⋅=⋅2 (4分) 解：∵⊙O 和⊙P 的面积比为9：4 ∴ R : r=3 : 2 （5分） ∴841022
.3⨯==⋅=⋅r r R PB PA ∴4=r ，即PC=4 （6分）
F
A
在Rt △APC 中842
22=-=PC AP A C （7分） 连结CE ，∵∠CAD=∠EAC ，∠ACD=∠AEC ∴△AEC ∽△ACD
∴AC A A D
AE
C =
，AD AE A ⋅=2C （8分） ∴
)()(C 52
+⋅=+⋅=⋅=AE AE DE AE AE AD AE A ∴08452
=-+AE AE （9分） ∴-12=AE 或7=AE
∵线段长不为负数，∴7=AE （10分）
（3）解：sin ∠PDA=sin ∠PFA=AF AP
（12分） ∵4=r ，R=6
=r 23
∴AF=12
∴sin ∠PDA=65
1210=
（14分）
10、（本题满分14分）
解：（1）∵四边形PCDQ 是平行四边形，AD ∥BC ∴PC=QD ， ------2分 ∵BC=4，BP=DQ=t ，
∴PC=4-t ，即4-t=t ， 解得t=2，
∴当t=2时，四边形PCDQ 构成平行四边形； ------4分
（2）法一：∵AD=3，BC=4，BP=DQ=t ，
∴AQ=3-t ， ------5分
∵直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，QN ⊥AD ， ∴∠ABC=∠BAD =∠AQN =90°， ∴四边形ABNQ 是矩形， ∴BN=AQ=3-t ， ∴=4-（3-t ）=1+t ， ------6分
在Rt △ABC 中，
5432
222=+=+=BC AB AC , ------7分 在Rt △MNC 中，
54
cos =
==
∠AC BC MC CN NCM , ------8分
即54
1=
+MC t ， ∴
455t
MC +=
， ------9分
法二：作DF ⊥BC ，垂足为F ， 则CF=1，NF=DQ=t,
∴NC= t+1. （下同） ------6分
（3）法一：∵=1+t ，
455t MC +=
，
在Rt △MNC 中，
4)
1(322t CN MC MN +=
-=, ------10分
∴
ABC MNC S t t MN CN S ∆∆=+•+=•=
214)1(3)1(2121, ------11分
即38)1(32
=+t ，解得：1221-=t ，1222--=t （舍去），
∴当122-=t 时，△ABC 的面积被射线QN 平分， ------12分
当122-=t 时，MC+=
22
9)1221(4)122(55=
-++-+, 而
12
543=++=++=∆AC BC AB C ABC ,
∴
ABC C NC MC ∆≠
+21
，
∴此时△ABC 的周长不被射线QN 平分． ------14分
法二：∵
2
)(21BC
NC S S ABC MNC ==∆∆， ------10分
∴22=
BC
NC ， ∴224
1=
+t ， ------11分 ∴122-=t ， ------12分
此时22=BC NC ， ∴22224==NC ， 22=AC MC ，∴225=MC ， ∴22
9=
+NC MC ,
而
12
543=++=++=∆AC BC AB C ABC ,
∴
ABC C NC MC ∆≠
+21
，
∴此时△ABC 的周长不被射线QN 平分． ------14分
11．解：（1）直线PD 为⊙O 的切线 …………1分
证明：连结OD ∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ADB=90°…………2分 ∴∠ADO+∠BDO=90° 又∵DO=BO∴∠BDO=∠PBD ∵PDA PBD ∠=∠∴∠BDO=∠PDA …………3分 ∴∠ADO+∠PDA=90° 即P D⊥OD…………4分 ∵点D 在⊙O 上，
∴直线PD 为⊙O 的切线. …………5分
（2）解：∵ BE 是⊙O 的切线 ∴∠EBA=90° ∵60BED ∠=∴∠P=30°…………6分 ∵PD 为⊙O 的切线 ∴∠PDO=90°
在RT △PDO 中，∠P=30
°PD =PD OD
=
︒30tan 解得OD=1 …………7分
∴22
2
=+=
OD PD PO …………8分
∴PA=PO -AO=2-1=1…………9分
（3）（方法一）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA ∠PAD=∠DAF
∵PDA PBD ∠=∠∠ADF=∠ABF
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF …………10分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ADB=90°
设∠PBD=︒x ，则∠DAF=∠PAD=︒+︒x 90，∠DBF=︒x 2 ∵四边形AFBD 内接于⊙O ∴∠DAF+∠DBF=180° 即 902180x x ++= 解得30x =
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30° …………11分 ∵ BE、ED 是⊙O 的切线 ∴DE=BE ∠EBA=90°
∴∠DBE=60°∴△BDE 是等边三角形。

∴BD=DE=BE …………12分 又∵∠FDB=∠ADB—∠ADF =90°-30°=60° ∠DBF=︒x 2=60° ∴△BD F 是等边三角形。

∴BD=DF=BF …………13分 ∴DE=BE=DF=BF ∴四边形DFBE 为菱形 …………14分 （方法二）证明：依题意得：∠ADF=∠PDA ∠APD=∠AFD ∵PDA PBD ∠=∠∠ADF=∠ABF ∠PAD=∠DAF ∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF …………10分 ∴ AD=AF BF//PD …………11分
∴ DF ⊥PB ∵ BE 为切线 ∴ BE ⊥PB ∴ DF//BE ………12分
∴四边形DFBE为平行四边形…………13分∵ PE 、BE为切线∴ BE=DE
∴四边形DFBE为菱形…………14分。