复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

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第七章 复数
20
＝
2
cos
152π＋isin 152π
×
22cos 74π＋isin 74π
＝
2
×
2 2
cos
152π＋47π＋isin
152π＋74π
＝cos
26 12
π＋isin
26 12
π
＝cos
π 6
＋isin
π 6
＝
3 2
＋12
i.
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第七章 复数
21
π4＋isin
π 4
，z2＝12
cos
π6＋
isin
π 6
，则 z1z2 的辐
角的主值为( )
A．1π2
B．π6
C．π4
√D．51π2
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第七章 复数
34
解析：因为 z1z2＝4cos
π4＋isin
π
4
×12
cos
π6＋isin
π
6
＝2cos
π4＋π6＋isin
π4＋π6
＝_r1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_si_n_(_θ_1＋__θ_2_)]
＝_zzrr1212__＝[_c_orr_s12（ （_(θ_1cc_－oo_ss_θ_θθ2_12)＋ ＋＋__iii_sss_iiinnn_(_θθθ_121） ）_－__θ_2_)]
两个复数相除，商的模等于
3 2
cos
π6＋isin
π 6
×
2cos
π3＋isin
π 3
＝32
×2cos
π6＋π3＋isin
π6＋π3
＝3cos
π2＋isin
π 2
＝3i，
即所得向量对应的复数为 3i.
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第七章 复数
30
1.cos
π2＋isin
π 2
×3cos
π6＋isin
π 6
＝(
＋12 i.
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第七章 复数
11
4．6cos
π3＋isin
π 3
÷4cos
π6＋isin
π 6
＝________．
解析：6cos
π3＋isin
π 3
÷4cos
π6＋isin
π 6
＝64
cos
π3－π6＋isin
π3－π6
＝32
cos
π6＋isin
π 6
＝343 ＋34 i.
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第七章 复数
23
在复平面内，把复数 3－ 3 i 对应的向量绕点 O 分别按逆时针和顺
时针方向旋转π3 ，求所得向量对应的复数．
【解】
因为 3－
3
i＝2
3
23－12i
＝2
3
cos
161π＋isin
161π
，
所以 2
3
cos
161π＋isin
161π
×cos
π3＋isin
4
＝4(cos 0＋isin 0)÷cos
π4＋isin
π 4
＝4cos
－π4＋isin
－π4
＝2 2 －2 2 i.
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第七章 复数
16
两个复数的三角形式乘法、除法法则
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减． [注意] 在进行复数的三角形式的乘除运算时，首先要判断所给的复数 是否为三角形式，若不是三角形式，应先化为三角形式，要特别注意那 些虽然含有三角函数但又不是三角形式的复数，一定要先将其转化成三 角形式．
π 3
＝12
cos
32π－π3＋isin
23π－π3
＝12
cos
π3＋isin
π 3
＝14
＋
3 4
i.
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第七章 复数
37
word部分：
请做：应用案 巩固提升
点击进入链接
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第七章 复数
38
本部分内容讲解结束
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文字语言
图形语言
两个复数 z1，z2 相乘时，如图所示，先分别画出与 z1，
z2 对应的向量O→Z1，O→Z2，然后把向量O→Z1绕点 O 按逆时
乘 法
针方向旋转角__θ_2_(如果 θ2<0，就要把O→Z1绕点 O 按顺
时针方向旋转角___|θ_2_| __)，再把它的模变为原来的_r_2__
倍，得到向量O→Z ，O→Z 表示的复数就是积 z1z2
(3)
2cos
π3＋isin
π
3
2
＝(
2
)2cos
23π＋isin
23π
＝2－21＋ 23i
＝－1＋ 3 i.
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第七章 复数
22
探究点2 复数三角形式乘法、除法运算的几何意义 [问题探究] 复数的乘法、除法运算的几何意义的本质相同吗？ 探究感悟：相同，因为除法运算是乘法运算的逆运算，所以它们的几何 意义的本质是一样的．
3
cos
161π－π3＋isin
161π－π3
＝2
3
cos
32π＋isin
32π
＝－2 3 i.
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第七章 复数
26
故把复数 3－ 3 i 对应的向量绕点 O 按逆时针方向旋转π3 得到的向量对 应的复数为 3＋ 3 i，绕点 O 按顺时针方向旋转π3 得到的向量对应的复 数为－2 3 i.
＝cos (75°＋15°)＋isin (75°＋15°)
＝cos 90°＋isin 90°＝i.
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第七章 复数
36
(2)因为－12
＋
3 2
i＝cos
2 3
π＋isin
2 3
π，
所以－12＋
23i
÷2cos
π3＋isin
π 3
＝cos
23π＋isin
23π
÷2cos
π3＋isin
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第七章 复数
28
在复平面内，把与复数343 ＋34 i 对应的向量绕原点 O 按逆 时针方向旋转π3 ，然后将其伸长为原来的 2 倍，求与所得向量对应的复 数．(用代数形式表示)
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第七章 复数
29
解：3 4 3
＋34
i＝32
cos
π6＋isin
π 6
，由题意得
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第七章 复数
8
2.cos
π6＋isin
π 6
×cos
π3＋isin
π 3
＝(
)
A．1
B．－1
√C．i
D．－i
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第七章 复数
9
3．将复数 i 对应的向量O→N 绕原点按逆时针方向旋转π3 ，得到向量O→M ， 则O→M 对应的复数是( )
A．
3 2
＋12
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第七章 复数
27
利用复数乘除法的几何意义求解复平面内的点所对应的复数时，要注意 点 Z 所对应的复数就是向量O→Z 对应的复数，O→Z 常常转化为O→Z ＝O→Z1 ＋Z→1Z ，而求解向量Z→1Z 所对应的复数时，要注意它与已知(或可求)向 量对应的复数之间的关系，即要明确模与辐角的变化，从而准确利用复 数乘、除法的几何意义求解．
)
A．32
＋3
3 2
i
B．32 －323 i
√C．－32
＋3
3 2
i
D．－32
－3
3 2
i
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第七章 复数
31
解析：cos
π2＋isin
π 2
×3cos
π6＋isin
π 6
＝3cos
π2＋π6＋isin
π2＋π6
＝3cos
23π＋isin
2π
3
＝－32
＋3 2 3
i.
π 3
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第七章 复数
24
＝2
3
cos
161π＋π3＋isin
161π＋π3
＝2
3
cos
163π＋isin
163π
＝2
3
cos
π6＋isin
π 6
＝3＋ 3 i，
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第七章 复数
25
2
3
cos
161π＋isin
161π
×cos
－π3＋isin
－π3
＝2
答案：343 ＋34 i
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第七章 复数
12
探究点 1 复数三角形式的乘、除运算 计算：
(1)8cos
43π＋isin
43π
×4cos
56π＋isin
56π
；
(2)3cos
74π＋isin
7π
4
÷12
cos
32π＋isin
3π
2
；
(3)4÷cos
π4＋isin
π
4
及其几何意义．
何意义．
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第七章 复数
3
1．复数三角形式的乘法、除法法则 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)且z1≠z2，则
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第七章 复数
乘法
4
除法
符号 语言
z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1) ·r2(cos θ2＋isin θ2)
第七章 复数
7．3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学
第七章 复数
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第七章 复数
2
学习指导
核心素养
1.了解复数的三角表示及乘、除运 1.数学运算：复数乘、除运算的三
算．
角表示．
2.了解复数乘、除运算的三角表示 2.直观想象：复数乘、除运算的几
到向量O→Z ，O→Z 表示的复数就是zz12
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第七章 复数
7
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2－isin θ2)，则 z1z2＝r1r2[cos (θ1 ＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)].( × ) (2)若 z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则zz21 ＝rr21 [cos (θ2－ θ1)＋isin (θ2－θ1)].( √ )
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第七章 复数
32
2．若复数 z1＝2
2
cos
1π0＋isin
π
10
，z2＝
2 2
cos
π5＋
isin
π 5
，则zz12
的模为( )
√A．4
B．2 2
C．
2 2
解析：z1 z2
的模为2
2 2
＝4，故选 A.
2
D．2
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第七章 复数
33
3．若复数 z1＝4cos
两个复数相乘，积的模等于
文字 语言
_各__复__数__的__模__的__积_，积的辐角等
被__除__数__的模除以_除__数_的模所得的 商，商的辐角等于被__除__数__的辐角
于各复数的辐角的_和_
减去除__数__的辐角所得的差
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第七章 复数
5
2.复数三角形式乘法、除法的几何意义
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第七章 复数
14
(2)3cos
74π＋isin
7π
4
÷12
cos
32π＋isin
3π
2
＝6cos
74π－32π＋isin
74π－32π
＝6cos
π4＋isin
π 4
＝6
22＋
22i
＝3
2
＋3
2
i.
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第七章 复数
15
(3)4÷cos
π4＋isin
π
＝2cos
51π2＋isin
5π 12
，
所以 z1z2 的辐角的主值为51π2 ，故选 D.
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第七章 复数
35
4．计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；
(2)－21＋ 23i
÷2cos
π3＋isin
π 3
.
解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)
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第七章 复数
6
文字语言
图形语言
两个复数 z1，z2 进行除法运算zz12 时，如图所示，先分别
除 画出与 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2，然后把向量O→Z1绕
法 点 O 按顺时针方向旋转角__θ_2_(如果 θ2<0，按逆 1 时针方 向旋转角___|θ_2_| ___)，再把它的模变为原来的r_2_倍，得
4π
3
÷2cos
56π＋isin
5π
6
＝2cos
43π－56π＋isin
43π－56π
＝2cos
π2＋isin
π 2
＝2i.
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第七章 复数
19
(2)12
－12
i＝
2 2
22－
22i
＝
2 2
cos
74π＋isin
74π
，
所以 2 (cos 75°＋isin 75°)×12－12i
.
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第七章 复数
13
【解】
(1)8cos
43π＋isin43π 源自×4cos 56π＋isin
56π
＝32cos
43π＋56π＋isin
43π＋56π
＝32cos
163π＋isin