高中数学3.2倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修4(2021学年)

高中数学3．２倍角公式和半角公式同步训练新人教B版必修４编辑整理:
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3。

2 倍角公式和半角公式
知识点一：倍角公式
1.错误!·错误!等于
A．tａｎα Ｂ．tan2α C.1 Ｄ.错误!
2．log2（sin１５°cos１5°)的值为
A．-1 Ｂ .错误!Ｃ．2 D.-2
3．(2010全国高考Ⅱ,文3)已知sinα＝＼f(２,3),则ｃoｓ(π-2α）等于
A．-错误! B．－错误!
C。

错误!Ｄ。

错误!
４.若错误!＝－错误!，则coｓα+sinα=__＿___＿___.
５.错误!＝_____＿___＿。

6．（２0１0全国高考Ⅰ，文14)已知α为第二象限的角,siｎα=错误!,则tａn２α=_________＿。

7.已知函数ｆ(x)=2sin(π－ｘ)ｃosx。

（1)求f(x）的最小正周期；
(2)求ｆ(x）在区间［－π
６
,错误!]上的最大值和最小值.
知识点二:半角公式
８．已知cosθ＝-1
5
,错误!<θ<３π，那么ｓｉn错误!等于
A.错误!Ｂ．－错误!
C。

错误!Ｄ．－错误!
9．已知θ为第二象限角，sｉn(π－θ)=错误!,则cos错误!的值为
Ａ。

＼ｆ（3，35) B。

4５
Ｃ．±错误! D.±错误!
１0．已知sinθ=错误!,错误!〈θ〈３π,那么taｎ错误!+ｃｏs错误!的值为＿____＿_＿__.
１１.（2０１0全国高考Ⅱ，理13)已知α是第二象限的角，ｔan(π+2α）＝－4
３
，则
taｎα=____＿___.
1２.已知sinα=＼f（１2,13）,sｉn（α+β)＝错误!，α,β均为锐角，求cｏs错误!的值.
能力点一:利用倍角、半角公式求值、化简
1３.若3siｎα+coｓα=0,则＼f(1，ｃoｓ2α＋ｓｉn2α）的值为
A。

错误! B。

错误! C.错误!Ｄ．－２１4。

＼ｒ(1+coｓ10０°)-１－ｃos10０°等于
A.-2cos５° B．2ｃos５°
C．-２ｓin5° Ｄ.2sin5°
１5．函数y=2cｏｓ2x的一个单调递增区间是
A．(-＼f（π，４),错误!） B.（0,错误!)
C.(＼f(π,4)，错误!)
D.(错误!，π）
16.化简＼ｆ(1＋sin8θ-cｏｓ8θ，1+siｎ8θ＋cos8θ）等于
A.tａｎ2θ
B.cot4θ
C.ｔａn４θD．cot2θ
17．已知α为锐角，且sinαｃosα=1
2
，则错误!+错误!=__＿＿＿__＿__。

18.已知taｎ2α=-２＼r(2)，且满足错误!〈α〈错误!,求错误!的值.
能力点二:倍角公式及半角公式的综合应用
19。

已知x∈(-＼f（π，2),0),cosx=＼f(4,5),则ｔan2x等于
A.＼ｆ(７，24)
B.-错误! C。

错误!Ｄ.－错误!
20.ｃos错误!·cｏs错误!·coｓ错误!·ｃos错误!的值为______＿_＿＿．
２1．已知函数ｆ(ｘ）＝２cosx(ｓｉnx-cosx）＋1，x∈R.
（1)求函数ｆ(x)的最小正周期；
(2）求函数f（x）在区间[错误!，错误!］上的最小值和最大值．
22．（2010天津高考,理1７)已知函数f（ｘ）＝2错误!sinxcoｓx+2coｓ２x-１(x∈R)．
(1)求函数f（x)的最小正周期及在区间[0，＼f(π,2）]上的最大值和最小值;
（2)若f(x0)=错误!，x0∈［错误!，错误!],求cｏs2x0的值．
23。

如图,在某点B处测得建筑物ＡE的顶端A的仰角为θ,沿BE前进30 m至Ｃ点,测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进１０３ m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小
和建筑物AE的高.
答案与解析
1.B
2．D 原式=log２（错误!ｓin30°)=log２错误!=-2。

3．B cos（π－2α)＝－coｓ2α
＝－(1-2sin2α）
=-(1-2×＼f（4,9))
=-错误!。

4。

错误!∵coｓ2α＝cos2α-sin2α,ｓｉn（α-错误!)＝错误!(sinα－cosα)，∴错误!＝错误!
＝＼f（cｏsα＋sinα,－＼f（2,2)）=-错误!。

∴ｃosα+siｎα=错误!。

5．错误!原式=错误!×错误!=错误!tan错误!=错误!.
6．－错误!∵α为第二象限角,sｉnα=错误!,
∴ｃosα=-＼f(4,5)。

∴tanα＝错误!=－错误!。

∴taｎ2α=＼ｆ（2ｔaｎα,1-ｔan2α)＝错误!＝－错误!。

7.解：(1)∵f(ｘ）＝２siｎ（π-x）coｓｘ＝2ｓinxcosx
=sin2x,
∴函数f(ｘ)的最小正周期为π.
(2)由-＼f（π,6)≤x≤错误!，得－错误!≤2x≤π。

∴-错误!≤sｉn2ｘ≤1,
即f（x)的最大值为1,最小值为-错误!．
８．Ｄ∵错误!<θ〈３π，∴错误!〈错误!<错误!，
∴sinθ=-错误!＝-错误!。

９.C ∵siｎ（π-θ)＝错误!，
∴sinθ=错误!，θ为第二象限角．
∴ｃosθ＝-错误!。

错误!为第一、三象限的角,
∴cos错误!=±错误!=±错误!。

10．3-错误! cｏｓθ=－错误!，siｎ错误!＝－错误!=-错误!错误!,cｏs错误!=－错误!=－错误!，∴tａn＼f（θ，２)＝3．
∴tan错误!+cｏｓ错误!=3－错误!.
11.－错误!tan(π+2α)＝-错误!，tan２α＝－错误!,
∴错误!=-错误!。

∵α是第二象限的角,
∴tanα〈0。

∴tanα=－＼f（1,2）.
1２.解：∵０<α<错误!，∴cosα=错误!＝错误!．
∵0〈α〈＼f(π,2),0〈β<错误!,∴0〈α＋β<π.
∵sin(α+β)〈sｉnα，α＋β〈α不可能,
∴错误!<α+β<π。

∴cｏs（α＋β)=-错误!.
∴ｃｏsβ＝ｃos[(α+β)-α］=cｏs（α＋β)ｃoｓα+sin(α+β)ｓinα＝-错误!×错误!+错误!×错误!=错误!.
∴０<β〈错误!,即０〈错误!<错误!。

故cos错误!=错误!＝错误!.
能力提升
１3.A 由3ｓinα+cosα＝0,有ｔanα＝-1
3 .
∴
1
cｏｓ2α＋sｉn2α
=错误!＝错误!=错误!.
1４．Ｃ原式＝错误!－错误!=错误!（ｃｏs５0°－siｎ５0°)＝2siｎ（45°－5０°）=2sin(-5°）=-2sｉｎ5°。

15．Ｄ
16．C
17.4－２ 2 ∵sin2α=2ｓｉnαｃoｓα=1，∴α=错误!。

∴原式=错误!＋错误!=4-２错误!，
１8.解:错误!=错误!＝错误!.
又taｎ２α=－２错误!＝错误!
22taｎ2α－2ｔａnα－22＝0.
解得ｔａnα＝－错误!或错误!。

又错误!<α＜错误!,
∴taｎα=错误!。

原式=错误!=２错误!－3。

1９．D ∵x∈(-＼f（π,2），０），cosx＝错误!,∴sinx＝-错误!．
∴taｎx=-错误!．
∴taｎ2x=
２tanx
1-tａｎ2ｘ
=－＼f（24,7）．
20.错误!原式=
错误!
=错误!＝错误!．
21.解：（1）f(x）=2coｓx（sinx－cosｘ)+1＝ｓin2x－cos2x=2ｓiｎ(2x－＼f(π，4)）.因此，函数f（x)的最小正周期为π.
(2）根据对ｆ（x）在［错误!,错误!]上的单调性进行研究，易知ｆ（x）在[错误!，错误!]
上递增,在[3π
8
,＼f(3π,４）]上递减.
又f（错误!）＝0,f(错误!)=错误!,f(错误!）=错误!ｓｉn(错误!－错误!）=－错误!coｓ错误!＝－１,
故函数ｆ（x)在区间［错误!,错误!］上的最大值为错误!,最小值为－１。

22.解：（１）由ｆ(x）＝２错误!sinxcosx+２cｏｓ２x-1,得
f(ｘ)＝3（2sｉnxｃｏsx)+(2coｓ2x-1)
=3sｉn２x＋cｏs2ｘ=2siｎ(2ｘ+错误!).
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(ｘ）=2sin(2x+＼f(π,6)）在区间［0，π
6
］上为增函数，在区间［
π
6
,错误!］上
为减函数,又f(0）＝1，f(错误!)＝2，f(错误!）=-1,所以函数f（x)在区间[０,错误!］上的最大值为2，最小值为－１。

（2）由(1）可知f（x0）＝2sin(2x0＋错误!)．
又因为ｆ(ｘ0）=错误!，所以sin（2x０+错误!）＝错误!。

由ｘ0∈[错误!，错误!］,得2x０＋错误!∈[错误!，错误!]．
从而cos(2x０＋错误!)=-错误!=－错误!。

所以cｏs2x0＝cos［（2x0＋错误!)－错误!]=ｃoｓ（２x０+错误!)coｓ错误!+sin(2ｘ0＋错误!)sin错误!＝错误!.
拓展探究
23.解：由已知得ＢＣ=30 m，ＣD=10＼ｒ(3）ｍ,∠ABE＝θ，∠ＡCE=２θ,∠ＡDE=4θ,在△ABE中，BE＝ＡE·cｏtθ，在Rｔ△ACE中,ＣE=ＡE·cot2θ，∴ＢC=BE－CE＝AE(ｃotθ-c ｏt2θ）,同理可得ＣD=AE(cot2θ－cot４θ)．
∴错误!＝错误!，
即错误!=错误!=错误!。

而错误!＝错误!=错误!＝错误!=2cos2θ。

∴２cos2θ=＼r（3）ｃoｓ2θ＝＼ｆ(3），22θ=30°θ=15°。

∴ＡE=
1
２
AC＝错误!BＣ=15 m。

答:θ的大小为１5°，建筑物的高为１5 m。

以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

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11。