7旋转3.对角互补及最值问题(2014-2015)

内容基本要求略高要求较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距
离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此
相等的性质；会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转
后的图形，能依据旋转前、后的
图形，指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识
解决简单问题
☞对角互补旋转模型图
（全等型—90°）
（全等型—120°）
（全等型—任意角α）
此类题目有角含半角的旋转图形转化而来。

去掉EFC
∆，五边形ABEFD就是对角互补模型，此题关键是
出现对角互补和连有公共顶点的想等线段，这是解题的关键。

【例1】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC
=，90
A C
∠=∠=︒，135
B
∠=︒，K、N分别是AB、BC上的点，若BKN
∆的周长为AB的2倍，求KDN
∠的度数．
【例2】如图所示，在五边形ABCDE中，90
B E
∠=∠=︒，AB CD AE
===1
BC DE
+=，求此五边形的面积．【巩固】如图，已知五边形ABCDE中，90
ABC AED
∠=∠=︒，2
AB CD AE BC DE
===+=．求该五边形的面积．
【例3】五边形ABCDE中，已知AB AE
=，BC DE CD
+=，180
ABC AED
∠+∠=︒，连接AD．求证：AD平分CDE
∠．
【例4】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A
∠和C
∠都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．
【例5】如图，已知90
AOB
∠=︒，在AOB
∠的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E．
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图⑴，易证：2
OD OE OC
+=．
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图⑵、图⑶这两种情况下，上述结论是否还成立？若成
立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需
证明．（和第二问讲义的某题一样）
【例6】已知MAN
∠，AC平分MAN
∠．
（1）在图1中，若MAN
∠120
=，90
ABC ADC
∠=∠=，求证：AB AD AC
+=；
（2）在图2中，若MAN
∠120
=，180
ABC ADC
∠+∠=，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
（3）在图3中：
①若60
MAN
∠=，180
ABC ADC
∠+∠=，则AB AD
+= ____AC
中考满分必做题
旋转3
中考说明
旋转3—对角互补及最值问题
2015年中考解决方案
学生姓名：
上课时间：
②若MAN α∠=(0180)α<<，180ABC ADC ∠+∠=，则AB AD += ____AC （用含α的三角函数
表示），并给出证明．
【例7】 已知， 点P 是MON ∠的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋
转交射线ON 于点B ，且使180APB MON ∠+∠=．
（1）利用图1，求证：PA =PB ；
（2）如图1，若点C 是AB 与OP 的交点，当3POB PCB S S ∆∆=时，求PB 与PC 的比值；
（3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且PBD ABO ∠=∠，请借助图3补全图形，
并求OP 的长．
图1 图2 图3
最值问题
OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．
【例8】 如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两
点的距离最大？最大值是多少？
【例9】 已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．
⑴如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；
⑵当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．
（09西城一模）
【例10】 已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC ．使C 、D 两点落在直线AB 的两侧．
（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；
（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的最大值，及相应ADB ∠的大小．
（13年通州一模）
【例11】 已知：AOB ∆中，2AB OB ==，COD ∆中，3CD OC ==,ABO DCO ∠=∠． 连接AD 、BC ，点M 、N 、
P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PM N ∆的形状是________________，此时AD BC
________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO ∆∆∽，并计算
AD BC 的值（用含α的式子表示）；
(3) 在图2中，固定AOB ∆，将COD ∆绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值．
【例12】 如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、
C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．
（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________________；
（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．
（2014年燕山一模）
【例13】 在ABC 中，4AB =，6BC =，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到11A BC ．
（1）如图1，当点1C 在线段CA 的延长线上时，求11CC A ∠的度数；
（2）如图2，连接1AA ，1CC ．若1CBC 的面积为3，求1ABA 的面积；
（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在ABC 绕点B 按逆时针方向旋转的
过程中，点P 的对应点是点1P ，直接写出线段1EP 长度的最大值与最小值．
(2013年昌平一模)
费马点与旋转
☞考点说明：到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat ）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E ． T ． Bell ）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题．这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．
结论： （1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小．
特殊三角形中：
(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．
(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．
(4)当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合
下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．
图1
解析：如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP = PP ′，
P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++= PP ′+ PB + P ′C ′．
点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长 ，所以当B 、P 、P ′、C ′ 四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC 因此，当ABC
边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例14】阅读下列材料
对于任意的ABC
∆，若三角形内或三角形上有一点P，若PA PB PC
++有最小值，则取到最小值时，点P为该三角形的费马点．
①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点
②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120
∠=∠=∠=︒时，点P既为费马点
APB BPC APC
解决问题：
(1)如图，ABC
∆，连接CD、∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB、AC为边向外作等边ABD
∆、ACE BE交于点P，
证明：点P为ABC
++=
∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD
∆的费马点．(即证明120
APB BPC APC
(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC
++>++
(3)若30
BC=，直接写出PA PB PC
++的最小值
∠=︒，3
ABC
AB=，4
【巩固】若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为_________；
（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且
BB′=PA+PB+PC．
图8
【巩固】如图所示，在四边形ABCD中，AB BC
∠=︒，
APD
=,60
ABC
∠=︒，P为四边形ABCD内部一点，120证明：PA PD PC BD
++≥．
【例15】小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD 中，∠ABC =60º，在菱形ABCD 内部有一点P ，请在图3中画出并指明长度等于PA +PB +PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA +PB +PC 值最小时PB 的长．
【例16】 (1)如图1，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE
相交于点P ，求证：BE AD =． （2）如图2，在BCD ∆中，120BCD ∠<，分别以BC 、CD 和BD
为边在BCD ∆外部作等边ABC ∆、等边CDE ∆和等边BDF ∆，联结AD 、
BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）
①AD BE CF ==；②BEC ADC ∠=∠；③60DPE EPC CPA ∠=∠=∠=；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB PC PD BE ++=． （13年房山一模）
【巩固】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时
针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．
⑴求证：AMB ENB ∆∆≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；
②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 【巩固】
A 、
B 、
C 、
D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P 、Q 两个交通枢纽，并建设公路连接AP 、BP 、PQ 、QC 、QD ，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？
【巩固】已知：ABC ∆中，120A ∠︒≥，P 是不与A 重合的定点，求证PA PB PC AB AC ++>+．
E N M
D
C B A P P F
D C A D
E C A
B B
图1 图2
P F D E C A D B D E A C B P 图2 D A C B 图3 A C B P 图1。