阿克苏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

阿克苏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X （单位：mm ）对工期延误天数Y 的影响及相应的概率P 如表所示：
降水量X X ＜100100≤X ＜200
200≤X ＜300
X ≥300工期延误天数Y
05
15
30概率P 0.4
0.2
0.1
0.3
在降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（
）
A ．0.1
B ．0.3
C ．0.42
D ．0.5
3． 过点，的直线的斜率为，则（ ）),2(a M -)4,(a N 2
1
-=||MN A ． B ． C ． D ．10180365
64． 设集合，，则（ ）
{}|||2A x R x =∈≤{}|10B x Z x =∈-≥A B = A.
B.
C. D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤≤{}
2,1,1,2--{}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．5． 抛物线y=﹣x 2上的点到直线4x+3y ﹣8=0距离的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3
6． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（
）
A ．C ．D ．
7． 已知i 为虚数单位，则复数
所对应的点在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限8． 函数
是（
）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
9． 已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知，，(,2)k =-c ，若，则（ ）
(2,1)a =- (,3)b k =- (1,2)c = (2)a b c -⊥ ||b =
A ．
B ．
C ．
D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．11．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）i 21i
i
-A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线于两点且
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 21F F 、2F Q P ,，若，，则双曲线离心率的取值范围为（ ）.
1PF PQ ⊥||||1PF PQ λ=3
4
125≤≤λe A. B. C. D. ]210,1(]537,1(210,537[),2
10[+∞第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题
13．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．　14．不等式
的解为 ．
15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．
16．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数的单调增区间是__________．
()3
f x x x =-+17．抛物线的焦点为，经过其准线与轴的交点的直线与抛物线切于点，则2
4x y =F y Q P FPQ ∆外接圆的标准方程为_________.
18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
某校高二奥赛班名学生的物理测评成绩（满分120分）分布直方图如下，已知分数在100-110的学生N 数有21人.
（1）求总人数和分数在110-115分的人数；N （2）现准备从分数在110-115的名学生（女生占
）中任选3人，求其中恰好含有一名女生的概率；1
3
（3）为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学生提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩（满分150分），物理成绩进行分析，下面是该生7次考试的成绩.y 数学888311792108100112物理
94
91
108
96
104
101
106
已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理y 成绩大约是多少？
附：对于一组数据，……，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分
11(,)u v 22(,)u v (,)n n u v v u αβ=+别为：，.
^
1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i u u v v u u β==--=
-∑∑^^
a v u β=-
20．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点
和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E，F分别是A1C1，
AB的中点．
（I ）求证：平面BCE ⊥平面A 1ABB 1；（II ）求证：EF ∥平面B 1BCC 1；（III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．
22．（本题满分15分）
已知函数，当时，恒成立．c bx ax x f ++=2
)(1≤x 1)(≤x f （1）若，，求实数的取值范围；
1=a c b =b （2）若，当时，求的最大值．
a bx cx x g +-=2
)(1≤x )(x g 【命题意图】本题考查函数单调性与最值，分段函数，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析问题和解决问题的能力．
23．将射线y=x （x ≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cos θ，sin θ）．
（Ⅰ）求点A 的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x ，2cos θ），=（3sin θ，2cos2x ），求函数f （x ）=•，x ∈[0，]的值域．
24．（本小题满分12分）
已知函数()
23cos cos 2
f x x x x =++
.（1）当6
3x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+
⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间23
6ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．
阿克苏市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，
∴（2﹣）•=2
﹣
=2×22﹣6×2×cos60°=2，
∴2﹣在方向上的投影为=
．
故选：A ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．　
2． 【答案】D
【解析】解：降水量X 至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P ，设：降水量X 至少是100为事件A ，工期延误不超过15天的事件B ，P （A ）=0.6，P （AB ）=0.3，P=P （B 丨A ）==0.5，
故答案选：D ．　
3． 【答案】D 【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.4． 【答案】D 【解析】由绝对值的定义及，得，则，所以，故选D.
||2x ≤22x -≤≤{}|22A x x =-≤≤{}1,2A B = 5． 【答案】A 【解析】解：由
，得3x 2﹣4x+8=0．
△=（﹣4）2﹣4×3×8=﹣80＜0．
所以直线4x+3y﹣8=0与抛物线y=﹣x2无交点．
设与直线4x+3y﹣8=0平行的直线为4x+3y+m=0
联立，得3x2﹣4x﹣m=0．
由△=（﹣4）2﹣4×3（﹣m）=16+12m=0，
得m=﹣．
所以与直线4x+3y﹣8=0平行且与抛物线y=﹣x2相切的直线方程为4x+3y﹣=0．
所以抛物线y=﹣x2上的一点到直线4x+3y﹣8=0的距离的最小值是=．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了两条平行线间的距离公式，是中档题．
6．【答案】D
【解析】解：由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）==1+，
①当t﹣1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，
满足条件．
②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1=t，
同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥t，解得1＜t≤2．
③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，
同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
7．【答案】A
【解析】解：==1+i，其对应的点为（1，1），
故选：A．
8．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．　
9．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．　
10．【答案】A 【
解
析
】
11．【答案】B
【解析】因为
所以，对应的点位于第二象限故答案为：B 【答案】B
12．【答案】C
【解析】如图，由双曲线的定义知，，，两式相加得
a PF PF 2||||21=-a QF QF 2||||21=- ，又，，
， a PQ QF PF 4||||||11=-+||||1PF PQ λ=1PF PQ ⊥||1||12
1PF QF λ+=∴ ，
①， a PF PQ QF PF 4||)11(||||||12
11=-++=-+∴λλλλ-++=21114||a
PF
②，在
中，，将①②代入得
λ
λλλ-+++-+=
∴22211)11(2||a PF 12
PF F ∆2
212221||||||F F PF PF =+ ，化简得：+-++2
2
)114(
λ
λa
2
22
2411)11(2(
c a =-+++-+λ
λλλ+
-++2
2
)
11(4
λλ
，令，易知在上单调递减，故
2
2
22
2)11()11(e =-+++-+λλλλt =-++λλ2
11λλ-++=211y ]34
,125[
，，，故答案 选35,34[∈t 2
22222
84)2(4t t t t t t e +-=-+=∴25,2537[21411(82∈+-=t 210,537[∈e C.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵log 2（2m ﹣3）=0，∴2m ﹣3=1，解得m=2，∴e lnm ﹣1=e ln2÷e=．故答案为：．
【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．　
14．【答案】　{x|x ＞1或x ＜0}　．
【解析】解：
即
即x （x ﹣1）＞0解得x ＞1或x ＜0故答案为{x|x ＞1或x ＜0}
【点评】本题考查将分式不等式通过移项、通分转化为整式不等式、考查二次不等式的解法．注意不等式的解以解集形式写出　
15．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3，∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋（x ＞0），1x
∴
，解之得x 0＝1，y 0＝0，a ＝0.
{
a ＋1
x 0＝1
y 0＝x 0－1
y 0＝ax 0＋ln x 0
)
∴a ＝0.答案：016．
【答案】(
【解析】 ,所以增区间是(
)2310f x x x ⎛=-+>⇒∈ ⎝'
⎛ ⎝17．【答案】或()2
2
12x y -+=()2
2
12x y ++=【解析】
试题分析：由题意知，设，由，则切线方程为，代入()0,1F 2001,
4P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
1'2y x =()200011
42y x x x x -=-得，则，可得，则外接圆以为直径，则()0,1-02x =±()()2,1,2,1P -PF FQ ⊥FPQ ∆PQ ()
2
212
x y -+=或.故本题答案填或．1
()2212x y ++=()2212x y -+=()22
12x y ++=考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．18．【答案】　3+　．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n ﹣1行共有正整数1+2+…+（n ﹣1）个，即
个，
因此第n 行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
三、解答题
19．【答案】（1），；（2）；（3）.60N =6n =8
15
P =115【解析】
试
题解析：
（1）分数在100-110内的学生的频率为，所以该班总人数为，1(0.040.03)50.35P =+⨯=21
600.35
N =
=
分数在110-115内的学生的频率为，分数在110-11521(0.010.040.050.040.030.01)50.1P =-+++++⨯=内的人数.
600.16n =⨯=（2）由题意分数在110-115内有6名学生，其中女生有2名，设男生为，女生为，从61234,,,A A A A 12,B B 名学生中选出3人的基本事件为：，，，，，，，
12(,)A A 13(,)A A 14(,)A A 11(,)A B 12(,)A B 23(,)A A 24(,)A A ，，，，，，，共15个.
21(,)A B 22(,)A B 34(,)A A 31(,)A B 32(,)A B 41(,)A B 42(,)A B 12(,)B B 其中恰 好含有一名女生的基本事件为，，，，，，
11(,)A B 12(,)A B 22(,)A B 21(,)A B 31(,)A B 32(,)A B ，，共8个，所以所求的概率为.41(,)A B 42(,)A B 815
P =
（3）；
1217178812
1001007
x --+-++=+
=；
6984416
1001007
y --+-+++=+=由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到
y ，，
^497
0.5994
b ==^1000.510050a =-⨯=∴线性回归方程为，
0.550y x =+∴当时，.1
130x =115y =考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.线性回归方程.
【易错点睛】本题主要考查古典概型，频率分布直方图，线性回归方程,数据处理和计算能力.求线性回归方程,
关键在于正确求出系数,一定要将题目中所给数据与公式中的相对应,再进一步求解.在求解过程中,由 ,a b ,,a b c 于的计算量大,计算时应仔细谨慎,分层进行,避免因计算而产生错误,特别是回归直线方程中一次项系数为 ,a
b 常数项为这与一次函数的习惯表示不同.
,b
20．【答案】
【解析】（本题满分为12分）解：（1）由题意知：A=2，…∵T=6π，∴
=6π得
ω=，…
∴f （x ）=2sin （x+φ），∵函数图象过（π，2），∴sin （
+φ）=1，
∵﹣＜φ+＜，
∴φ+=，得φ=…
∴A=2，ω=，φ=，
∴f（x）=2sin（x+）．…
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．
21．【答案】
【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，
所以，BB1⊥BC．
又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B，
所以，BC⊥平面A1ABB1．
因为BC⊂平面BCE，
所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．
（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．
因为E，F分别是A1C1，AB的中点，
所以，FD∥AC且．
因为AC∥A1C1且AC=A1C1，
所以，FD∥EC1且FD=EC1．
所以，四边形FDC1E是平行四边形．
所以，EF∥C1D．
又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，
所以，EF∥平面B1BCC1．
（III）解：因为，AB⊥BC
所以，．
过点B 作BG ⊥AC 于点G ，则
．
因为，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1所以，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ．所以，BG ⊥平面A 1ACC 1．所以，四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积
．
【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．　
22．【答案】
【解析】（1）；（2）.
]0222[-2（1）由且，得，
1=a c b =4
2()(2
22
b b b x b bx x x f -++=++=当时，，得，…………3分
1=x 11)1(≤++=b b f 01≤≤-b 故的对称轴，当时，，………… 5分 )(x f 21,0[2∈-=b x 1≤x 2
min max ()(1
24
()(1)11
b b f x f b f x f ⎧=-=-≥-⎪⎨⎪=-=≤⎩
解得，综上，实数的取值范围为；…………7分
222222+≤≤-b b ]0222[-
，…………13分
112≤+=且当，，时，若，则恒成立，
2a =0b =1c =-1≤x 112)(2
≤-=x x f 且当时，取到最大值．的最大值为2.…………15分
0=x 2)(2
+-=x x g 2)(x g 23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，
）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f （x ）=•=3sin θ•sin2x+2cos θ•2cos2x=sin2x+
cos2x
=
sin （2x+
）
由x ∈[0，]，可得2x+∈[
，
]，
∴sin （2x+
）∈[﹣
，1]，
∴函数f （x ）的值域为[﹣
，
]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．　
24．【答案】（1）332⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，；（2）．
【解析】
试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；
（2）易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在23
6ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤
-
++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，，，⇒22332
26
32k k ωππ
ππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨
⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.考
点：三角函数的图象与性质.。