海南省保亭中学高三数学 圆锥曲线1复习

海南省保亭中学高三数学复习：圆锥曲线1
41(2012北京理)（本小题共14分）已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2
=8(m ∈R) （1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围； （2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。

解：（1）原曲线方程可化简得：22
18852x y m m +=--
由题意可得：88528058
02m m m
m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩
，解得：7
52m <<
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，
2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：2
1621M N k x x k +=+①，224
21
M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：6
2M
M
kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭
，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
，，()2N N AN x x k =+，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线 即
3(2)6
M
N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，
则A G N ，，三点共线得证。

2的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率。

过F1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF2的周长为8。

（Ⅰ）求椭圆E 的方程。

（Ⅱ）设动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x=4相较于点Q 。

试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。

【解析】
3. (2012广东理)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
22
1(0)x y a b a b +=>>
的离心率e =
C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3。

（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：22
1x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若
不存在，请说明理由。

【解答】：（1）由2223
c e c a a =
==，所以222213b a c a =-=
设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点，则22221x y a b +=，所以22222
2(1)3y x a a y b
=-=-
||PQ ===
所以，当1y =-时，||PQ 3=，可得a =1,b c ==
故椭圆C 的方程为：22
132
x y += （2）因为(,)M m n 在椭圆C 上，所以
22132
m n +=，223
32m n =- 设11(,)A x y ，22(,)B x y
由22
11
mx ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x mx n +-+-= 所以，22222222
2
144()(1)4(1)4(2)02
m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=-
>，可得24n < 并且：12222m
x x m n +=+，21222
1n x x m n -=+
所以，22
12121212222
111()1mx mx m x x m x x m y y n n n m n ---++-=⋅==+
所以，||AB =
=
== 设点O 到直线AB 的距离为h
，则h =
所以1||2OAB S AB h =⋅=设22
1t m n =+，由2
04n <<，得22213(1,3)2
m n n +=-∈，所以，1(,1)3t ∈
OAB S ==1
(,1)3t ∈
所以，当12t =时，OAB S 面积最大，最大为1
2。

此时，(0,M
4. (2012湖南理)（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x-5）2
＋y 2
=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；
（Ⅱ）设P(x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y
，由已知得23x +=
，
易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>
5x =+.
化简得曲线1C 的方程为2
20y x =.
解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.
（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆
2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是
3.=
整理得22
00721890.k y k y ++-= ①
设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故
001218.724y y k k +=-
=- ②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩
得2
1012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以
01121
20(4)
.y k y y k +⋅=
④
同理可得0234220(4)
.y k y y k +⋅= ⑤
于是由②，④，⑤三式得
010*******
400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=
2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22
001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.
所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.
5. (2012江苏)（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦
点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，
．已知(1)e ，
和e ⎛
⎝⎭
都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．
（i
）若12AF BF -=
，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．
【解析】(1)设题设知2
2
2
a b c =+， c e a =，由点（1，e ）在椭圆上，得
222
a a
b +=1，解得2b =1，于是221
c a =-，又点（e 22234e a b +=1，即24
1314a a -+=，解得2
a =2， ∴所求椭圆方程的方程是2
22
x y +=1； （2）由（1）知1F (－1,0),2F (1,0), ∵1AF ∥2BF ，
∴可设直线1AF 的方程为：1x my +=，直线2BF 的方程为：1x my -=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y >>，
由22
1111
121x y x my
⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得22
11(2)210m y my +--=，解得1y =， 故1AF ， ① 同理，2BF =221)2
m m +-+ ②
（ⅰ）由①②得1AF －2BF =222m +，解得2
22
m +=22
m =2， ∵0m >，∴m =，∴直线1AF 的斜率为12
m =.
（ⅱ）∵1AF ∥2BF ， ∴211BF PB PF AF =, ∴121
11
PB PF BF AF PF AF ++=
, ∴11112AF PF BF AF BF =+, 由B 点在椭圆知12
BF BF +=∴1
1212
)AF PF BF AF BF =+,同理2
2112
)BF PF AF AF BF =+∴
12PF PF +=11
111212
))AF BF BF AF AF BF AF BF +++=12122AF BF AF BF + （第12题）
由①②知，1AF +2BF =22
22(1)1m m ++，1AF ×2BF =221
1m m ++，∴12PF PF +=2222
-=322，∴12PF PF +是定值.
6.(2012辽宁理) (本小题满分12分) 如图，椭圆0C ：22
221(0x y a b a b
+=>>，a ，b 为常数)，动圆
22211:C x y t +=，1b t a <<。

点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。

(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆222
22:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四
点，其中2b t a <<，
12t t ≠。

若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等，证明：
22
12
t t +为定值。

【答案及解析】
7.(2012全国大纲卷文、理)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2
22
1:(1)()(0)2
M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ；（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

【答案】
8.(2012全国新课标卷文、理)（本小题满分12分）设抛物线C ：22x py =（p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ,D 两点.
(Ⅰ)若0
90BFD ∠=,ABD ∆
的面积为p 的值及圆F 的方程；
(Ⅱ)若A ，B ，F 三点在同一条直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力. 【解析】设准线l 于y 轴的焦点为E ，圆F 的半径为r ， 则|FE|=p ，||||=||FA FB FD ==r ，E 是BD 的中点，
(Ⅰ) ∵090BFD ∠=，∴||||=||FA FB FD =
，|BD|=2p ， 设A(0x ，0y )，根据抛物线定义得，|FA|=02
p
y +， ∵ABD ∆
的面积为ABD S ∆=01||()22p BD y +
=1
22
p ⨯
=p =2，
∴
F(0,1), FA|= ∴圆F 的方程为：22
(1)8x y +-=；
(Ⅱ) 【解析1】∵A ，B ，F 三点在同一条直线m 上, ∴AB 是圆F 的直径，0
90ADB ∠=,
由抛物线定义知1||||||2AD FA AB ==，∴030ABD ∠=，∴m
， ∴直线m
的方程为：2
p
y x =+，∴原点到直线m 的距离1d
p ， 设直线n
的方程为：y x b =+，代入22x py =
得，220x x pb -=， ∵n 与C 只有一个公共点， ∴∆=24803p pb +=，∴6
p
b =-，
∴直线n
的方程为：6
p
y x =-，∴原点到直线n 的距离2d
=12p ， ∴坐标原点到m ，n 距离的比值为3.
【解析2】由对称性设2
00(,)(0)2x A x x p
>，则(0,)2p F
点,A B 关于点F 对称得：222
20000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=
得：3,)2p A
，直线3:02p p p m y x x -
=+⇔=
22
22x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒
切点)6p P
直线:0
6
p
n y x x p
-=⇔-=
坐标原点到,m n
3
=。

9 (2012山东理)（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为
3
4。

（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若点M
l：y=kx+
1
4
与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当
1
2
≤k≤2时，的最小值。

解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F)
2
,0(
p
，设M)0
)(
2
,
(
2
>
x
p
x
x，)
,
(b
a
Q，由题意可知
4
p
b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为=
=
+
=
+p
p
p
p
b
4
3
2
4
2
3
4
，解得1
=
p，于是抛物线C的方程为y
x2
2=.
（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，
而)
2
,
(
),
0,0(
),
2
1
,0(
2
x
x
M
O
F，)
4
1
,
(a
Q，QF
OQ
MQ=
=，
16
1
)
4
1
2
(
)
(2
2
2
2
+
=
-
+
-a
x
a
x，
3
8
3
8
x
x
a-
=，
由y
x2
2=可得x
y='，
3
2
8
3
8
2
4
1
x
x
x
x
k
-
-
=
=，则2
2
4
02
1
4
1
8
3
8
1
x
x
x-
=
-，
即0
2
2
4
=
-
+x
x，解得1
=
x，点M的坐标为)
2
1
,1(.
（Ⅲ）若点M
M)1,2
(，)
4
1
,
8
2
(-
Q。

由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
=
4
1
2
2
kx
y
y
x
可得0
2
1
2
2=
-
-kx
x，设)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
B
y
x
A，
]
4
)
)[(
1(
2
1
2
2
1
2
2x
x
x
x
k
AB-
+
+
=)2
4
)(
1(2
2+
+
=k
k
圆
32
3
16
1
64
2
)
2
1
(
)
8
2
(:2
2=
+
=
-
+
+y
x
Q，
2
21
8
2
1
8
2
k
k
k
k
D
+
=
+
-
⋅
=
)
1(8
2
3
]
)
1(
32
32
3
[4
2
2
2
2
2
k
k
k
k
DE
+
+
=
+
-
=，
于是
)
1(8
2
3
)2
4
)(
1(
2
2
2
2
2
2
k
k
k
k
DE
AB
+
+
+
+
+
=
+，令]5,
4
5
[
12∈
=
+t
k
418124812)24()
1(823)24)(1(2
222
2
2
2
++-=++-=++
+++
=+t t t t t t t k k k k DE AB ，
设418124)(2
++
-=t t t t g ，28128)(t
t t g --='， 当]5,45[∈t 时，081
28)(2>--='t t t g ，
即当21,45==k t 时101
4414
58145216254)(min =+⨯+⨯-⨯=t g .
故当21=k 时，10
14)(min 2
2=+DE AB .
10(2012陕西文、理)（本小题满分13分）
已知椭圆2
21:14
x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。

（1）求椭圆2C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程
222
2
2
2
23
11(2),,42
431,16, 1.164
x y a e a x y a a +=>=∴-
=∴=∴+=解：（）依题意设椭圆方程为椭圆方程为
21
11222222
22
1222222,),,),2,,,,114164
4161616,,2,4,,1444141,.
A x y
B x y OB OA O A B y x x y AB y kx y x x OB OA x x k k k k k y x y x =∴∴=+=+====∴=∴=++++∴=±==-（）设（（三点共线且不在轴上，设直线方程为并分别代入和得：
所求直线为：或
11.(2012天津理)（本小题满分14分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标
原点.
（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为2
1
-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP 的斜率k 满足.3>k
12. (2012浙江文)（本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P （1，1
2
）到抛物线C ：2y =2px （P ＞0）的准线的距离为
5
4。

点M （t ，1）是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分。

（1）求p,t 的值。

（2）求△ABP 面积的最大值。

【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
（1）由题意得215124pt p =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得121
p t ⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩. （2）设()1122(,),,A x y B x y ，线段AB 的中点坐标为(,)Q m m 由题意得，设直线AB 的斜率为k （k 0≠）.
由211222
2px 2px y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得211221()()()y y y y k x x -+=-，得21k m ⋅=21世纪教育网 所以直线的方程为1
()2y m x m m
-=-，即2220x my m m -+-=. 由2
2220x my m m y x
⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，整理得22220y my m m -+-= 所以2
44m m =-，122y y m +=，2122y y m m =-.从而得
12AB y y =-= 设点P 到直线AB 的距离为d ，则
d =
∆ABP 的面积为S
，则21
12()2
S AB d m m =
⋅=--. 由2
440m m ∆=->，得01m <<.
令t =1
02t <<，则2(12)S t t =-.
设2
(12)S t t =-，102
t <≤，则216S t '=-.
由2
160S t '=-=
，得10,2t ⎛⎤= ⎥⎝⎦
，所以max S =
，故∆ABP
13．(2012浙江理) (本小题满分15分)如图，椭圆C ：22
22+1x y a b
=(a
＞b ＞0)的离心率为1
2
，其左焦点到点P (2，1)
点
O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 【解析】
(Ⅰ)由题：1
2
c e a ==； (1)
左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)
的距离为：d =
=
(2)
由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，．
∴所求椭圆C 的方程为：22
+143x y =．
(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝1
2
x 0．
∵A ，B 在椭圆上， ∴22
02
2
0+12333
43
4422
+14
3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=
=-=-=-⎨-+⎪=⎪⎩．
设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣3
2
x m +(m ≠0)，
代入椭圆：22
22+143
333032
x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨
⎪+⎪⎩＝-． 显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->．
m
m ≠0．
由上又有：A B x x +＝m ，A B y y +＝23
3
m -．
∴|AB |
A B x x -|
∵点P (2，1)到直线l
的距离为：d =
=
．
∴S ∆ABP ＝12d |AB |＝1
2
|m ＋
，
当|m ＋2|
，即m ＝﹣3 or m ＝0(舍去)时，(S ∆ABP )max ＝1
2
．
此时直线l 的方程y ＝﹣31
22
x +．
【答案】 (Ⅰ) 22
+143
x y =；(Ⅱ) y ＝﹣3122x +．
14.(2012重庆理)（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分）
如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ，线段 的中点分别为
21,B B ，且△21B AB 是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 做直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使22QB PB ⊥，求直
线l 的方程
20、解：设所求椭圆的标准方程为
()22
2210x y a b a b
+=>>，右焦点为()2,0F c 。

因12AB B 是直角三角形，又12AB AB =,故12B AB ∠为直角，因此2OA OB =,得2
c b =。

结合2
2
2
c a b =-得2
2
2
4b a b =-，故2222
5,4a b c b ==
，所以离心率c e a =
=。

在12Rt AB B 中，12OA B B ⊥，故
122122122
AB B c S
B B OA OB OA b b =
=== 由题设条件124AB B S =，得24b =，从而22
520a b ==。

因此所求椭圆的标准方程为：
22
1204
x y += （2）由（1）知1(2,0),(2,0)
B B -，由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：2x my =-，
代入椭圆方程得()
22
54160m y my +--=，
设()()1222,,,P x y Q x y ，则12,y y 是上面方程的两根，因此
12245m y y m +=
+,12
216
5
y y m =-+ 又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=-，所以 ()()22121222B P B Q x x y y =--+
()()121244my my y y =--+
()
()2
12121416m y y m y y =+-++
()
2222161161655
m m m m +=-
-+++ 22
1664
5
m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q =,即2
16640m -=，解得2m =±，
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：220x y ++=和220x y -+=
13 、（2006江西理）如图，椭圆Q ：22
22x y 1a b
＋＝（a >b >0）的右焦点F
直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点
（1）求点P 的轨迹H 的方程。