数学_2014年湖南省某校高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2014年湖南省某校高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1. 在复平面内，复数z 满足(3−4i)z =|4+3i|（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A −4 B −4
5 C 4 D 4
5
2. 下列四个命题中
①设有一个回归方程y =2−3x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位；
②命题P ：“∃x 0∈R ，x 02
−x 0−1>0“的否定￢P ：“∀x ∈R ，x 2−x −1≤0”； ③设随机变量X 服从正态分布N(0, 1)，若P(X >1)=p ，则P(−l <X <0)=1
2−p ；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2=6.679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系． 其中正确的命题的个数有（ ） 附：本题可以参考独立性检验临界值表
3. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i =( )
A 3
B 4
C 5
D 6
4. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）
A 4√5，8
B 4√5,8
3 C 4(√5+1),8
3 D 8，8
5. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则（ ）
A α与β相交，且交线平行于l
B α与β相交，且交线垂直于l
C α // β，且l //
 α D α⊥β，且l ⊥β
6. 已知双曲线x 2
a 2−y 2
b 2=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px(p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =( ) A 1 B 2 C 3 D 4
7. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘
，E 为CD 的中点．若AC →
⋅BE →
=1，则AB 的长为（ ）
A 1
4 B 1
3 C 1
2 D 1
8. 设关于x ，y 的不等式组{2x −y +1>0,
x +m <0,y −m >0 表示的平面区域内存在点P(x 0, y 0)，满足x 0−
2y 0=2，求得m 的取值范围是（ ）
A (−∞,4
3
) B (−∞,1
3
) C (−∞,−2
3
) D (−∞,−5
3
)
9. 函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②f(x
3)=1
2f(x)；③f(1−x)=1−f(x)．则f(1
3
)+f(1
8
)=( )
A 34
B 12
C 1
D 2
3
10. 已知函数f(x)=e x ，g(x)=ln x 2
+1
2
的图象分别与直线y =m 交于A ，B 两点，则|AB|的
最小值为（ ）
A 2
B 2+ln2
C e 2+1
2
D 2e −ln 3
2
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
11. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，∠A =60∘，AB =20，过C 作△ABC 的外接
圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．
12. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线{x =t 2，
y =t 3
（t 为参数）相交于A ，B 两点，则|AB|=________．
13. 若关于实数x 的不等式|x −5|+|x +3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________． 14. 已知(l +ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5，则a =________．
15. 已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且−2S 2，S 3，4S 4成等差数列，
则数列{a n}的通项公式为________．
16. 已知P n={A|A=(a1, a2, a3, ..., a n), a i=2013或2014, i=1, 2, 3, ..., n}(n≥2)，对于U，V∈P n，d(U, V)表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（1）令U=(2014, 2014, 2014, 2014, 2014)，存在m个V∈P s，使得d(U, V)=2，则
m=________；
（2）令U=(a1, a2, a3,…,a n)，若V∈P n，则所有d(U, V)之和为________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 设函数f(x)=sinx+sin(x+π
3
)．
（1）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
（2）在△ABC中，设角A，B的对边分别为a，b，若B=2A，且b=2af(A−π
6
)，求角C 的大小．
18. 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：
(Ⅱ)生产一件元件A，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元；生产一件元件B，若是正品可盈利100元，若是次品则亏损20元，在(Ⅰ)的前提下：
(i)求生产5件元件B所获得的利润不少于300元的概率；
(ii)记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．
19. 等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足AD
DB =CE
EA
=1
2
（如
图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1−DE−B成直二面角，连结A1B，A1C （如图2）．
(1)求证：A1D⊥平面BCED；
(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60∘？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
20. 如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．
（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；
（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．
21.
设椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，
上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→
=F 1F 2→
，且AB ⊥AF 2． （1）求椭圆C 的离心率；
（2）若过A 、B 、F 2三点的圆恰好与直线x −√3y −3=0相切，求椭圆C 的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，若点P(m, 0)使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，求m 的取值范围． 22. 定义F(x, y)=(1+x)y ，其中x ，y ∈(0, +∞)． （1）令函数f(x)=F （1, log 2(x 3+ax 2+bx +1)），其图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在x 0(−4<x 0<−1)处有斜率为−8的切线，求实数a 的取值范围； （2）令函数g(x)=F （1, log 2[(lnx −1)e x +x]），是否存在实数x 0∈[1, e]，使曲线y =g(x)在点x =x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由． （3）当x ，y ∈N ，且x <y 时，求证：F(x, y)>F(y, x)．
2014年湖南省某校高考数学一模试卷（理科）答案
1. D
2. C
3. C
4. B
5. A
6. B
7. C
8. C
9. A 10. B 11. 5 12. 16 13. a ≤8 14. −1 15. 3
2⋅(−1
2)n
16. 解：（1）由题意，∵ U =(2014, 2014, 2014, 2014, 2014)，存在m 个V ∈P s ，使得d(U, V)=2，
∴ 根据d(U, V)表示U 和V 中相对应的元素不同的个数，可得m =C 52
=10； （2）∵ P n ={A|A =(a 1, a 2, a 3, ..., a n ), a i =2013或2014, i =1, 2, 3, ..., n}(n ≥2)， ∴ P n 中共有2n 个元素，分别记为v k (k =1, 2, 3,…,2n , v =(b 1, b 2, b 3,…b n ) ∵ b i =2013的v k 共有2n−1个，b i =2014的v k 共有2n−1个．
∴ d(U, V)=2n−1(|a 1−2013|+|a 1−2014|+|a 2−2013|+a 2−2014|+|a 3−2013|+|a 3−2014|+...+|a n −2013|+|a n −2014|=n ⋅2n−1 ∴ d(U, V)=n ⋅2n−1．
17. 解：（1）f(x)=sinx +1
2sinx +
√3
2
cosx =3
2
sinx +
√3
2
cosx =√3(
√3
2
sinx +1
2
cosx)=
√3sin(x +π
6)，
当x +π
6
=2kπ−π
2
(k ∈Z)，即x =2kπ−
2π3
(k ∈Z)时，f(x)取得最小值−√3，
则f(x)的最小值为−√3，此时x 的集合为{x|x =2kπ−2π3
(k ∈Z)}；
（2）∵ b =2af(A −π
6)=2√3asinA ，
∴ 利用正弦定理化简得：sinB =2√3sin 2A ，
将B =2A 代入得：sin2A =2√3sin 2A ，即2sinAcosA =2√3sin 2A ， ∵ sinA ≠0，∴ cosA =√3sinA ，即tanA =√33
， ∴ A =π
6，B =2A =π
3， 则C =π−(A +B)=π
2． 18. （本小题满分1
（1）由题可知元件A 为正品的概率为40+32+8100
=4
5
，
元件B 为正品的概率为
40+29+6100
=3
4．
(2)(i)设生产的5件元件中正品件数为x ，则有次品5−x 件，
由题意知100x −20(5−x)≥300，
得到x ＝4，5，设“生产5件元件B 所获得的利润不少于300元”为事件C ，
则P(C)=C 54(3
4
)4×1
4
+C 55
(3
4
)5=
81128
．
(ii)随机变量X 的所有取值为150，90，30，−30， 则P(X ＝150)=4
5×3
4=3
5， P(X ＝90)=1
5×3
4=320， P(X ＝30)=4
5×1
4=1
5，
P(X＝−30)=1
5×1
4
=1
20
，
所以X的分布列为：
EX＝150×3
5+90×3
20
+30×1
5
−30×1
20
=108．
19. (1)证明：∵ 正△ABC的边长为3，且AD
DB =CE
EA
=1
2
,
∴ AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60∘，
由余弦定理，得
DE=√12+22−2×1×2×cos60∘=√3，
∵ AD2+DE2=4=AE2，
∴ AD⊥DE．
折叠后，仍有A1D⊥DE,
∵ 二面角A1−DE−B成直二面角，
∴ 平面A1DE⊥平面BCED,
又∵ 平面A1DE∩平面BCED=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE,
∴ A1D⊥平面BCED.
(2)解：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60∘，如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H，A1P，
由(1)得A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，
∴ A1D⊥PH，
∵ A1D，BD是平面A1BD内的相交直线，
∴ PH⊥平面A1BD，
由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60∘，
设PB=x(0≤x≤3)，
则BH=PBcos60∘=x
2，PH=PBsin60∘=√3
2
x，
在Rt△PA1H中，∠PA1H=60∘，
∴ A1H=x
2
，
在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2−1
2
x，
由A 1D 2+DH 2=A 1H 2，得12+(2−12
x)2=(1
2
x)2，
解得x =5
2，满足0≤x ≤3符合题意，
∴ 在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60∘，此时PB =5
2．
20. 解：（1）如下右图， 过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =1
2SH ⋅RT ．
由题意，△RST 在月牙形公园里， RT 与圆Q 只能相切或相离；
RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，
当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立． 此时，场地面积的最大值为S △RST =1
2×4×2=4(km 2)．
甲图乙图
（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则
S ABCD =1
2(AD +BC)×2sinθ=1
2(4+2×2cosθ)×2sinθ． =4(sinθ+sinθcosθ)… 令y =sinθ+sinθcosθ，则
y ′=cosθ+cosθcosθ+sinθ(−sinθ)=2cos 2θ+cosθ−1． 若y ′=0，cosθ=1
2
，θ=π
3
，
又θ∈(0,π3)时，y ′>0，θ∈(π3，π
2)时，y ′<0，
函数y =sinθ+sinθcosθ在θ=π
3处取到极大值也是最大值，
故θ=π
3
时，场地面积取得最大值为3√3(km 2)．
21. 解：（1）由题意知F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，A(0, b) ∵ BF 1→
=F 1F 2→
知F 1为BF 2的中点， AB ⊥AF 2
∴ Rt △ABF 2中，BF 22=AB 2+AF 22(4c)2=(√9c 2+b 2)2+a 2， 又a 2=b 2+c 2
∴ a =2c
故椭圆的离心率e =
c a =1
2
…
（2）由（1）知c
a =1
2得c =1
2a ， 于是F 2(1
2
a,0)，B(−3
2
a ，0)，
Rt △ABF 2的外接圆圆心为(−1
2a, 0)，半径r =a ， 所以
|−12
a−3|
2
=a ，解得a =2，
∴ c =1，b =√3， 所求椭圆方程为x 2
4+
y 23
=1…
（3）由（2）知F 2(1, 0)，l:y =k(x −1)， 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，
由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，代入得(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0
则x 1+x 2=
8k 23+4k 2
，
y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)…
PM →
+PN →
=(x 1−m,y 1)+(x 2−m,y 2)=(x 1+x 2−2m,y 1+y 2) 由于菱形对角线垂直， 则(PM →
+PN →
)⋅MN →
=0
故x 1+x 2−2m +k(y 1+y 2)=0
即x 1+x 2−2m +k 2(x 1+x 2−2)=0，
8k 23+4k 2
−2m +k 2
(8k 2
3+4k 2−2)=0…
由已知条件知k ≠0， ∴ m =k 2
3+4k 2=
1
3k 2
+4
∴ 0<m <14
故m 的取值范围是0<m <14
．…
22. 解：（1）f(x)=F （1, log 2(x 3+ax 2+bx +1)）=x 3+ax 2+bx +1， 设曲线C 在x 0(−4<x 0<−1)处有斜率为−8的切线，
又由题设知log 2(x 3+ax 2+bx +1)>0，f′(x)=3x 2+2ax +b ，3x 02
+2ax 0+b =−8 ①
∴ 存在实数b 使得−4<x 0<−1 ②有解， x 03+ax 02+bx 0>0 ③
由①得b =−8−3x 02−2ax 0，代入③得−2x 02
−ax 0−8<0，
∴ 由 2x 02
+ax 0+8>0 在−4<x 0<−1有解，
得2×(−4)2+a ×(−4)+8>0或2×(−1)2+a ×(−1)+8>0， ∴ a <10或a <10，∴ a <10、 （2）∵ g(x)=(lnx −1)e x +x ，
∴ g′(x)=(lnx −1)′e x +(lnx −1)(e x )′+1=ex x
+(lnx −1)e x +1=(1
x +lnx −1)e x +1．
设ℎ(x)=1
x +lnx −1、则ℎ′(x)=−1
x2+1
x =x−1x2
，
当x ∈[1, e]时，ℎ′(x)≥0．
ℎ(x)为增函数，因此ℎ(x)在区间[1, e]上的最小值为ln1=0，即1
x +lnx −1≥0． 当x 0∈[1, e]时，ex 0>0，1
x0+lnx 0−1≥0， ∴ g′(x 0)=(
1x0
+lnx 0−1)ex 0+1≥1>0．
曲线y =g(x)在点x =x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g′(x 0)=0有实数解， 而g′(x 0)>0，即方程g′(x 0)=0无实数解．
故不存在实数x 0∈[1, e]，使曲线y =g(x)在点x =x 0处的切线与y 轴垂直． （3）证明：令ℎ(x)=ln(1+x)x
，x ≥1，由ℎ′(x)=
x
1+x
−ln(1+x)x 2
，
又令p(x)=x 1+x −ln(1+x)，x ≥0， ∴ p′(x)=
1(1+x)2
−
11+x
=
−x (1+x)2
≤0，
∴ p(x)在[0, +∞)上单调递减，
∴ 当x >0时，有p(x)<p(0)=0， ∴ 当x ≥1时，有ℎ′(x)<0， ∴ ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减， ∴ 当1≤x <y 时，有
ln(1+x)x
>
ln(1+y)y
，
∴ yln(1+x)>xln(1+y)，∴ (1+x)y >(1+y)x ， ∴ 当x ，y ∈N ，且x <y 时，F(x, y)>F(y, x)．。