2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用》精品教案

21.4二次函数的应用
第1课时二次函数在面积最值问题中的应用 教学目标
1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；
2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。

教学重难点
【教学重点】
利用二次函数求实际问题的最值。

【教学难点】
对实际问题中数量关系的分析。

课前准备
课件等。

教学过程
一、情境导入
孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
二、合作探究
探究点：利用二次函数求最大面积
【类型一】利用二次函数求最大面积
例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．
(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x 2
，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．
解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2
·x ＝ －x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；
(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)
时，S最大值是225(平方米)．
方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．
【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件
例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．
解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，
解得x1＝10，x2＝6.
所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．
【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件
例3 现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．
(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？
解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数
关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．
解：(1)由题意知，B 场地宽为(30－x )m ，∴y ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30；
(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，当x ＝15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m 2.
【类型四】最大面积方案设计
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如以下图)．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．
解：(1)M (12，0)，P (6，6)；
(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，
所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16
， 所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16
x 2＋2x ； (3)设OB ＝m ，
那么点A 的坐标为(m ，－16
m 2＋2m )， 所以AB ＝DC ＝－16
m 2＋2m . 根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，
所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，
所以l ＝AB ＋AD ＋DC
＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16
m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13
(m －3)2＋15. 所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．
三、板书设计
图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计
教学反思
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函
数模型，解决实际问题．
第2课时利用移项解一元一次方程
教学目标
1．掌握移项变号的根本原那么；
2．会利用移项解一元一次方程。

教学重难点
【教学重点】
移项变号的根本原那么。

【教学难点】
利用移项解一元一次方程。

课前准备
课件、教具等。

教学过程
一、情境导入
上节课学习了一元一次方程，它们都有这样的特点：一边是含有未知数的项，一边是常数项．这样的方程我们可以用合并同类项的方法解答．那么像3x ＋7＝32－2x 这样的方程怎么解呢？
二、合作探究
探究点一：移项
例1 通过移项将以下方程变形，正确的选项是( )
A ．由5x －7＝2，得5x ＝2－7
B ．由6x －3＝x ＋4，得3－6x ＝4＋x
C ．由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8
D ．由x ＋9＝3x －1，得3x －x ＝－1＋9
解析：A.由5x －7＝2，得5x ＝2＋7，应选项错误；B.由6x －3＝x ＋4，得6x －x ＝3＋4，应选项错误；C.由8－x ＝x －5，得－x －x ＝－5－8，应选项正确；D.由x ＋9＝3x －1，得3x －x ＝9＋1，应选项错误．应选C.
方法总结：(1)所移动的是方程中的项，并且是从方程的一边移到另一边，而不是在这
个方程的一边变换两项的位置；(2)移项时要变号，不变号不能移项．
探究点二：用移项解一元一次方程
例2 解以下方程：
(1)－x－4＝3x；(2)5x－1＝9；
(3)－4xxx.
解析：通过移项、合并、系数化为1的方法解答即可．
解：(1)移项得－x－3x＝4，合并同类项得－4x＝4，系数化成1得x＝－1；
(2)移项得5x＝9＋1，合并同类项得5x＝10，系数化成1得x＝2；
(3)移项得－4x＝4＋8，合并同类项得－4x＝12，系数化成1得x＝－3；
xx，x，系数化成1得x＝4.
方法总结：将所有含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1.特别注意移项要变号．
三、板书设计
1．移项的定义：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．
2．移项法那么的依据：等式的根本性质1.
3．用移项解一元一次方程．
教学反思
本节课先利用等式的根本性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程．在教学设计当中应给学生进行针对性训练．引导学生正确地解方程．。