八年级数学暑假专题分式方程的解法与技巧知识精讲试题

八年级数学暑假专题 分式方程的解法与技巧 湘教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
暑假专题——分式方程的解法与技巧
［教学目的］
1. 使学生掌握特殊形式的分式方程的解法。

2. 掌握灵敏选用有针对性的分式方程的解题方法和技巧。

二. 重点、难点：
重点：掌握特殊形式的分式方程的解法。

难点：灵敏选用解分式方程的解法和技巧。

【典型例题】
1. 部分通分法：
例1. 解方程：
x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取部分通分法。

解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()()
x x x x --=--
去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6
经检验：x ＝6是原分式方程的根。

点拨：此题假如用常规法，将出现四次项且比拟繁，而采用部分通分法，就有明显的优越性。

但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进展部分通分。

2. 换元法：
例2. 解方程：
7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全一样，故可考虑用换元法求解。

令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。

解：设，则原方程可化为：k x x =-+265
793144k k k --=-+
去分母化简得：20147111602k k --=
∴()()k k -+=1220930
∴，k k ==-129320
当时，k x x =--=126702
()()x x -+=710
解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202
2012019302x x -+=
解此方程此方程无解。

经检验：，是原分式方程的根。

x x 1217=-=
点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，到达降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，此题还有其它的设法，同学们可自己去完成。

3. 拆项裂项法：
例3. 解方程：
12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但假设将第二项拆项、裂项，那么更简捷。

解：原方程拆项，变形为： ()()()()
12222222221x x x x x x ++++-+---=
裂项为：
122222221x x x x ++-++--=
化简得：321x +=
解之得：x =1
经检验：x ＝1是原分式方程的解。

4. 凑合法：
例4. 解方程：
x x x x 4143412+-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。

解：部分移项得：
x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412
=------
∴x 412=
∴x ＝2
经检验：x ＝2是原分式方程的根。

5. 构造法：
例5. 解方程：x x x x 221103++
+= 分析：此方程在形式上有很明显的特征，可以构造为型的方程x x k k +
=+11 来求解，而不用常规解法。

解：原方程可化为：
x x x x 221313+++=+ ∴或x x x x 22313+=+=
解之得：，x x 123411321216
21,,=-±=-±
经检验：，均是原分式方程的根。

x x 12341132121621,,=
-±=-± 6. 比例法：
例6. 解方程：2562582422
2222x x x x x x x x +-+-=++++ 分析：由于方程两边分子、分母未知数的对应项系数相等，因此可以利用这样的恒等变形，即若
，则有的性质，可使分母化为常数，从而简化a b c d a b a b c d c d =+-=+- 运算。

解：应用上述性质，可将方程变形为：
()()()()()()()()
2562582562582422242222222222x x x x x x x x x
x x x x x x x +-++-+--+-=+++++++-++
化简得：4101422462
22x x x x +-=++ ∴4101424622x x x x +-=++
∴x x 23100+-=
∴()()x x +-=520
∴或x x 1225==-
经检验：，是原方程的解。

x x 1225==-
【模拟试题】〔答题时间是：20分钟〕
解以下分式方程：
1. x x x x x x x x +++++=+++++12672356
2. 21212222
2222x x x x x x x x ++--=-++- 3.
x x x x x -+-+-=-112141
2 4. x x
x x 2215580+--+= 5. 23123222x x x x +++=-
【试题答案】
1. 解：原方程变形为：
x x x x x x x x +-+++-+=+-+++-+212717313616 即13121716x x x x +-+=+-+
方程两边分别通分为： ()()()()
-++=-++123167x x x x 去分母得：()()()()x x x x ++=++2367
化简得：836x =-
∴x =-92 经检验：是原方程的解。

x =-92
2. 由比例的性质可得： 421422
222
2x x x x x x --=+-
∴402x =或者212222x x x x --=+- 解之得：x x 12012==
， 经检验：x x 12012==，是原分式方程的解。

3. 解：原方程可化为： 1211312121
-+⎛⎝ ⎫⎭⎪-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=--+x x x x 化简得：--=-3121x x
∴--=510x ∴原分式方程无解
4. 原方程可变形为：x x x x 2215180+⎛
⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭
⎪+= 设x x y +=1，那么有x x
x x y 22221122+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪-=- ∴原方程可化为：y y 22580--+=
即y y 2560-+=
解之得：y y 1223==，
当y 12=时，即x x +
=12，解得x x 121== 当y 23=时，即x x
+=13，解得x 34352,=± 经检验：x x 121==，x 34352,=
±均是原方程的解。

5. 解：原方程可变形为：231231122x x x x ++
+=--
∴2312x x +=-
即23102x x ++=
()()∴x x ++=1210
∴x 11=-或者x 212=- 经检验：x 11=- 或者x 212
=-
均为原分式方程的解。

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