与圆有关的动点问题》复习教学设计[1]

《与圆有关的动点问题》复习教学设计
浙江省衢州市衢江区实验中学高惠莲
一复习背景
近几年中考对圆的考查基本符合《课标》的要求，在考查基础知识的同时注重对学生能力的考查，体现了通过中考引导学生理解数学本质、培养数学能力、实现数学教育的目的，考查方式以与其他知识相结合的综合题为主，不过，在综合题的解决过程中，涉及到圆的考点其实都比较简单，但学生能否顺利解题，关键是能否把圆所起的作用（转化和过渡）挖掘出来。

基于这样的中考背景，在复习了圆的基础知识、基本技能后，我设计了这堂复习课作为区级调研公开课，力求通过变式（形式上）、反思（思想上）使学生对此类题型有个初步的理解及融会贯通，并在问题的探究过程中获得成功体验，增强学好数学的自信心，体会几何图形的动态美。

二复习定位
一样的复习内容，不一样的复习方法，就会产生不一样的复习效果，所以我常常在思考这样一个问题：怎样上好复习课？怎样把握好复习课的度？以往我们把复习课只定位在“巩固知识、提高技能”上，很少关注学生整体能力的发展，更体现不出数学的人文性和价值性。

而一堂45分钟的复习课，不可能面面俱到，重点讲什么？主要解决什么问题？是我们应该认真思考的问题，我的复习课定位是：澄清误解、完善结构、巩固提高。

三复习目的
1、帮助学生回顾圆的基础知识、基本题型并形成良好的知识结构；
2、帮助学生掌握与圆有关的动点问题的基础题型的解题方法、思路、规律与技巧；
3、进一步培养学生的探索能力和运用知识解决实际问题的能力。

4、在解决实际问题过程中感受数学知识的魅力。

四复习设计
一回顾反思
回顾：对圆的基础知识、基本题型你还存在什么问题？
生1：一些基本的定理、结论在复杂图形中不易辨别、应用。

生2：审题有时会不仔细，计算时很怕算错。

生3：解题过程中有时考虑不全面。

反思：解决圆的问题你觉得应注意什么？
生1：要注意分类讨论，做到不遗漏、不重复。

生2：要注意圆与其他知识的联系，重要的基本图形、定理、公式等能熟练运用。

【赏析】教师通过营造一个充分开放的思维系统，使学生大脑中的信息得到及时的还原、纠正，促使学生的思维快速活跃，为后续的学习做好准备。

二考点整合
例题：如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠
BAC=30 ,点P在线段OB上运动，设∠ACP=X,则X
的取值范围____________
生1：0 ≤X≤90
生2：应该是30 ≤X≤90
教师：请同学们反思生1为什么错，请她自己先说说好吗？
生1：审题不仔细，我把P点在OB上运动当成在AB上运动了。

变式1 如图2，若点P在AB的延长线上运动，且⊙O的直径AB为8cm,过P 点作PC与⊙O相切
问题1：若∠CPA=30 ,求PC
生：连OC 可得∠OCP=90 ,∠COP=60 ,所以
PC=O C ×tan 60 =43。

师：很好，这位同学用切线的性质定理及三角函数
的知识解决了这个问题。

问题2：作∠CPA 的角平分线交AC 于点M,
问∠CMP 的大小会发生变化吗？
（学生独立思考后合作交流，大部分学生感到无从下手）
教师提示：本题只有∠OCP 是定值90 ，所以我们要把所求的∠CMP 的大小与∠OCP 联系起来，同学们再认真思考一下，如何把它们联系起来。

教师展示学生的各种典型解法，最后归纳出最佳解法：由∠CMP=∠CAP+∠MPA=21(∠COP+∠CPA)= 2
1×90 =45 【小结】一类寓动于静的数学定值题型，时常在中考中出现，这类问题往往需要证明某一线段或某一角的大小为一定值，解决的策略是：认真审题，仔细观察，在图形中找出位置虽变而其值不变的元素，再探索出所求定值与它们的关系。

本题的关键是发现∠COP 与∠CPO 的和不因为点P 的变化而变化，而∠CMP 的值刚好是其和的一半。

变式2 把此圆以A 为原点建立平面
直角坐标系，C 为圆上一点且∠AOC=60
，P 为X 轴上一动点
问题1：求∠OAC 的度数。

生：因为OA=OC ，∠AOC=60 ，所以
∠OAC=60 。

问题2：如图3，当CP 与⊙O 相切时，求PA 的长
生：在△PCO 中，∠AOC=60 ，所以∠OPC =30 ,所以PO=2CO=8,PA=PO-AO=4。

问题3：当点P 在直径AB 上时，CP 的延长线与⊙O 相交于点Q,问PA 为何值时，△ACQ 是等腰三角形？
学生独立思考后教师做提示：满足什么条件，可使得△ACQ 是等腰三角形？
引导学生分三种情况讨论：①AC=AQ ；②
CA=CQ ；③QA=QC
学生充分交流讨论后小结出最佳解法：
在△ACQ 中，若AC=AQ ，如图4，又OC=OQ,,
则OA 垂直平分CQ,且∠ACQ=∠AQC=21∠COA=30 ，所以∠QCO=30 ,OP=2
1OC=2
若QC=QA ，如图5，又OA=OC,所以QO 所在的线段QD 是AC 的中垂线，所以
∠EOQ=30 ，则QE=2
1OQ=2，OE=23
所以Q点坐标为（4+23，-2），又C点坐标为（2，23）
所以直线QC的解析式是：Y=-X+2+23
所以P点坐标为（2+23，0），即OP=2+23
若CO=CQ，用尺规作图易见此种情况不存在。

【赏析】以一个基本问题为变题源，多角度，多层次地探究问题，体现了新课程所倡导的自主、合作、探究的学习理念。

在学法指导上，注重在变中发现规律，在变中拓展思维，通过一题多变、一题多解帮助学生摆脱固定的思维模式，寻求最佳解题方法，提高解题效率。

在思想渗透上，让学生感受到圆的知识在解题过程中起到了转化和过渡的作用，让学生体会到数学中这种“润物细无声”的独特美。

三反思提升
一反思
引导学生反思例题中所涉及的知识点，反思解题方法，反思解题思路的严密性等等。

二提升
归纳解题过程中的注意点：
（1）基础知识过关，注意前后知识的衔接．
（2）解题要注重审题．在了解所用知识和产生解题方案过程中要
适时关注数学思想方法运用．
（3）在解决问题过程中，积极联想，主动探究，形成再发现和再
创造．
（4）在复习本章知识的同时，要善于与其他知识的综合，如代数、三角及
几何中的相似形等知识的链接
【课后反思】哲人说，但凡走过，必留下痕迹。

我希望我的每节复习课都能给学生留下点什么，正如曹一鸣教授所说：“一堂有价值的数学课，给予学生的影响应该是多元而立体的。

有知识的丰厚、技能的纯熟，更有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。

”这节复习课以回顾—整合—提升为特色设计框架，以变式、反思为主要教学特色，整堂课的设计意图是：
1 整合提升综合题的解析
中考解答题往往综合性强，能力要求高，学生思考和动手解题的过程是极其宝贵的学习经历。

因此，在教学时，我给学生足够的理解题意、探索分析的时间，使学生多角度地给出解题方法，教师进行整合提升，确定最佳方法，从而培养学生思维的广阔性，提高解题能力。

2 以反思为核心加强学法指导
通过对解题思路、解题方法的反思，使零散的知识构建为密集的模块，并不断提高模块的数量、质量及使用的策略，学生的数学思维能力才能得到升华，并形成个性化的经验，最终学生会形成自己独特的解题风格和解题策略。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。