三垂线PPT教学课件
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三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
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3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
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D1 A1
D A
解 题 反 思
2020/12/10
C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
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[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
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[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
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P
oa A α
4
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
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P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
立体几何之三垂线定理 PPT
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(2)
• 如果平面α内得直线a垂直于斜线 OP得射影OA,那么α必垂直于斜线 OP;反之也成立
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(3)
• 满足条件(2)得直线a必垂直于斜线 及射影所确定得平面
P
A
a
O
α
三垂线定理说明(4)
• 运用三垂线定理及逆定理得规律: 确定平面、找到斜线、找到(做出) 垂线、连成射影、查面内线
则AG BC，连结A'G则A'G BC
A'F FG 3 a A'G 6 a
4
4
即A'点到BC的距离是 6 a 4
AG 3 a， 2
A
E F D
B
C G
垂直于AB的两条相等的斜线，且分别在 AB的两侧，若AB 5cm，AC BD 8cm，
AB和平面的距离为7cm，求CD的长
A
B
C
A1 O α
B1 D
举一个例子
分析：①因为AB 平面，又因为AB AC,
A
B
AB BD，则应想AA1 BB1 7cm且AA1 所以A1B1 AB 5cm
得距离 • 求二面角得平面角
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
已知：正方体中截去以P为定点的一角得截面ABC 求证：所截得的 ABC是锐角三角形
P C
A
B
一些例子
• 判定空间中两条直线相互垂直
证明：过P作PD AB于D， ABP是Rt ， PD的垂足D在AB内， 连结CD，由三垂线定理可知，CD AB， CD为 ABC中AB边上的高线且满足垂足在AB内， 同理可证 ABC中BC边、AC边上的高线的垂足也在BC、AC内 ABC的垂心在 ABC内，故 ABC为锐角三角形
三垂线定理及其典型例题ppt课件
思考：
a 如果把定理中的条a⊥AO与结 论a⊥PO互换，命题是否成立？
三垂线定理的逆定理： 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条 斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的 射影垂直。
三垂线定理
(1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面
α内的射影，则a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，
且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。
( ×)
强调：1°四线是相对同一个平面而言
2°定理的关键找“平面”这个参照学。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
P a
Ao α
用法：
∵PA⊥α， a α，
AO是斜线PO在平面 α内的射影， a⊥PO ∴ a⊥AO
说明：三垂线定理及其逆定理是证明线线垂
直的重要方法。
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例题分析： 1、判定下列命题是否正确
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
复习提问：
1。直线与平面垂直的定义。 2。直线与平面垂直的判定定理。 3。证明线面垂直的方法。 4。证明线线垂直的方法。
一、射影的概念 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能
三垂线定理说课ppt
证明：连结AO，并延长AO交 BC于D ∵O是△ABC的垂心
P
∴AD ⊥BC
又∵ AＤ是PA在平面ABC 的射影
A
O
C D B∴ PA ⊥ BC五、课堂小结：知识内容：三垂线定理
应用步骤： “一垂二射三证” 思想方法：转化思想，点明转化的关键是
“找平面的垂线”。
六、布置作业：
1、已知：如图, VA⊥VB, VA⊥VC , VD⊥BC. 求证： AD⊥BC V
PO平面PAO
a⊥PO
三、新授
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
(线射垂直 线斜垂直) P a
A
O
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
B
A
D
C
2、如图，AB是⊙O的直径，PA垂直圆O所在的 平面，点C是圆周上异于A、B的一点。 试说明： ①图中有哪几个直角三角形？ ②如果点C在圆周上运动呢？
P
A
C
·
O
B
(3)非书面作业：
① 、三垂线定理的逆命题是否成立？
② 、证明空间两条直线垂直有哪几种途径？
谢 谢 大 家！
精品课件！
精品课件！
2、 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC， P M是BC的中点， 求证：BC⊥AM C 证明: PB=PC
M是BC的中点
A
M B BC⊥AM
高二数学 三垂线定理 ppt名师课件
求证：BC⊥AM (3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
A
O
B (1) C
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
PHale Waihona Puke AO B一找直线和平面垂直
P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
思维发散题组
例2 利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
在四面体ABCD中,已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
a
三种垂直关系: ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 α
Ao
即：直线PA⊥平面α,
射影AO⊥a，斜线PO⊥a。
⒉这个定理的实质是什么？
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把
空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用
。
3 .如果将定理中“在平面内”
的条件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时， a⊥c
三垂线定理
P
oa
α
A
三、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
P
P
D1
C1
A
D
A
O
B (1) C
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
PHale Waihona Puke AO B一找直线和平面垂直
P
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
思维发散题组
例2 利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点
求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，
在四面体ABCD中,已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
a
三种垂直关系: ①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直 α
Ao
即：直线PA⊥平面α,
射影AO⊥a，斜线PO⊥a。
⒉这个定理的实质是什么？
三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把
空间垂直转化为相交垂直。起到“降维”的作用
。
3 .如果将定理中“在平面内”
的条件去掉，结论仍然成立吗？
例如：当 a⊥ 时， a⊥c
三垂线定理
P
oa
α
A
三、三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
三垂线定理PPT课件
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
C
B
a
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF
F
B E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部 的距离。 A
F B
E
二、应用
例1.已知计算机学校的旗杆高20米 测量得旗杆底部B到楼底部
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
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三垂线定理
1.斜线在平面上的射影
2.三垂线定理:垂直射影
垂直斜线
三垂线定理的逆定理:
垂直斜线
垂直射影
例2 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的
中点，求证：BC⊥AM
P
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC ∴PM是AM在平面PBC上的射影
BC⊥AM
C
M B
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
练一练
已知：长方体AC1中，
D1
C1
BD1为体对角线， A1
当底面ABCD满足
B1
条件
时，
有BD1 ⊥ A1C1
D
C
A
B
解：
当AC ⊥ BD时结论成立。
思考题：想一想？
如图，PA 垂直于以AB为直径的圆Ｏ平面，Ｃ为 圆Ｏ上任一点（异于Ａ，Ｂ），试判断图中共有 几个直角三角形，并说明理由。
a
Ao α
① 线面垂直
② 线线垂直
③ 线面垂直
线线垂直
性质定理
判定定理
性质定理
证明：
PA⊥α aα
PA⊥a
AO⊥a
a⊥平面PAO
PO 平面PAO
a⊥PO
一面四线三垂直
P a
一面——平面α（基础平面） ； α
Ao
四线——PO（ α的垂线）， PA（斜线），
AO（射影），
a（ α内的直线））
三垂直——PO⊥ a, AO ⊥ a, PA ⊥ α
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生
２、特有和古老的物种多。许多稀有古 老的物种都能在我国找到。
P 3 第二次： 28---------- 。
浩大1的9“从58除年“四，可害中”持华运大续动地发。掀一展起时一”间股的，声全势 国角上度下对来老看鼠，、苍这蝇场、运蚊子动、是麻对雀展 开的大吗规模？围现剿在。被还株应连该的还开有展野吗猪、？
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
故称“三垂线定理”
三垂线定理
直线a 一定要在平面内，如 果 a 不在平面内，定理就不一 定成立。
例如：当 b⊥ α时，
则 b⊥OA
α
但 b不垂直于OP
P
O ab
A
注意：定理中“在平面内”的条件不
能去掉。
三垂线定理
三垂线定理是平面的一条斜 P
线与平面内的直线垂直的判定 定理，这两条直线可以是：
①相交直线 ②异面直线
P
已知：PA，PO分别是平面α的
垂线和斜线，AO是PO在平面
A O a 的射影, a在平面α内 ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
三垂线定理
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
直 工业原料：食品、医药、化工及制造等
接
许多工业都要以生物为原料。
使
用 科研价值：仿生学、动植物品种的改良
e dc
αA
Ob a
注意：三垂线定理是判定空间两直线（尤其是异 面直线）垂直的重要依据
例1：在正方体AC1中，
求证（1）BD1 ⊥ AC （2）BD1 ⊥平面AB1C
D1 A1
D
C1 B1
CHale Waihona Puke AB三垂线定理
一、主要用来证明线线垂直，（b 异面垂直）
二、三垂线定理解题的技巧：
c
l
（1）找准基础平面
（2）找准四线
（1）直线和直线垂直的种类。
相交垂直与异面垂直
（2）如何理解 线线垂直
的线的概念
线面垂直中
由线线垂直可以得到线面垂直，再 由线面垂直又可以得到线线垂直。
要证明线线垂直一定得通过证明 线面垂直来完成吗？
三垂线定理：
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果
P
和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直
价
都需要野生生物。
值
美学价值：色彩纷呈的花木及神态各异
的动物都能给人以美的享受。
人们模拟苍蝇的平衡棒研制出运载火箭 的振动陀螺仪
神奇的山水配以绚丽的生物，给人 以美的感受。
间接使用价值
间接使用价值指生物多样性具有重要的生态功 能。
动物需要以特定的生物为食物，同时它的发展 又需要相应的生物来制约它；植物需要特定的动物 来为它传粉、散播种子，还需要各种微生物将不能 利用的有机物分解为无机盐以便重新利用。各种生 物共同维持生态系统的结构与功能。
P
A
O
B
C
课堂小结：
三垂线定理
一.三垂线定理
1.定理中元素：一面四线三垂直
2.定理中“直线在平面内”这个条件不能省略, 否则不 一定成立
3.定理是判定空间两直线（尤其是异面直线） 垂直的重要依据
4.三垂线定理是“线与射影垂直 即“垂影推出垂斜”。
三垂线定理的逆定理:
线与斜线垂直”
垂直斜线
垂直射影
课堂小结：
a
P 1、2 第一次： 27----------
。
三垂线定理
三垂线定理的逆命题
？ P 线射垂直
P线斜垂直
A Oa α
A Oa α
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生 ２、特有和古老的物种多。许多稀有古
物 老的物种都能在我国找到。
多
样 ３、经济物种丰富。我国有许多具有很
性
高经济价值的野生生物，有几十种
特
农作物及家养动物起源于我国。
点 ４、生态系统多样。海洋、沼泽、江
河、湖泊、高山、平原、沙漠等各
野生生物的灭绝或严重减少将导致生态系统稳 定性的破坏，甚至造成生态灾难。
多种多样的生物共 同维持生态系统的 结构与功能
潜在使用价值
潜在使用价值指目前尚未被人发 现的使用价值。目前绝大多数野生 生物的使用价值都未被人充分发掘 出来。如果一种生物灭绝了，它的 任何使用价值都将永远找无法得到 了。
如广泛分布于广东各地山林中的三叉 苦，过去一直被人们砍来作柴烧，使用价 值很低。80年代科学家以它为主要原料生 产出三九胃泰及999感冒灵等药品，使得三 叉苦的身价一下子上升了几百倍。