浙教版数学八年级上册专题培优讲义《专题14 最值问题探究》

浙教版数学八年级上册专题培优讲义
专题14最值问题探究
【知识梳理】
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本专题对求最值的一些常用方法作一些归纳：
一、运用变换求最值；
二、运用基本不等式求最值；
三、借用取值范围求最值；
四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)．
【例题探究】
一、运用变换求最值
几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论：
如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小．
【解】画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小．
证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C.
因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立．
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是()
A．3B．4
C．5D．6
【思路点拨】由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连结AC，CE，CE交BD于点P，此时AP＋PE的值最小，AE为定值，即△PAE的周长最小，只要求出CE 的长，即可得出答案．
【例2】如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm.
【思路点拨】设点P关于OA的对称点为点C，关于OB的对称点为点D，当点M，N 在CD上时，△PMN的周长最小．
【例3】求函数y ＝x 2＋4x ＋5＋x 2－4x ＋8的最小值．
【思路点拨】y ＝（x ＋2）2＋（0－1）2＋（x －2）2＋（0－2）2．如图，建立平面直角坐标系，点P (x ，0)是x 轴上一点，则（x ＋2）2＋1可以看成点P 与点A (－2，1)的距离，（x －2）2＋4可以看成点P 与点B (2，2)的距离，所以y ＝PA ＋PB ，只要求出P A ＋PB 的最小值即可．
【例4】在平面直角坐标系中，将长方形OABC 如图放置，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OA ＝6，OC ＝4，点D 为OC 的中点，点E ，F 在线段OA 上，点E 在点F 左侧，EF ＝2．当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标是()
A ．(12
，0)B ．(43，0)C ．(32，0)D ．(2，0)
【思路点拨】将线段FB 向左平移2个单位长度得到线段EB ′，作点D 关于x 轴的对称点D ′(0，－2)，连结B ′D ′，与x 轴的交点为E ，此时四边形BDEF 的周长最小，求出直线B ′D ′的解析式即可解决问题．
二、运用基本不等式求最值
【例5】阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)．
类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．其证明如下：
∵(a－b)2＝a－2ab＋b≥0，∴a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2ab)．
例如：求y＝x＋1
x
(x>0)的最小值，则y＝x＋1
x≥2x·
1
x＝2，此时当且仅当x＝
1
x，即x
＝1时，y的最小值为2.
(1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋4
a
(a>0)的最小值为________；
(2)求y＝m2＋2m＋17
m＋1
(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值；
(3)若0≤x≤4，求代数式x（8－2x）的最大值，并求出此时x的值．
【思路点拨】(1)根据阅读材料提供的方法求解即可；(2)先把原式变形成y＝
m2＋2m＋17
m＋1＝(m＋1)＋
16
m＋1，再用材料中提供的方法求解；(3)根据x＋(4－x)≥2x（4－x），
可求得x（4－x）的最大值，进而求得x（8－2x）的最大值．
三、借用取值范围求最值
【例6】设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x －d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是() A．－1B．－5
C．0D．1
【思路点拨】将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a ＝0，通过各式的加减，将a＋b＋c＋d转化为关于b的关系式，再根据b为正整数，即可求出a＋b＋c＋d的最大值．
【例7】设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________．
【思路点拨】由题意可得，x2≥x1＋1，x3≥x1＋2，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6，根据x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159可求得x1的最大值，同理可求得x2，x3的最大值，相加即可．
四、枚举、排序与讨论相结合求最值
【例8】设x，y都是正整数，且使x－116＋x＋100＝y，则y的最大值是________．【思路点拨】因为x，y是正整数，且x在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法将它进行有理化处理．
【例9】已知自然数x1，x2，x3，x4，x5满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝x1x2x3x4x5，求x5的最大值．
【思路点拨】因为x1，x2，x3，x4，x5都是自然数，从而有
1
x2x3x4x5≤
1
x3x4x5≤
1
x4x5≤
1
x5，
同样可以得到类似此式的许多不等式链．
【答案解析】
【知识梳理】
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，距离最近、花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题．由于最值问题灵活多变，故解决这类问题必须掌握一定的方法和技巧．本讲对求最值的一些常用方法作一些归纳：
一、运用变换求最值；
二、运用基本不等式求最值；
三、借用取值范围求最值；
四、利用一次函数的增减性求最值(具体略)．
【例题探究】
一、运用变换求最值
几何问题的最值，通常利用变换，如对称变换、平移变换、旋转变换，把问题转化为两点之间，线段最短问题来解决．下面先介绍一个重要的结论：
如图，在直线l的同侧有两个定点A，B，点P是直线l上的动点，试确定点P的位置，使PA＋PB的值最小．
【解】画点A关于直线l的对称点C，连结BC，交直线l于点P，则点P就是所求的点．这时PA＋PB＝PC＋PB＝BC为最小．
证明：在l上任取一点P1(异于点P)，连结P1A，P1B，P1C.
因为P1A＋P1B＝P1C＋P1B>BC(两点之间线段最短)，所以结论成立．
【例1】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1．若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是()
A．3B．4
C．5D．6
【解题过程】由正方形的对称性知点A关于直线BD的对称点为C，连接AC，CE，CE交BD于点P，如图．
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，AE＝1，
∴∠CBE＝90°，BE＝3，∴CE＝32＋42＝5.
∵AP＝PC，∴△PAE周长的最小值是AP＋PE＋AE＝CE＋AE＝5＋1＝6.
故选D.
【方法归纳】本题可转化为“在直线BD同侧有两个定点A，E，点P是直线BD上的动点，求PA＋PE的最小值”，利用上面的重要结论即可解决．
【例2】如图，∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为8cm，点M，N分别是射线OA，OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为________cm.
【解题过程】如图，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，分别交OA，OB于点M，N，连结OC，OD，PM，PN.
∵点P关于OA的对称点为点C，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA.
∵点P关于OB的对称点为点D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB.
∴OC＝OD＝OP＝8cm，
∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°.
∴△COD是等边三角形．∴CD＝OC＝OD＝8cm.
∴△PMN的周长的最小值为PM＋MN＋PN＝CM＋MN＋DN＝CD＝8(cm)．
故填8.
【方法归纳】本题主要考查轴对称——最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．【例3】求函数y＝x2＋4x＋5＋x2－4x＋8的最小值．
【解题过程】如图，设点A关于x轴的对称点为A′(－2，－1)，连结A′B，与x轴交于点P，点P就是使PA＋PB的值最小的位置，最小值为A′B的长度．为此，构造Rt△A′C B．因为A′C＝4，CB＝3，所以A′B＝32＋42＝5，即函数y＝x2＋4x＋5＋x2－4x＋8的最小值为5.
【例4】在平面直角坐标系中，将长方形OABC如图放置，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OA＝6，OC＝4，点D为OC的中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2．当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是()
A ．(12
，0)B ．(43，0)C ．(32，0)D ．(2，0)
【解题过程】如图，将线段FB 向左平移2个单位长度得到线段EB ′，此时B ′(4，4)，作点D 关于x 轴的对称点D ′(0，－2)，连结B ′D ′，与x 轴的交点为E ，此时四边形BDEF 的周长最小．
设直线B ′D ′的表达式为y ＝kx ＋b .
把点B ′(4，4)，D ′(0，－2)分别代入，4k ＋b ＝4，b ＝－2.k ＝32，b ＝－2.
∴直线B ′D ′的表达式为y ＝32
x －2.令y ＝0，得x ＝43
.∴点E 的坐标为(43
0)．故选B.
【方法归纳】要求周长的最小值，关键是要分析出确定边长和变化边长．本题的实质是用了两次变换：平移变换和轴对称变换．
二、运用基本不等式求最值
【例5】阅读与应用：我们知道(a－b)2≥0，即a2－2ab＋b2≥0，所以我们可以得到a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab)．
类比学习：若a和b为实数且a>0，b>0，则必有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．其证明如下：
∵(a－b)2＝a－2ab＋b≥0，∴a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，有a＋b＝2ab)．
例如：求y＝x＋1
x
(x>0)的最小值，则y＝x＋1
x≥2x·
1
x＝2，此时当且仅当x＝
1
x，即x
＝1时，y的最小值为2.
(1)阅读上面材料，当a＝________时，则代数式a＋4
a
(a>0)的最小值为________；
(2)求y＝m2＋2m＋17
m＋1
(m>－1)的最小值，并求出当y取得最小值时m的值；
(3)若0≤x≤4，求代数式x（8－2x）的最大值，并求出此时x的值．
【解题过程】(1)∵a＋4
a≥24＝4，
∴当a＝2时，代数式a＋4
a
(a>0)的最小值为4.
故填2，4.
(2)∵y＝m2＋2m＋17
m＋1＝（m＋1）2＋16
m＋1＝(m＋1)＋
16
m＋1，m>－1
∴y≥2（m＋1）·
16
m＋1＝8，
当且仅当m＋1＝
16
m＋1，即m＝3时，y的最小值为8.
∴当m＝3时，y取得最小值8.
(3)∵0≤x≤4，
∴x＋(4－x)≥2x（4－x），
∴x（4－x）≤2，
∴x（8－2x）＝2·x（4－x）≤22，
当且仅当x＝4－x，即x＝2时，x（8－2x）的最大值为22，
∴当x＝2时，x（8－2x）的最大值为2 2.
【方法归纳】不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：(1)a2＋b2≥2ab(当且
仅当a＝b时等号成立)；(2)若a>0，b>0，则a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)．
三、借用取值范围求最值
【例6】设a，b，c，d均为整数，b为正整数，且三条直线y＝(a＋b)x－c，y＝(b＋c)x －d，y＝(c＋d)x－a均与x轴相交于点(1，0)，则a＋b＋c＋d的最大值是() A．－1B．－5
C．0D．1
【解题过程】将点(1，0)分别代入三条直线，可得a＋b－c＝0，b＋c－d＝0，c＋d－a ＝0，
∴a＋b＝c，b＋c＝d，c＋d＝a.
解得a＝－3b，
∴a＋b＋c＋d＝a＋b＋a＝2a＋b＝－5b.
∵b为正整数，∴b≥1.
∴当b＝1时，a＋b＋c＋d取得最大值，为－5．故选B.
【方法归纳】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把a＋b＋c＋d的式子通过消元转化为关于b的关系式是解题的关键．
【例7】设x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，又x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，则x1＋x2＋x3的最大值是________．
【解题过程】∵x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7为自然数，且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，
∴x2≥x1＋1，
∴x3≥x2＋1≥x1＋2，
同理，x4≥x1＋3，x5≥x1＋4，x6≥x1＋5，x7≥x1＋6，
∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝159，
∴x1＋(x1＋1)＋(x1＋2)＋(x1＋3)＋(x1＋4)＋(x1＋5)＋(x1＋6)≤159，
解得x1≤195 7，
∴x1的最大值为19，
∴x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝140，
∴x2＋(x2＋1)＋(x2＋2)＋(x2＋3)＋(x2＋4)＋(x2＋5)≤140，
解得x≤205 6，
∴x2的最大值为20，
同理可得x3的最大值为22，
∴x 1＋x 2＋x 3的最大值是61.
【方法归纳】要使x 1＋x 2＋x 3最大，先用不等式的性质求出x 1的最大值，再用同样方法求出x 2、x 3的最大值．这里要用到这样一个技巧：若整数x 1，x 2满足x 1<x 2，则x 1＋1≤x 2.
四、枚举、排序与讨论相结合求最值
【例8】设x ，y 都是正整数，且使x －116＋x ＋100＝y ，则y 的最大值是________．
【解题过程】令x －116＝a ，x ＋100＝b ，a ，b 为正整数，
则x ＝a 2＋116，x ＝b 2－100.
∴a 2＋116＝b 2－100，即b 2－a 2＝216＝23×33.
分解因式，得(b ＋a )(b －a )＝23×33.
而b ＋a ，b －a 的奇偶性相同，右边是偶数，∴b ＋a ，b －a 同为偶数，且b ＋a >b －a .
＋a ＝22×33，
－a ＝2，＋a ＝2×33，
－a ＝22，＋a ＝22×32，
－a ＝2×3，＋a ＝2×32，
－a ＝22×3.
∴y ＝a ＋b 的最大值为22×33＝108.
【方法归纳】(1)对不易直接讨论的题型先作换元处理；(2)排序与讨论是求整数解的一种常用方法．
【例9】已知自然数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 1x 2x 3x 4x 5，求x 5的最大值．
【解题过程】由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝x 1x 2x 3x 4x 5，得
1＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5x 1x 2x 3x 4x 5
＝1x 2x 3x 4x 5＋1x 1x 3x 4x 5＋1x 1x 2x 4x 5＋1x 1x 2x 3x 5＋1x 1x 2x 3x 4≤1x 4x 5＋1x 4x 5＋1x 4x 5＋1x 5＋1x 4＝3x 4x 5＋1x 5＋1x 4＝3＋x 4＋x 5x 4x 5
.于是有x 4x 5≤3＋x 4＋x 5，x 5≤
3＋4x 4x 4－1＝1＋4x 4－1，所以当x 4＝2，x 1＝x 2＝x 3＝1时，x 5有最大值5.
【方法归纳】本题予放缩、变形、讨论为一体，具有较强的技巧性，如果不具备敏锐的思维和娴熟的技法是很难解答本题的．。