2020学年高中数学第二章单元质量测评(一)(含解析)新人教A版选修2-2(最新整理)

2019-2020学年高中数学第二章单元质量测评（一）（含解析）新人教A版选修2-2
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年高中数学第二章单元质量测评（一）（含解析）新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020学年高中数学第二章单元质量测评（一）（含解析）新人教A版选修2-2的全部内容。

第二章单元质量测评(一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题,共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，则在正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是（)
①各棱长相等，共顶点的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面的面积相等，任意相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面的面积相等，共顶点的任意两条棱的夹角都相等．
A．①B．①②
C．①②③D．③
答案C
解析由平面几何与立体几何的类比特点可知三条性质都是恰当的．
2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．"丙说：“我获奖了．"丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
答案C
解析假设甲获奖，则四人说的都是假话，与已知矛盾;假设乙获奖,则甲、乙、丁说的都是真话,与已知矛盾；假设丁获奖,则甲、丙、丁说的都是假话，与已知矛盾；从而排除A，B，D三项，故选C.
3．设f（x）(x∈R）为奇函数，f(1)＝错误!，f(x＋2）＝f（x）＋f(2），则f(5）等于( ）A．0 B．1 C.错误! D．5
答案C
解析∵f（x＋2)＝f（x)＋f(2）,
∴令x＝－1，则有f(1）＝f(－1)＋f（2)，
∴f(2）＝2f（1）．
又∵f(1）＝错误!,∴f(2)＝1，
∴f（5)＝f(3＋2)＝f（3)＋f(2）
＝2f（2)＋f（1）
＝2＋错误!＝错误!.
4．已知c＞1，a＝错误!－错误!,b＝错误!－错误!,则下面结论正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a，b大小不定
答案B
解析∵a＝错误!－错误!＝错误!，
b＝错误!－错误!＝错误!，
而c＋1＋c＞c＋错误!，
∴a＜b。

5．已知x1＞0，x1≠1且x n＋1＝错误!（n＝1，2,…），试证“数列｛x n}对任意正整数n都满足x n＜x n＋1,或者对任意正整数n都满足x n＞x n＋1”,当此题用反证法否定结论时，应为( ) A．对任意的正整数n，都有x n＝x n＋1
B．存在正整数n，使x n＝x n＋1
C．存在正整数n，使x n≥x n＋1且x n≤x n－1
D．存在正整数n，使(x n－x n－1）(x n－x n＋1)≥0
答案D
解析命题的结论是“数列{x n}是递增数列或是递减数列”，其反设是“数列{x n}既不是递增数列，也不是递减数列"，即“存在正整数n,使(x n－x n－1)（x n－x n＋1)≥0”．故应选D。

6．如果p(n）对n＝k（k∈N*）成立，则它对n＝k＋2也成立．已知p（n）对n＝2成立，则下列结论正确的是（)
A．p（n）对所有正整数n都成立
B．p（n)对所有正偶数n都成立
C．p(n）对大于或等于2的正整数n都成立
D．p（n）对所有自然数n都成立
答案B
解析∵p(n）对n＝2成立，2为偶数，∴根据题意知p（n)对所有正偶数n都成立．故选B。

7．将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆列：
根据以上规律判定,从2016到2018的箭头方向是( )
答案A
解析从所给的图形中观察得到规律:每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说，0→1，
箭头垂直指下，4→5,箭头也是垂直指下，8→9也是如此，而2016＝4×504,所以2016→2017也是箭头垂直指下，之后2017→2018的箭头是水平向右，故选A。

8．已知实数a，b,c满足a＋b＋c＝0，abc〉0，则1
a
＋错误!＋错误!的值( ）
A．一定是正数B．一定是负数
C．可能是零D．正、负不能确定
答案B
解析∵(a＋b＋c）2＝0,
∴ab＋bc＋ac＝－错误!（a2＋b2＋c2）〈0.
又abc〉0，∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!<0。

9．若错误!＝错误!＝错误!,则△ABC是( ) A．等边三角形
B．有一个内角为30°的直角三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个角为30°的等腰三角形
答案C
解析∵sin A
a
＝错误!＝错误!,
由正弦定理，得错误!＝错误!＝错误!,
∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

∴sin B＝cos B，sin C＝cos C.
∴∠B＝∠C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
10．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处,使之呈现一定的规律性，应为( ）
答案A
解析每一行三个图形的变化规律:第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.
11．已知数列{a n}的前n项和S n，且a1＝1,S n＝n2a n（n∈N*)，可归纳猜想出S n的表达式为（）
A．S n＝错误!B．S n＝错误!
C．S n＝错误!D．S n＝错误!
答案A
解析由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，
∴a2＝错误!,S2＝错误!；又1＋错误!＋a3＝32a3，
∴a3＝错误!，S3＝错误!＝错误!;
又1＋错误!＋错误!＋a4＝16a4,
得a4＝错误!，S4＝错误!。

由S1＝错误!,S2＝错误!，S3＝错误!，
S
4
＝错误!可以猜想S n＝错误!.
12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f（1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2）种走法，……则他从平地上到第n（n≥3)级台阶时的走法f（n）等于( ）
A．f(n－1）＋1 B．f(n－2）＋2
C．f（n－2）＋1 D．f（n－1）＋f（n－2)
答案D
解析到第n级台阶可分两类：从第n－2级一步到第n级有f(n－2)种走法,从第n－1级到第n级有f(n－1)种走法，共有f(n－1)＋f(n－2）种走法．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，那么a n＋b n与c n(其中n∈N*,且n＞2）的大小关系是________．
答案a n＋b n＜c n
解析∵0＜a
c
＜1，0＜错误!＜1，
当n＞2时错误!n＜错误!2，错误!n＜错误!2
∴a n＋b n
c n
＜错误!2＋错误!2＝1
∴a n＋b n＜c n.
14．在等差数列｛a n｝中，若公差为d，且a1＝d，那么有a m＋a n＝a m＋n，类比上述性质，写出在等比数列{a n｝中类似的性质：________。

答案在等比数列｛a n｝中，若公比为q,且a1＝q,则a m·a n＝a m＋n
解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列｛a n}中，若公比为q，且a1＝q,则a m·a n＝a m＋n."
15．观察分析下表中的数据:
答案F＋V－E＝2
解析观察F,V，E的变化得F＋V－E＝2.
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n（n∈N*），其中x k(k＝1，2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0）．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
错误!
其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0。

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
答案5
解析因为x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0,所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的,所以k＝5.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．(本小题满分10分）已知n≥0，试用分析法证明：错误!－错误!＜错误!－错误!.
证明要证错误!－错误!＜错误!－错误!成立,
需证明错误!＋错误!＜2错误!。

只需证明(错误!＋错误!)2＜(2错误!）2，
只需证明n＋1＞n2＋2n，
只需证明（n＋1)2＞n2＋2n，
只需证明n2＋2n＋1＞n2＋2n，
只需证明1＞0。

因为1＞0显然成立，所以原命题成立．
18．（本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＝2－S n(n∈N*）．
（1）求a1，a2，a3，a4的值并写出数列｛a n｝的通项公式;
(2)用三段论证明数列{a n｝是等比数列．
解(1)由a n＝2－S n，
得a1＝1，a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝错误!.
猜想a n＝错误!n－1（n∈N＊）．
(2)证明：对于数列{a n｝，若错误!＝p,p是非零常数，则{a n}是等比数列．大前提
因为a n＝错误!n－1，n∈N*，且错误!＝错误!，小前提
所以通项公式为a n＝错误!n－1的数列｛a n}是等比数列．结论
19．（本小题满分12分)先解答（1）,再通过结构类比解答(2)：
(1)求证：tan错误!＝错误!；
（2）设x∈R，a为非零常数，且f(x＋a）＝错误!，试问：f(x）是周期函数吗？证明你的结论．
解(1)证明:根据两角和的正切公式得tan错误!x＋错误!错误!＝错误!＝错误!＝错误!，即tan错误!＝错误!，命题得证．
（2）猜想f(x)是以4a为周期的周期函数．
因为f(x＋2a）＝f［(x＋a）＋a］＝错误!＝错误!＝－错误!，
所以f(x＋4a)＝f［（x＋2a）＋2a］＝－错误!＝f（x)．
所以f(x）是以4a为周期的周期函数．
20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中,D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1。

求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F。

证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC。

在△ABC中,因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1。

又DE⊄平面A1C1F,A1C1⊂平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F。

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1。

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1。

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1,
所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
21．(本小题满分12分）设数列｛a n｝的前n项和为S n，且对任意n∈N＊都有：（S n－1)2＝a n S n。

(1）求S1，S2，S3；
（2）猜想S n的表达式并证明．
解（1）（S n－1）2＝（S n－S n－1)S n，所以S n＝错误!。

又（S1－1)2＝S错误!，所以S1＝错误!，S
2
＝错误!，S3＝错误!。

（2)猜想S n＝错误!.下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，S1＝错误!,错误!＝错误!，猜想正确；
②假设当n＝k时，猜想正确，
即S k＝错误!，
那么，当n＝k＋1时，由S k＋1＝错误!＝错误!＝错误!，猜想也成立．
综上可知，S n＝错误!对任意n∈N＊均成立．
22．(本小题满分12分)已知a，b，c∈（0,1）,求证:（1－a)b,（1－b)c，(1－c）a不能都大于错误!.
证明假设(1－a)b，(1－b）c，(1－c)a都大于1 4 .
因为a,b，c∈（0，1），
所以1－a＞0，1－b＞0,1－c＞0。

所以1－a＋b
2
≥错误!＞错误!＝错误!。

同理错误!＞错误!,错误!＞错误!.
三式相加得
错误!＋错误!＋错误!＞错误!，即错误!＞错误!,矛盾．
所以（1－a）b，(1－b）c，(1－c）a不能都大于错误!.。