高二数学下学期期中试题理含解析_6

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景东彝族自治县第一中学2021-2021学年高二数学下学期期中试题
理〔含解析〕
一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题意要求的.
1.假设集合{|2}M x x =<,{|01}N x x =≤≤,那么M N =〔 〕
A. [0,1]
B. [0,2]
C. [1,2)
D.
(,2]-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
直接根据集合的交集的定义进展运算,可得答案. 【详解】因为{|2}M x x =<,{|01}N x x =≤≤, 所以M N ={|01}x x ≤≤.
应选:A.
【点睛】此题考察了集合的交集运算,属于根底题.
2.复数
232i
i
--等于〔 〕 A.
4755i - B.
7455
i - C.
7455
i + D.
4755
i + 【答案】B
【解析】 【分析】
根据复数的除法运算法那么可得答案.
【详解】
232i i
--(23)(2)(2)(2)i i i i -+==-+745i -74
55i =-. 应选:B.
【点睛】此题考察了复数的除法运算法那么,属于根底题.
3.2,3a b ==,()1a b a ⋅-=-,那么向量a 与b 的夹角是〔 〕 A.
6
π
B.
4
π C.
3
π D.
2
π 【答案】A 【解析】 【分析】
化简整理()1a b a ⋅-=-求出3a b ⋅=,再根据夹角公式求解即可. 【详解】解:因为()1a b a ⋅-=-, 所以1a b a a ⋅-⋅=-,
又2,3a b ==,所以4a a ⋅= 所以3a b ⋅=
结合向量的夹角公式有:cos ,32a b a b a b
⋅=
=
=⨯, 据此可得:向量a 与b 的夹角为6
π. 应选:A
【点睛】考察向量的运算以及用夹角公式求向量的夹角;根底题.
4.函数()()2
10x
f x e ex x =-++≥,那么函数()f x 在1x =处的切线方程为〔 〕
A. 10ex y e -+-=
B. 0x y +=
C. 0x y -=
D. 10ex y e ++-=
【答案】A 【解析】 【分析】
求得函数()y f x =的导数()f x ',求出()1f 和()1f '的值,利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】
()()210x f x e ex x =-++≥,()2x f x ex e '∴=-,那么()11f =,()1f e '=,
因此,函数()y f x =在1x =处的切线方程为()11y e x -=-,即10ex y e -+-=. 应选:A.
【点睛】此题考察利用导数求解函数的切线方程,考察计算才能,属于根底题. 5.按如下图的程序框图运算,假设输入200x =,那么输出k 的值是〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C 【解析】 【分析】
依次列出每次循环的结果即可.
【详解】依题意,执行题中的程序框图,
当输入200x =时,进展第一次循环,401x =,1k =,不满足2012x > 进展第二次循环,803x =,2k =,不满足2012x > 进展第三次循环,1607x =,3k =,不满足2012x >
进展第四次循环,3215x =,4k =,满足2012x >,完毕循环,输出4k = 应选:C
【点睛】此题考察的是程序框图的循环构造,较简单.
6.设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,假设(1)P p ξ>=,那么(10)P ξ-<<=〔 〕 A.
1
2
p + B. 1p -
C.
1
2
p - D. 12p -
【答案】C 【解析】
随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ,(1)(1)P P p ξξ∴-==.
11
(10)[12(1)]22
P P p ξξ-<=-=-
7.在(
6
1+的展开式中,x 的系数等于〔 〕
A. 6
B. 10
C. 15
D. 20
【答案】D 【解析】 【分析】
写出二项展开式的通项,令x 的指数为1,求出参数的值,代入通项即可得解.
【详解】(
6
1+
的展开式通项为316
6
r
r
r
r r T C C x
+=⋅
=⋅,令
13
r
=,得3r =.
因此,在(
6
1+的展开式中,x 的系数等于3
620C =.
应选:D.
【点睛】此题考察二项式中指定项的系数的求解,考察二项展开式通项的应用,考察计算才能,属于根底题. 8.
1
1
(1sin )x dx --⎰
的值是〔 〕
A. 22cos1+
B. 22cos1-
C. 2
D. 0
【答案】C 【解析】 【分析】
根据微积分根本定理,直接计算,即可得到结果.
【详解】()
()()1
11
1
(1sin )cos 1cos11cos12x dx x x ---=+=+--+=⎰
.
应选:C.
【点睛】此题主要考察求定积分,熟记微积分根本定理即可,属于根底题型.
2名老师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会理论活动,
每个小组由1名老师和2名学生组成,不同的安排方案一共有〔 〕 A. 12种 B. 10种 C. 9种 D. 8种
【答案】A 【解析】
试题分析:第一步,为甲地选一名老师,有1
2
2C =种选法;第二步,为甲地选两个学生,有246C =种选法;第三步,为乙地选1名老师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案一共有26112⨯⨯=种,应选A . 考点:排列组合的应用.
10.函数22
()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-的图象向左平移
8
π
个单位后得到函数()y g x =的图象,以下关于函数()g x 的判断正确的选项是〔 〕
A. 点3,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
为函数()g x 图象的一个对称中心 B. 16
x π
=
为函数()g x 图象的一条对称轴
C. 函数()g x 在区间30,
16π⎛

⎪⎝⎭
上单调递减 D. 函数()g x 在区间,08π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简()f x ,然后根据图象变换求出()g x 的解析式,结合解析式逐项判断. 【



222()(sin 2cos 2)2sin 21sin 42sin 2f x x x x x x
=+-=+-
cos 4sin 4)4
x x x π
=+=+,
()3
)])844
g x x x πππ
=++=+;
因为316x =
π时,33()162g ππ==3,016π⎛⎫
⎪⎝⎭
不是函数()g x 图象的一个对称中心,所以A 错误;
因为16
x π
=
时,(
)016
g π
π==,显然16
x π
=
不是函数()g x 图象的一条对称轴,所
以B 错误;
因为30,
16x π⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时,3334,442x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而333,,4222ππππ⎛⎫⎛⎫
⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,所以C 正确;
因为,08x π⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭时,334,444x πππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭,而3,244πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
,所以D 错误; 应选:C
【点睛】此题主要考察三角函数的图象及性质,把函数解析式化简为最简形式是求解这类问题的通法,侧重考察数学运算的核心素养.
11.定义域为R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期为3的周期函数,当30,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时,()sin f x x π=,那么函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是〔 〕
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
【答案】D 【解析】 【分析】 根据当30,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时,()sin f x x π=,令()0f x =,求得根,再结合奇函数,求出一个周期33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的零点,然后根据周期性得到区间[0,6]上的零点即可. 【详解】因为当30,2x ⎛

∈ ⎪⎝⎭
时,()sin f x x π=, 令()0f x =, 解得1x =,
又因为()f x 是以3为周期的周期函数, 所以 (3)()f x f x +=, 有 33
()()22
f f -= ,
又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 所以333()()()222
f f f -==-, 所以3()02
f =, 所以在区间 33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上有 33(1)(1)()()022f f f f -==-== ,且(0)0f =,
因为()f x 是以3为周期的周期函数,
所以方程()0f x =在区间[0,6]上的零点是:0,1,
3
2,2,3,4,92
,5,6,一共9个, 应选:D
【点睛】此题主要考察函数的周期性和奇偶性的综合应用,还考察了逻辑推理的才能,属于中档题.
12.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点12,F F ,c 是半焦距,P 是双曲线上异于实
轴端点的点,满足1221tan tan c PF F a PF F ∠=∠,那么双曲线的离心率e 的取值范围是〔 〕
A. (1++
B. (1)++∞
C. +
D.
(1,12)
【答案】B 【解析】 【分析】
根据1221tan tan c PF F a PF F ∠=∠,得到21
12
tan tan PF F c e a PF F ∠=
=∠,设()P m n ,,由()()12,0,,0F c F c -,利用直线的斜率公式得到2112tan 21tan PF F c
e PF F m c
∠=
=--∠-,结合m a >,
解不等式即可.
【详解】因为1221tan tan c PF F a PF F ∠=∠, 所以2112
tan tan PF F c e a PF F ∠=
=∠, 设()P m n ,,()()12,0,,0F c F c -, 所以2112tan ++21tan PF F n m c m c c
e PF F m c n m c m c
∠=
=-⋅=-=--∠---,
因为m a >,
所以2221111c c e
m c a c e ---
>-+=-+---, 所以211
e
e e +>-,
即2210e e -->,
解得1e >应选:B
【点睛】此题主要考察双曲线的离心率的取值范围以及斜率公式,还考察了化简运算求解的才能,属于中档题.
二、填空题:本大题一一共4小题,每一小题5分,一共20分.
13.设变量,x y 满足约束条件0
01x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
,那么目的函数3z x y =+的最大值为_______.
【答案】4 【解析】 【分析】
作出可行域,平移目的函数11
33
y x z =-+,其截距最大时,3z x y =+有最大值.
【详解】解:作出可行域如图:
由01
x y y -=⎧⎨=⎩ 解得11A (,)
,由3z x y =+得1133y x z =-+, 平移直线1
3
y x =-,结合图像知,直线过点A 时,max 4z =, 故答案为:4.
【点睛】考察线性规划中求目的函数的最大值,其关键是平移目的函数,结合图像即可求解;根底题.
14.假设一个底面是正方形的直四棱柱的正〔主〕视图和侧视图如下列图所示,其顶点都在一个球面上,那么该球的体积是_______.
55
【解析】 【分析】
由的正视图,我们可得该四棱柱的底面棱长和高,进而求出底面外接圆半径r 及球半径R ,最后根据球的体积公式求出球的体积.
【详解】解:由底面是正方形的直四棱柱的正视图和侧视图, 2,高为1.
∴球半径()2
2
2222
2
15R =
++=,所以5R =
∴该球的体积3
34433R V ππ==⋅⎭

故答案为:
6
. 【点睛】此题考察多面体的外接球,球的体积的计算,考察运算求解才能与转化思想.属于中档题.
15.角θ的顶点为坐标原点,始边与x 轴正半轴重合且终边过两直线12:l y x =与
2:30l x y +-=的交点P ,那么sin 2θ=________.
【答案】
45
【解析】 【分析】
由直线方程得出点P 的坐标,再由三角函数的定义以及倍角公式,即可得出答案.
【详解】由320
y x x
y +=-=⎧⎨
⎩,得出(1,2)P
由三角函数的定义可知,
sin θ=
=
,cos θ== 那么4
sin 22sin cos 2
5
θθθ=== 故答案为:
4
5
【点睛】此题主要考察了三角函数的定义以及倍角公式,属于中档题.
16.13.某小学为理解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图〔如图〕,根据频率分布直方图估计这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是_____.
【答案】600 【解析】 【分析】
首先计算成绩小于60 的三个小矩形的面积之和,即成绩小于60 的学生的频率,再乘以3000即可.
【详解】解:由频率分布直方图成绩小于60 的学生的频率为10〔〕=, 所以成绩小于60分的学生数是3000×0.2=600 故答案为600
【点睛】此题考察频率分布直方图和由频率分布直方图估计总体的分布,考察识图才能.
三、解答题:本大题一一共6小题,一共70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.
〔Ⅰ〕求数列{b n }的通项公式;
〔Ⅱ〕数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列{S n +}是等比数列.
【答案】〔Ⅰ〕1
5
·
24
n n b -=〔Ⅱ〕详见解析
【解析】
〔I 〕利用成等差数列的三个正数的和等于15可设三个数分别为5-d ,5,5+d ,代入等比数列中可求d ,进一步可求数列{bn}的通项公式;〔II 〕根据〔I 〕及等比数列的前 n 项和公式
可求n S ,要证数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列⇔
15
4054
n n S q S ++
=≠+即可 【详解】〔I 〕设成等差数列的三个正数分别为a ﹣d ,a ,a+d 依题意,得a ﹣d+a+a+d=15,解得a=5 所以{b n }中的依次为7﹣d ,10,18+d
依题意,有〔7﹣d 〕〔18+d 〕=100,解得d=2或者d=﹣13〔舍去〕 故{b n }的第3项为5,公比为2 由b 3=b 1•22,即5=4b 1,解得
所以{b n }是以首项,2为公比的等比数列,通项公式为
〔II 〕数列{b n }的前和
即,所以,
因此{}是以为首项,公比为2的等比数列
18.在ABC ∆中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且2cos()4sin sin 1B C B C -=⋅-. 〔1〕求A ; 〔2〕假设1
3,sin
23
B a ==,求b . 【答案】〔1〕
3π;〔2〕86
b =
【分析】
(1)由利用两角和的余弦公式展开整理,1
cos()2
B C +=-
.可求B C +,进而可求A ;(2)由1sin
23B =,可
求cos 23
B =,代入sin 2sin cos 22B B B =可求B ,然后由正弦定理
sin sin b a
B A
=,可求b . 【详解】(1)由2cos()4sin sin 1B C B C -=- 得,
2(cos cos sin sin )4sin sin 1B C B C B C +-=-
,即2(cos cos sin sin )1B C B C -=-. 从而2cos()1B C +=-, 得1cos()2
B C +=-
, 0B C π<+<,
23B C π
∴+=
,故3
A π= (2)由题意可得203
B π
<<
, 023
B π∴<
<, 由1sin
23B =,
得cos 23
B =
, sin 2sin
cos 22B B B ∴==

由正弦定理可得,sin sin 9b a B A ==
解得9
b =
. 【点睛】此题主要考察正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的
有力工具,其常见用法有以下三种:〔1〕知道两边和一边的对角,求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕;〔2〕知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;〔3〕证明化简过程中边角互化;〔4〕求三角形外接圆半径.
19.矩形ABCD ,PA ⊥面ABCD ,,M N 分别是,AB PC 的中点,设6AB =,
C 4PA B ==.
〔1〕证明:MN AB ⊥;
〔2〕求二面角P CD A --的大小. 【答案】〔1〕见解析;〔2〕45. 【解析】 【分析】
解法一〔1〕接AC ,BD 交于点O ,连NO ,MO ,可得AB MO ⊥,NO AB ⊥,可得
AB ⊥面MNO ,从而可证明结论.
〔2〕根据条件,PA ⊥面ABCD ,那么PA CD ⊥,又ABCD 是矩形,那么AD CD ⊥,可得CD ⊥面APD ,所以PD CD ⊥,所以PDA ∠就是二面角P CD A --的平面角,再根据
C 4PA B ==,可求得答案.
解法二,建系〔1〕利用空间向量数量积计算证明,〔2〕先求两平面法向量,再根据法向量夹角与二面角关系得结果.
【详解】〔1〕如图连接AC ,BD 交于点O ,
因为ABCD 是矩形,所以O 是AC 与BD 的中点,再连NO ,MO . 因为,M N 分别是,AB PC 的中点, 所以//,//ON PA MO BC , 所以AB MO ⊥.
又因为PA ⊥面ABCD ,所以NO ⊥面ABCD ,
NO AB ⊥.
又因为MO ⊂面MNO ,NO ⊂面MNO ,所以AB ⊥面MNO , 而MN ⊂面MNO ,所以AB MN ⊥. 〔2〕因为PA ⊥面ABCD ,那么PA CD ⊥
ABCD 是矩形,那么AD CD ⊥,又AD
AP A =
所以CD ⊥面APD ,所以PD CD ⊥
所以PDA ∠就是二面角P CD A --的平面角, 因为4PA
BC
且PA AD ⊥所以45PDA ∠=,
故二面角P CD A --的平面角为45. 解法二:
〔1〕证明:如图,以A 为原点,分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立平面直角坐标系,
那么(0,0,0)A ,(6,0,0)B ,(6,4,0)C ,(0,4,0)D ,
(3,0,0)M ,(3,2,2)N ,(0,0,4)P , (6,0,0)AB =,(0,2,2)MN =,
0AB MN AB MN ⋅=⇒⊥.
〔2〕由〔1〕知(6,4,0)AC =,(0,4,0)AD =,
(6,4,4)PC =-,(0,4,4)PD =-,
可知平面ACD 的法向量为(0,0,1)m =, 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =,
那么00PC n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
6440
440x y z y z +-=⎧⇒⎨
-=⎩, 解得(0,1,1)m =.
设二面角P CD A --的平面角为θ,
那么2
cos 2
m n m n
θ⋅=
=
⋅, 故二面角P CD A --的平面角为45.
【点睛】此题考察证明线线垂直和求二面角的大小,垂直的证明可以用向量法来处理,二面角的求法常用定义法和向量法,属于根底题.
20.张先生家住H 小区,他在C 科技园区工作,从家开车到公司上班有1L ,2L 两条道路〔如图〕, 1L 道路上有1A ,2A ,3A 三个路口,各路口遇到红灯的均为1
2
;2L 上有1B ,2B 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为
34,35

〔1〕假设走1L 道路,求最多遇到1次红灯的概率; 〔2〕假设走2L 道路,求他遇到红灯的次数X 的数学期望 【答案】〔1〕1
2;〔2〕2720
EX =. 【解析】 【分析】
〔1〕根据题意,设走1L 道路最多遇到1次红灯为事件A ,利用排列组合知识能求出; 〔2〕根据题意,X 的可能取值为0,1,2,再分别求出其概率,由此能求出随机变量X 的分布列和数学期望.
【详解】〔1〕设走1L 道路最多遇到1次红灯为事件A ,那么
()32
1
3
311112222P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭.
〔2〕依题意,X 的可能取值为0,1,2,那么()3310114510P X ⎛
⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
()33339111454520P X ⎛⎫⎛⎫==
⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()33924520
P X ==⨯=. 随机变量X 的分布列为:
X 0 1 2
P
110 920 920
19927
01210202020
EX =
⨯+⨯+⨯=. 【点睛】此题考察离散型随机变量的分布列和数学期望,是历年高考的必考题型.解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用.
21.椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点()2,0A ,离心率为32
,O 为坐标原点.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程;
〔Ⅱ〕P 〔异于点A 〕为椭圆C 上一个动点,过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ,

DE AP
的取值范围.
【答案】〔Ⅰ〕2
214
x y +=;
〔Ⅱ〕 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】
〔1〕由椭圆右顶点求出a ,由离心率求出c ,再由222b a c =-求出b ,从而求出椭圆方程;〔2〕先考虑AP 斜率不存在,再考虑斜率存在时,设出AP 方程,联立椭圆方程,解出点P
坐标,然后求出AP 长度,同理求出DE 长度,从而求出
DE AP
比值,用换元法结合单调性求
出其范围.
【详解】解:〔Ⅰ〕因为()2,0A 是椭圆C 的右顶点,所以2a =.

c a =
c =所以222431b a c =-=-=.
所以椭圆C 的方程为2214
x y +=
〔Ⅱ〕当直线AP 的斜率为0时,4AP =,DE 为椭圆C 的短轴, 那么2DE =,所以
12
DE AP
=
. 当直线AP 的斜率不为0时,
设直线AP 的方程为()2y k x =-,()00,P x y , 那么直线DE 的方程为1
y x k
=-
. 由()22
2,14
y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 得(
)2
2
22
14161640k x
k x k +-+-=.
所以202
162.41k x k +=+ 所以202
82
.41
k x k -=+ 所以
AP =
=
=
.. 同理可求DE =
所以 设24,t k =+那么224k t =-,2t >.
()22441
415(2).t DE
t t AP t t
-+-==> 令()2415(2)t g t t t
-=>, 那么()22
415'0t g t t +=>. 所以()g t 是一个增函数. 所以24154415122
DE t AP t -⨯-=>=. 综上:DE AP 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 【点睛】此题考察了椭圆的离心率与HY 方程,直线与椭圆的位置关心,弦长公式与最值,属于中档题.
22.函数1()ln (0,)f x a x a a R x
=+≠∈. 〔1〕假设1a =,求函数()f x 的极值和单调区间;
〔2〕假设在区间(]0,e 上至少存在一点0x ,使得()00f x <成立,务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕()f x 获得极小值为1,()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1); 〔2〕a ∈()1,,e e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪
⎝⎭.
【解析】
【分析】
〔1〕求函数()1ln f x x x
=+的导数,令导数等于零,解方程,再求出函数()f x 的导数和驻点,然后列表讨论,求函数()f x 的单调区间和极值;
〔2〕假设在区间(]0,e 上存在一点0x ,使得()00f x <成立,其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可.利用导数研究函数在区间(]0,e 上的最小值,先求出导函数()f x ',然后讨论研究函数在(]0,e 上的单调性,将()f x 的极值点与区间(]0,e 的端点比拟,确定其最小的极值点. 【详解】解:1()ln (0,)f x a x a a R x
=
+≠∈的定义域为(0,)+∞, 因为()'22
11a ax f x x x x -=-+=, 〔1〕当1a =时,()'21x f x x -=,令'0f x ,得1x =, 又()f x 的定义域为()0,∞+,
()'f x ,()f x 随x 的变化情况如下表:
所以1x =时,()f x 获得极小值为1.
()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,单调递减区间为(0,1).
〔2〕因为()'2211a ax f
x x x x -=-
+=,且0a ≠. 令'0f x ,得1x a =, 假设在区间(]0,e 上存在一点0x ,使得()00f x <成立,
其充要条件是()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0即可.
()i 当10x a
=<,即0a <时,()'0f x <对()0,x ∈+∞成立, 所以,()f x 在区间(]0,e 上单调递减,
故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e
=+=+, 由10a e +<,得1a e <-,即1,a e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭. ()ii 当10x a
=>,即0a >时, 假设1e a
≤,那么()'0f x ≤对(]0,x e ∈成立, 所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减,
所以,()f x 在区间(]0,e 上的最小值为
()11ln 0f e a e a e e
=+=+>, 显然,()f x 在区间(]0,e 上的最小值小于0不成立. 假设10e a
<<,即1a e >时,那么有
所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. 由()11ln 1ln 0f a a a a a a ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭
, 得1ln 0a -<,解得a e >,即(),a e ∈+∞.
综上,由()i ()ii 可知a ∈()1,,e e ⎛
⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭符合题意.
【点睛】此题考察利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题.在利用导函数来研究函数的极值时,分三步①求导函数,②求导函数为0的根,③判断根左右两侧的符号,假设左正右负,原函数取极大值;假设左负右正,原函数取极小值,表达了转化的思想和分类讨论的思想,同时考察学生的分析问题解决问题及计算才能;较难.。

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