基于粗糙集与四分位法的多元质量特性过程能力指数

基于粗糙集与四分位法的多元质量特性过程能力指数
周驰;邓富民
【摘要】多元质量特性过程能力指数的求解问题一直未得到很好的解决.本文简述了当前的研究现状,并利用粗糙集与四分位法,给出了计算多元质量特性过程能力指数的一种新方法,实例证明该方法是有效可行的.%The multivariate process capability indices (MPCI) are widely applied in product quality analysis. However, there is no efficient method for solving such a problem. By combining rough set and quartile method, a novel approach is proposed to solve this problem in this paper. A case study is presented and the results demonstrate the effectiveness of the proposed approach.
【期刊名称】《工业工程》
【年(卷),期】2011(014)004
【总页数】4页(P78-81)
【关键词】多元过程能力指数;粗糙集;四分位法
【作者】周驰;邓富民
【作者单位】四川大学工商管理学院,四川成都610064;四川大学工商管理学院,四川成都610064
【正文语种】中文
【中图分类】F406.2
多元质量特性的过程能力指数(MPCI)的研究一直是过程控制技术研究的热点与难点，当前主要有通过过程产出的不合格品率、基于单元过程能力指数的概念推广、基于质量损失函数和通过各种综合评价技术来研究多元过程能力指数［1］。

其中关于评价技术，主要有通过层次分析法［2］、主成分分析［3］、差异系数［4］、因子分析法［5］、贝叶斯分析［6］等。

但是层次分析法决定权重受个人主观影
响大，主成分分析法中主成分的含义无法解释，因子分析中的主因子也无法给予清晰的统计意义，利用差异系数决定权重是否具有全面性以及利用贝叶斯分析的计算过于复杂不利于实际运用等问题一直未得到有效解决。

本文提出基于粗糙集与四分位法的多元质量特性过程能力指数的研究方法。

该方法充分利用了粗糙集的三大优点:可以对属性指标进行约简以减少冗余信息，使问题
更有针对性;基于数据求权重更加具有客观性;指标没有进行旋转与组合，因此统计
意义清晰易于解释。

最终求得更具实际意义的多元过程能力指数。

该方法充分考虑不同质量特性的控制目标不一致性，根据权重利用四分位法对各个质量特性进行分类，分别确定不同的控制目标，并通过线性组合求得综合控制目标，即目标过程能力指数。

通过多元过程能力指数与目标过程能力指数的对比，准确评价该产品质量特性的整体过程控制能力。

1 研究方法
1.1 多元过程能力指数的含义
由单元过程能力指数的定义［7］，多元过程能力指数(MPCI)是衡量生产过程中的多个产品质量特性适合规格和接近目标值的综合能力。

常用的表示方法有3类［1］，分别用公式表示为:
其中，ai为每个质量特性的相对重要性;、为不同质量特性的单元过程能力指数的
不同表示方式，其具体意义与算法参见文献［1］。

由公式可得，求多元能力指数，最重要的是求出各质量特性的单元过程能力指数以及权重值，单元过程能力指数的求解方法已比较成熟，不再详述。

因此主要是探讨利用粗糙集进行质量特性指标约简与权重计算。

1.2 粗糙集的利用
粗糙集理论是波兰科学家Pawlak在1982年提出的一种新的处理模糊和不确定性知识的数学工具。

粗糙集理论主要优点在于:1)仅依赖于原始数据，而不要任何外
部信息;2)不仅适用于分析质量而且适用于分析数量属性;3)约简冗余的属性，并且
约简算法较为简单，由RS模型导出的决策规则集给出了最小的知识表示;4)不修正不一致性，将生成的不一致规则划分为确定性规则和可能性规则;5)由RS方法导出的结果易于理解［8］。

关于粗糙集的基本概念与理论请参考文献［9］。

理论粗
糙集进行指标的约简与权重计算的步骤如下。

1)确定评价对象的因素论域。

设X为对象集即考察的全体对象的集合，记为
X=(x1，x2，…，xn);设C 为对象集的属性集，记为 C=(A1，A2，…，Am)，设
xij为第i个对象的第j指标属性值。

2)如果数据量纲不同，对数据进行标准化。

如果数据为连续值，利用等距离法对数据进行离散化。

3)指标(属性)约简。

求出C的等价类U/C以及减少任意一个属性的等价类U/(C－Ai)，i=1，2，…，m，求出C对于本身的正域POSCC以及C对于(C －Ai)的正
域 POSC－AiC，若 POSCC=POSC－AiC，则表明Ai是非核属性;反之，则为核
属性。

所有的核属性构成核属性集Ch，如果POSChC=POSCC，则Ch为最小约简。

反之，在Ch的基础上逐一增加非核属性构成新的属性集Cp，如果POSCpC=POSCC，则最小约简即为Cp，也即优化的指标体系。

4)求出指标的重要度及权重。

根据粗糙集理论中关于不可分辨关系和属性的重要性
表述，属性的重要程度可用以下公式表示:
其中，表示集合中包含的元素个数。

根据公式
求出权重，p表示约简后的指标数。

5)当求得ai后，根据公式(1)～(3)分别求出多元过程能力指数。

1.3 确定多元目标过程能力指数及目标区间
传统的单元过程能力指数中，通常采用1.33来表示目标值。

但是随着对指数的要求越来越高，并且由于质量特性重要程度的不同，其目标值也应该不同。

因此需要对质量特性按重要性进行分类，利用四分位法具体分为:A类为关键质量特性;B类为重要质量特性，C类为一般质量特性。

每一类的过程能力指数等级评定如表1所示［10］。

表1 过程能力指数等级评定分类＞2 1.67 ～2 1.33 ～1.671 ～1.33 0.67 ～1 ＜0.67 A 能力富余理想状态低风险中等风险高风险极高风险B 能力过剩能力富余理想状态低风险中等风险高风险C 极度过剩能力过剩能力富余理想状态低风险中等风险
每一类的目标过程能力指数为目标区间(理想状态区间)的中间值，即A、B、C类的目标过程能力指数分别为(1.67+2)/2=1.835、(1.67+1.33)/2=1.5和
(1.33+1)/2=1.165。

在具体划分ABC类型的时候，利用统计学中的四分位法［11］，即按照粗糙集中求得的各质量特性的权重ai由大到小进行排序，然后定出中位数点和上下四分位点。

位于最大点与下四分位点之间的定为A类，位于上四分位点和下四分位点之间的为B类，其余的为C类。

具体如图1所示。

图1 四分位法分级图
产品的多元质量特性目标过程能力指数=A类质量特性权重之和×1.835+B类质量
特性权重之和×1.5+C类质量特性权重之和×1.165，目标(理想)区间为以目标指数为中点的，长度为0.33的区间段。

且以目标区间为中心，向左右两边每隔0.33的距离，为一个状态区间，且距离目标区间越远，其状态偏离程度越大，具体的状态分类如表2。

表2 状态区间分类(a－0.6，a－0.3)(a－0.3，a)(a，b)(b，b+0.3)(b+0.3，
b+0.6)(b+0.6，b+0.9)能力过剩能力富余理想状态低风险中等风险高风险
通过对比多元过程能力指数和表2，可以得出整体的综合过程控制的能力。

2 实证分析
2.1 求各质量特性单元过程能力指数
以某机械类产品为例，其关注的质量特性是产品的高度(H)、上截面直径(D1)、下
截面直径(D2)、质量(m)。

这4个质量特性的规格分别为
(125±1.5)mm;(50±1)mm;(50±1)mm;(295±5)g，设计目标T=［125，50，50，295］。

对 30 个样本观测值进行统计分析，得到样本均值=125.14，
=50.04=49.91，=295.98，对应的方差分别为0.30、0.09、0.12、2.02。

求出各单元过程能力指数，具体方法可以参考文献［1］，这里只求Cpk值。

其中，μ表示样本均值，σ表示样本标准差，M表示设计目标值，USL和LSL分
别代表质量特性的上、下限。

同理，≈1.07≈0.88≈0.94。

2.2 求权重及多元过程能力指数
产品的质量特性属性集 C={D1，D2，H，m}。

由于各个质量特性量纲不同，为消除量纲对结果的影响，对原始数据作标准化。

又因标准化后的数据仍为连续数据，利用等距离法进行离散化处理，共分为3个区间，区间长度为(max－min)/3，依次从低到高的得分值分别为“1、2、3”，标准化和离散化后的数据见表3。

根据
离散化后的数据，找出等价类，求出对应的正域，如表4所示。

表3 离散化与标准化后决策表样品号 D1 D2 H m 样品号 D1 D2 H m x1 1 2 1 3 x16 3 3 2 3 x2 2 3 2 2 x17 3 3 1 2 x3 2 2 2 1 x18 1 2 3 1 x4 3 1 2 2 x19 3 2 2 2 x5 1 2 2 3 x20 3 1 2 1 x6 2 1 2 3 x21 2 2 2 3 x7 3 3 1 1 x22 3 3 1 2 x8 2 1 2 1 x23 1 2 2 2 x9 1 2 1 2 x24 1 2 1 2 x10 2 1 2 2 x25 1 2 2 3 x11 1 3 2 1 x26 3 3 1 2 x12 3 1 3 3 x27 1 1 1 2 x13 3 1 3 3 x28 3 2 2 2 x14 1 1 1 2 x29 3 3 2 3
x15 2 1 3 3 x30 1 1 1 2
表4 正域表POSCC x1，x2，…，x30 POSC－D1C x1，x2，x3，x6，x7，x9，
x11，x24，x16，x29，x14，x27，x30，x17，x22，x26，x18 POSC－D2C x1，x25，x5，x7，x11，x12，x13，x15，x16，x29，x17，x22，x26，x18，x20，x23 POSC－HC x2，x3，x4，x7，x8，x10，x11，x12，x13，x14，x27，x30，x16，x29，x17，x22，x26，x18，x19，x28，x20，x21 POSC－mC x2，x11，x12，x13，x14，x27，x30，x15，x16，x29，x18，x19，x28
最后，由式(2)求得
2.3 确定多元目标过程能力指数及目标区间
把各质量特性按四分位法进行分级，m为A级，D1和D2为B级，H为C级，
则多元目标过程能力指数为=1.835×0.327+1.5×(0.25+0.269)+1.165
×0.154≈1.56，目标区间为(1.395，1.725)。

通过MCpk与表2对比可得，该产
品质量特性的多元过程能力指数处于中等风险区间，控制不够，有待加强。

因为过程能力指数大小与产品不合格品率的高低有直接关系［4］，通过检测，发现30
个产品中不合格品为2个，不合格品率为6.67%。

可见不合格品率不够理想，这
与综合过程能力控制不够相吻合，即计算结果与实际相符。

由表 3 得，POSC－D1C≠POSC－D2C≠POSC－HC≠POSC－mC≠POSCC，因
此4个质量特性都为核属性，不必进行约简。

根据式(4)，求得各质量特性的重要
度为
由式(5)求得各质量特性的权重为
3 结束语
基于粗糙集和四分位法的多元过程能力指数评价方法，不仅具有简便、客观、意义清晰等优点，并且充分考虑了不同重要性等级的质量特性的控制目标的不同，从而使得对于当前产品质量特性的整体过程控制能力的评判更加客观准确。

事实证明该方法是有效的。

当需要考虑的质量特性更多、样本量更大的时候，可以用LERS和KDD-R等粗糙集软件来进行数据处理。

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