偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计

偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计
数学年刊
2010,31A(1):81—90
偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计木
徐红梅辛谷雨
提要研究偶数维空间带粘性的波动方程柯西问题解的逐点估计.通过对格林函数的精细分析,得到
解的大时间状态.解呈现出惠更斯现象.
关键词柯西问题,带粘性的波动方程,偶数维空间,逐点估计,惠更斯原理
MR(2000)主题分类35E15,35L05
中图法分类O175.28
文献标志码A
文章编号1000-8314(2010)01—0081—10
1引言
本文将研究偶数维空间带耗散结构的波动方程解的大时间状态,
u—Au—Au=0,(,t)∈R"×(0,o0),(1.1)
初值为
(u,)1t=0=(U0,U1),(1.2)
n
这里Laplacian△:∑,其中n是空间维数.方程(1.1)称为带粘性的波动方程.
J=1
近来,有许多作者研究带耗散结构的波动方程.Marcati和Nishihara[】在礼=1, Nishihara[0]在n=3时,研究了带阻滞项的波动方程和它们的应用.Hosono和Ogawa[0]
考虑了二维非线性的带阻滞项的波动方程.Ono[4,5]通过算出解的表达式,得到了偶数
维空间线性的带阻滞项的波动方程解的Lp(P≥1)估计和奇数维空间解的(1≤
P<2)
估计.刘永琴和王维克[.】通过格林函数的方法得到多维空间线性带阻滞项的波动方程解
的大时间状态.对其它类型的带耗散结构的波动方程,如带粘性的波动方程,Nakao 和
KobayashiF,s】用能量估计的办法考虑了带粘性的拟线性的波动方程.对于带阻滞项的波
动方程,因为没有表现出惠更斯现象,所以在奇数和偶数维空间我们可以用同一个结果来
表示.但对于带粘性的波动方程,它会像Navier.Stokes【9]方程一样呈现出惠更斯现象,
所以我们必须把奇数和偶数维的情况分开来考虑.从下面的结果中,我们也可以看到带
粘性结构的波动方程的解确实有比带阻滞项的波动方程的解呈现出更丰富的结构.
本文只考虑偶数维的情况.通过格林函数法,我们得到带粘性的线性波动方程解的逐点估计,并且解像Navier—Stokes方程一样呈现出惠更斯现象.
本文中用c表示一般常数.,p(n),?TZ∈Z+,P∈【1,+∞】表示通常用的索伯列
夫空间,范数为
m
1w…::>fl1LP.
ff=O
本文2009年4月27日收到.
河海大学理学院,南京210009.E-mail:.ca
.中国电子科技集团公司第28研究所,南京210007.E-mail:*****************.cn 国家自然科学基金(No.70771084)资助的项目.
82数学年刊31卷A辑
特别地,我们有m,=日m.F—I(D表示函数的逆傅里叶变换.本文安排如下:第2
节给出一些准备工作,第3节给出格林函数的详细分析,解的衰减估计在第4节给
出.
2准备工作
方程(1.1)的象征为7-+丁+.=0,其中7-和=(∈,…,)分别对应于和
D,这里D=六如,.本文中傅里叶变换定义为)=fs()e-iX.~dz,其中i是虚数
单位.由Duhamel原理,有
其中G1,G2称为(1.1)的格林函数,定义为
fG1一OtAG1一AGI:0,fG2—0tAG2一AGe=0,
《Gl[t:0=a(x)E,{G2It:0=0,I
Gltlt:0=0,lG2tIt=0=a(x)E,
其中E是单位矩阵.直接计算表明a,0.的傅里叶变换由下式给出
一
兰er++T+E,
a(:er+t一—.,
(2.1)
(2.2)
(2.3)
:.
(2.4)
我们想通过对G1,G2的逐点估计来得到U的渐近状态.因为我们只知道G1,G2的确切表达式,所以必须用逆傅里叶变换来估计G1,G2.由(2.4)可以看到当有界,并
且不趋于零时,存在某正常数b,使得Re丁士≤一bill..因为(i=1,2)连续,所以这一部分容易处理.这一部分的处理结果为下面的引理3.6.当趋于零时,用泰勒展开可以知道丁士t趋于零加上千和一.我们知道e-的逆傅里叶变换是号e一.
对于e的逆傅里叶变换,我们得不到像e--一样好的函数,所以用另外一个函数
BⅣ(,t)=(1+)一Ⅳ来替代,其中N是一个任意正整数.这一部分的处理结果是下面的引理2.2.我们知道ei是一个波算子,在偶数维情形,它卷积一个函数会使这个函数在锥体里面扩散,所以肯定会造成衰减.这一部分的处理在下面的引理2.1和2.3.当
充分大时,存在某正常数b,使得Re≤一b,所以这时格林函数一定有衰减.但这时
的格林函数带奇性,如果我们希望方程(1.1)和(1.2)的解是连续的,我们必须对初值加
条件.这一部分的结果为下面的引理3.7.
通过上面的分析,我们必须把分成3部分:充分小,有界但不等于零,充分
大3种情况.于是令
x)={:11,xs)={:jj三'一,
其中E充分小,R充分大且)(1,)(3是光滑函数.)(2()=1一X1(∈)一)(3().令Gi,J(∈,t)= xf(∈)Gt(,t),其中i:1,2,J:1,2,3.
首先我们给出3个准备性的引理.引理2.1表明一个波算子卷积一个函数在偶数维情形能使这个函数扩散到一个锥体里.引理 2.2来源于文[10],它对于低频部分的格林函
数估计很有用处.引理2.3来源于文【9】.
1期徐红梅辛谷雨偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计83
引理2.1令=(2丌)一号,则存在常数a,b,使得对于光滑函数,()和偶整
数n,有
)(
…0≤lQI≤
Df(x+ty)d
,(2.5)
(叫)=
.yV
.
(2.6)
0≤IQI≤号fff
证由文f11],有
c州№=两({)孚(td),
(,)(南dld)(,d),
其中B(,t)表示中心在,半径为t的球,V olB(,t)表示球B(x,t)的体积.对任意光
沿甬狮^,右
()
({)七(tn-1(
令z:,引理得证.
一
2
d
-_——
dt
(亡),
引理2一
.
2若,(∈,￡)对变量有紧支集,并存在正常数b,使得对整数f,,m和多重下标Q,,,(∈,t)满足
}D(永,￡))i≤cICl+一.(1+t)me-bl~l",
则对正整数Ⅳ,且2N+1≥,有
ID~f(z,t)l≤C(1+￡)一型BⅣ(,t).
引理2.3当2N≥几时,有
l≤撕
本文中AN(X,t)定义为AN(X,):=(1+)一Ⅳdr.
证对任意X,存在矩阵T,使得Tx=(Ixl,0,…,0)T,且fTf=fTi=1或一1, l.≤.dl≤i.≤df
=
箐dT-1Ty]
=
=
叫.
\,)
出…
/,l上
b6
¨∑∑
:=
数学年刊31卷A辑
于是可以假设=(,0,…,0)T,
饥d令cos0=,则cos0=衔,有=
.
曲
+l厂
IJlul≤1,c0s8≤0
=I1+I2.
曲r——————.,,//1一
注意到=(Ixl,0,…,0)T,则cos0=衔,且cos0≤0yl≤0
一
刚0
1
刚0
(1+
(1+
(1+
XI+2tidilyIcos0+t.+l}.
所以我们只需估计I2.
(X+ty).=『I.+2t[xllylcos0+t2IJ
=
(II—tly1)+2t『I(1+cos0)+2t(IxI—tIY1)lYl(1+cos0)
≥(Ixl一II)+2t.lI(1+cosO)一昙(II一II).(1+cos0)一昙.I『(1+cosO) ≥去(II一￡lI).+专tII.(1+cosO),
所以
所以
B2N(x+ty,t)≤
≤
(1++
l
≤C
(1+街))Ⅳ
1
)Ⅳ(1+(1+衔))Ⅳ
l1
(1+)Ⅳ(1+(1+衔))Ⅳ' .≤dr
.:≤.
ds
≤c(志南.
≤c厂drf
Jo\
当Yl≥一时,有
(1+)Ⅳ
lJlI=1,Y1≤
(1+譬(1+))Ⅳ
0(1+譬(1+1))Ⅳ
f[Yl=l,--
~x<yl~<0
ddd
ⅣⅣⅣ
222
一一一
\,/\,/\,
≤≤
厂几厂几
≤lIII
,,
山
1期徐红梅辛谷雨偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计
lI,{yl=l,l≤{(1+譬(1+1))v
于是引理得证.
3格林函数的逐点估计
ds≤Cll"1≤(1+)Ⅳ
c叫
有』上回的准备工作,我们口j以升始分别佰计Gz,JJ.
由直接计算,我们可得到
引理3.1当充分小,对和正数,有
e—I≤c1+0()￡)一?
引理3.2当较小时,有
ID?(∈e(r-+il~1)t)l≤civilaH(1+)I#1e-,(3.1)
{D(7-_e(r+-il~1)t)l≤cH卅2(1+)Iflle-,(3.2)
lD((e_i"))l≤.+f(1)I~1+1e-.(3.3)
证我们先证(3.1).从泰勒展开可得到
上
T+--7-__+=(丢++o(1{I.))e(～+."fl.,
用引理3.1,.-T~N(3.1).(3.2)的证明类似于(3.1).由泰勒展开得到『土千i:一譬+ o(1~1.),则
击(e(T+__'e(+iD￡)l:(南+)1/e埠丁l上一下l一\ZlI亡l
=
(1+od~l.))e一()).
用弓l理3.1,得到(3.3).
引理2.2和引理3.2结合,得到
引理3.3对任意正整数Ⅳ>"tZ,存在正常数C,使得
Ih.otF一(x(∈))I<C(1+￡)一BⅣ((3.4)
l(X1(∈)(er引_e("))I≤一)1(3.5)
fF一()((e(r=F:l:il~1)t)f≤C(1+￡)一BⅣ((3.6)
一
程
盹且
{
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lho~r-1(x(∈)I':_兰=(e'一引—e一+引))』
≤c0+￡)一BⅣ(z,t).(3.7)
引理3.4对正整数N>礼,h,存在正常数C,使得
JOthD~G,
1J≤Ct一型一inti1Ⅳ(,￡),
此处i=1,2.
证1(,t)=一(27r)号(+iII)i三三__e(r+一i)+(2丌)号(一i『西)e(r一+i)t. 由(3.4),引理2.1和引理2.3,有
OhD~F(xi(∈))J
.≤罟
t-x+ty,tyZdy
lBⅣ(x+ty,tl
≤Ct一+一一hAⅣ(,)
=
Ct一一intj1一hAⅣ(,￡).
由(3.6),引理2.1和引理2.3,有
OhD~F-I(x(e(rT::l:il(J)t)I
一x+ty,
tyf~dy
≤Ct一+{+一一hAⅣ(,t)
=Ct一～inti1一aAⅣ(,).
a2()=(27r)号_(+i)e(.it一(27r)号_(～i西)e一+j1)t.
由(3.5),引理2.1和引理2.3,有
f毗OhD~F()(()【-(e.iD一e卅∽)fI\一/l
.≤罟
t-BⅣ(x+ty,td圳
≤Ct一十号一一hAⅣ(z,￡)
=
Ct一一inti1一hAⅣ(,t).
由(3.7),引理2.1和引理2.3,有
()((∈''t_e(r-+i)))l
"t-BⅣ(x+ty,td
三期一徐红梅辛谷雨偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计———————————————
—————————————————
————————一
::::==:::::=::
≤Ct一芝+产+{一一Ⅳ(
,￡)
=
Ct一～inj1一hAⅣ(z,t).
由上面四个不等式,得到我们的结论.
引理3.5对任意正整数h,存在正数0,使得
j,2(,)J≤Ce—o1~1",
其中C:C(R)且i=1,2.
,.
证由(2.4),知道Re()≤一譬且Re()≤一2,当≤2时.依赖
于R的正常数0,使得当2≤≤R时,Re(丁+)≤一,于是
Re(丁土)≤一1.
因此当≤R时,
Ie±}≤e-o.
当4+el≤.≤R.时,其中E1是一个正数,有
j—I=I∈I,,/IJ一4≥e,
87
(3.8)
容易证明存在
(3.9)
当E≤ffI≤4一E1时,
l—l=≥e.
当4一E1≤l∈l≤4+E1时,有
ll≤tsupetRe(sr一+(1一s)t+)≤￡e一日l∈lzt.1lo1e呲'?
结合上面3情况,可以知道2是一个连续函数.
联合(3.9),得到当:2时的(3.8)
因为l萌(∈,t)l≤l兰J+}e下+},我们同样可以得到当:1时的(3.8). 由弓f理3.5,用逆傅里叶变换,容易得到下面的引理.
引理3.6对任意和正整数N>n,存在正数b,使得
jDG,2I≤Ce(=1,2).
当充分大时,由泰勒展开,有
=:一2+o(1(I—z),
1~1-2_I引+O()?
则
e一:(一I∈l一.+o(1~1一))e(一『++o(I∈I一.))t,
e=(一1～+o(1~l))e(-i-+O())c,
—
T
二一e=一.+一))e(.+o(),
-a--T_
(-I~1o(1~1-I-
e=+o(1~1))e(i.+1+O(m.
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
数学年刊3l卷A辑
于是
er—t
厂』一7=I
=e
.(.+∑(^+Pm+l(t).(.'m埘)),(3.14)j=t
—
.r—t
厂』一厂_
=e
一1)(6.+∑(.h++1(t)o(.'m拗)),(3.15)j=l
—二一e+
厂』一厂_
=e一
(+∑p.++1(t).(.)),(3I16)j=l
=e一
(∑().('+q+1(￡)0(m)),(3_17)j=0
这里.,bo是常数,,是次数不超过J的关于t的多项式.由以上4个不等式,知道X3(J[))(=1,2)可以指数衰减,但有奇性.所以若初值札{(=0,1)有很好的连续性,有
引理3.7若∈日字+la,其中i=0,1且￡=max{2h一2,0),则存在正常数b,
使得
lDGi,3I≤Ce(i=1,2,J=0,1).
证由逆傅里叶变换,得到
IDGuJI≤/l∈.aI
≤/II—n一.d/I1∈l++Il+2/舀;ld∈≤Ce一.J∈I≥Rl,II≥R
4解的衰减估计
现在我们来考虑(1.1)在初值为(札,u)It:o:(札o,u)时的解的衰减估计.
定理4.1若∈日++nL1,且,J:0,1有紧支集,则对任意正整数』v和
h,存在正常数和b,使得
l()l≤Ct一一号+{～Ag(x,t)+Ce.
证由引理3.4,3.6,3.7和文【9]中的引理2.4,用Duhamel原理,当N>n时,有
3
ID呈【=∑lD星G0+DG1I
=1
≤Ct一生一号+{一IAⅣ(,t)()I+Ce一II钆』llL
徐红梅辛谷雨偶数维空间耗散波动方程解的衰减估计89
≤Ct一一ntj1～AⅣ(,t)ll~川L+Ce5IL1
≤Ct一一ini1一hAⅣ(,￡)+Ce.
实际上,因为AⅣx,￡)随N的增大而减小,所以实际上对N没有限制.于是定理得证.
若令IXl=kt,≥0,则有
AN(X,t)≤
,/i_二二_s(南一r)'
其中0≤s≤N,有
(1)当>1+时(是一个充分小的正常数),有
AⅣ(,t)≤Ct一Ⅳ.
(2)当Ik一1I≤时,
Ⅳx,t)≤Ct一+
其中e是一个充分小的正常数.
(3)当<1—时,有
AⅣ(,￡)≤Ct一{+
(4.2)
(4.3)
注4.1由定理4.1和(4.1)一(4.3),我们可看出方程的解在锥≤t外衰减得非常
快,而在锥体内衰减得比较慢.这种现象符合惠更斯原理.
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XUHongmeiXINGuyu.
CollegeofScience,HohaiUniversity,Nanjing210009,China.
E-mail:**********************.an ChinaElectronicsTechnologyGroupCorporationNo.28ResearchInstitute,
Nanjing210007,China.E—mail:*****************.ca AbstractThispaperstudiesthepointwiseestimateofsolutiontotheCauchyproblemfor thewaveequationwithviscosityinmultievendimensions.Throughtheexplicitanalysisof theGreenfunction,thelargetimebehaviorofsolutionisobtained,andthesolutionexhibits thegeneralizedHuygensprinciple.
KeywordsCauchyproblem,Waveequationwithviscosity,Multievendimensions, Pointwiseestimate,Huygensprinciple
2000MRSubjectClassification35E15,35L05 TheEnglishtranslationofthispaperwillbepublishedin ChineseJournalofContemporaryMathematics,V o1.31No.1,2010 byALLERTONPRESS,INC.NEWYORK,USA。