云南省曲靖市2019-2020学年高考数学考前模拟卷(1)含解析

云南省曲靖市2019-2020学年高考数学考前模拟卷（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点
P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．
13
B ．5
C ．25
D ．13
【答案】A 【解析】 【分析】
在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】 由已知，222211
||HF FO OH c a b =
-=-=，在12PF F ∆中，由余弦定理，得 11121222212|2cos |PF F F P PF PF F F F F =+-⋅⋅∠22
42392b b b c
c c -⨯=⨯⨯
=+ 224a b +，又1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以22342b a b a -+=，
32b a ⇒=2
21312
b a e =∴=+， 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A 3
B ．
3
C 3
D 23
【答案】C
【解析】 【分析】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案． 【详解】
由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积1
1(11)12
S =⨯⨯+=，高3h =
故体积13
3V Sh ==
故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
3．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )
A ．22
1916
x y +=
B ．22
1916
x y -=
C ．22
1916
x y -=（0x <）
D ．22
1916
x y -=（0x >）
【答案】B 【解析】 【分析】
如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，610QC QA -=<，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【详解】
如图所示：连接QA ，根据垂直平分线知QA QP =，
故610QC QA QC QP PC -=-==<，故轨迹为双曲线，
26a =，3a =，5c =，故4b =，故轨迹方程为22
1916
x y -=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
4．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254 B ．9
C ．7
D ．252
【答案】B 【解析】
试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()22
2459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()
314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x 轴的对称点(45)F '-，
，22(41)(51)5PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+的最
大值为549+=，故选B ．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，
PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是
()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆
()()
22
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆
()()
22
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，222AB DC AD ===，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合为点F ，则三棱锥F DCE -的外接球的体积是（ ）
A ．
6π B ．
6π C ．
32
π D ．
23
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积． 【详解】
由题意等腰梯形中DA AE EB BC CD ====，又60DAB ∠=︒，∴AED ∆，BCE ∆是靠边三角形，从而可得DE CE CD ==，∴折叠后三棱锥F DEC -是棱长为1的正四面体， 设M 是DCE ∆的中心，则FM ⊥平面DCE ，233
1323
DM =
⨯⨯=
，226FM FD DM =-=， F DCE -外接球球心O 必在高FM 上，设外接球半径为R ，即OF OD R ==，
∴22263(
)()33
R R =-+，解得6
4R =， 球体积为334466
()33V R πππ==⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．
7．若双曲线22
214
x y a -=的离心率为3，则双曲线的焦距为（ ）
A ．26
B ．25
C ．6
D ．8
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=的离心率为3，
所以2
24
13e a
=+=，∴22a =，∴6c =，双曲线的焦距为26. 故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．24π+
B ．24π-
C ．242π-
D ．243π-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征，然后结合空间结构特征即可求得其表面积. 【详解】
由三视图可知，该几何体为边长为2正方体ABCD A B C D ''''-挖去一个以B 为球心以2为半径球体的1
8
， 如图，故其表面积为2
124342248
πππ-+⨯⨯⨯=-， 故选：B.
【点睛】
(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
9．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．
17
21
B ．
1928
C ．
79
D ．
2328
【答案】B 【解析】 【分析】
首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】
解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3
984C =（个），
则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”
记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则3
39319
()128
P E
C =-=
. 故选：B 【点睛】
本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．
10．如图，在ABC V 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，
若AB mAM =u u u r u u u u r ，AC nAN =u u u r u u u r
，则m n +=（ ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
连接AO ，因为O 为BC 中点，可由平行四边形法则得1()2
AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再将其用AM u u u u r ，AN u u u r 表示.
由M 、O 、N 三点共线可知，其表达式中的系数和122
m n
+=，即可求出m n +的值. 【详解】
连接AO ，由O 为BC 中点可得，
1()222
m n AO AB AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u
r u u u r ，
M Q 、O 、N 三点共线，
122
m n
∴
+=， 2m n ∴+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.
11．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3 B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
【答案】C 【解析】
分析：根据集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==可直接求解{3,5}A B =I .
详解：{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==Q ,
{}3,5A B ∴⋂=,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
12．下列选项中，说法正确的是（ ）
A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2
000x R x x ∃∈->，”
B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤
D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】
选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；
选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D.
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数
为偶数
【解析】 【分析】
由题意可得112(2)n n a a n +--=…
，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩
为奇数
为偶数.
【详解】
解：∵12n n a n a +=-，
∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…
，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，
当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，
∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩
为奇数
为偶数，
故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩
为奇数为偶数.
【点睛】
本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…
，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．
14．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]
1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______. 【答案】2
e 【解析】
【分析】
易知(){}
max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，
()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解．
【详解】
(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，
设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'
11h x x
=
- 当[]
1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减
令()ln n x x x =+，()'
11n x x
=
+ 当[]
1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增
所以当[]
1,x e ∈时，
(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--， (){}max 1,1F x a b a e b =+++++，
则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2
e M a b ≥ 故答案为：2
e . 【点睛】
本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．
15．已知函数22,0,()2,0,
x x x f x x -⎧-≥=⎨<⎩，则11
(lg )(lg )(lg 2)(lg5)52f f f f +++的值为 ____
【答案】4 【解析】 【分析】 根据1
1
lg ,lg ,lg 2,lg552
的正负值，代入对应的函数解析式求解即可. 【详解】
解：11(lg )(lg )(lg 2)(lg5)5
2
f f f f +++
11lg
lg
lg2lg5lg5lg2lg2lg55
2
2
2
22222222224--+++=++--+=-=-.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，是基础题.
16．已知x ，y 满足约束条件10,240,260,x x y x y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪--≤⎩
则34z x y =+的最小值为__________.
【答案】13- 【解析】 【分析】
画出可行域，通过平移基准直线340x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知： 可行域是由三点31,
2A ⎛⎫
⎪⎝⎭，()1,4B -，162,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
构成的三角形及其内部，当直线340x y z +-=过点
()1,4-时，z 取得最小值()314413⨯+⨯-=-.
故答案为：13-
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，焦点在x 轴上的椭圆1C 与焦点在y 轴上的椭圆2C 都过点()0,1M ，中心都在坐标原点，且椭
圆1C 与2C
的离心率均为
3． （Ⅰ）求椭圆1C 与椭圆2C 的标准方程；
（Ⅱ）过点M 的互相垂直的两直线分别与1C ，2C 交于点A ，B （点A 、B 不同于点M ），当MAB ∆的面积取最大值时，求两直线MA ，MB 斜率的比值.
【答案】（1）2
214x y +=，2
2
+11
4
x y =（2）997
8
- 【解析】
分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；
(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S 表示为关于k 的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.
详解：（Ⅰ）依题意得对1C ：1b =，22
2
2
334a b e e a
-=⇒==，得1C ：2214x y +=； 同理2C ：2
2
+1
1
4
x y =. （Ⅱ）设直线MA MB ，的斜率分别为12k k ，，则MA ：11y k x =+，与椭圆方程联立得：
22
22111414041
x y x k x y k x ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
（），得22
114180k x k x ++=（），得1A 218=41k x k -+,21A 2
141=41k y k -++，所以2112211841
A(,)4141
k k k k -+-
++ 同理可得222222224,44k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
.所以
221122222211228822=(,),,414144k k k k MA MB k k k k u u u v u u u
v ⎛⎫----= ⎪++++⎝⎭,
从而可以求得()()()
2212211221222222
122112
16822811==24144412414k k k k k k k k S k k k k k k -----⋅-⋅++++++因为121k k =-， 所以(
)()
3
112
21
8+=
41k k S k
+，不妨设()()
()()
3
42111112
4
221
1+491
0,4141k k k k k f k f k k k '--+>=
=
++
，
()42211190491=0=
8f k k k k ，，=∴--+'
，所以当S 最大时，219
=8
k ，此时两直线MA ，
MB 斜率的比值
2112=k k k -. 点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y 轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.
18．新高考，取消文理科，实行“33+”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：
（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；
（2）请根据上表完成下面22⨯列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++.
（3）若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为X ，求X 的分布列以及()E X .
【答案】（1）25
P =；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，6
()5
E X =.
【解析】 【分析】
（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率； （2）根据数据列出列联表，求出2K 的观测值，对照表格，即可得出结论；
（3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，X 可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解. 【详解】
（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率2211
3015
P ==， 中老年对新高考了解的概率82205
P ==. （2）22⨯列联表如图所示
2
2
50(221288) 5.56 3.84130202030
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联. （3）年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人， 则抽取的3人中了解新高考的人数X 可能取值为0，1，2，
则03233
51
(0)10C C P X C ===；12233563(1)105C C P X C ====； 51
22333
(2)10
C C P X C ===.
所以X 的分布列为
X 0
1 2
P
110 35 310
36()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.
19．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，1B 在底面ABC 上的投影D 在棱BC 上，且1A B ∥平面1ADC
（Ⅰ）证明：平面1ADC ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）求直线AB 与平面1ADC 所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）57
14
【解析】 【分析】
（Ⅰ）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ，由于1A B P 平面1ADC ，得出1A B OD P ，根据线线位置关系得出AD BC ⊥，利用线面垂直的判定和性质得出1AD B D ⊥，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面1ADC ⊥平面11BCC B ；
（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出()
3,0BA =u u u r
和平面1ADC 的法向量
()
3,0,2n =-r
，利用空间向量线面角公式，即可求出直线AB 与平面1ADC 所成角的余弦值.
【详解】
解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ， 则平面1A BC I 平面1ADC OD =，
1A B Q ∥平面1ADC ，1A B ∴∥OD ，
O Q 为1A C 的中点，D ∴为BC 的中点，AD BC ∴⊥
1B D ⊥Q 平面ABC ，1AD B D ∴⊥
1BC B D D ⋂=Q ，AD ∴⊥平面11BCC B ，
AD ⊂Q 平面1ADC ，∴平面1ADC ⊥平面11BCC B
（Ⅱ）建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，设2AB =
则()1,0,0B -，(
)0,3,0A ，()10,0,3B
，()
12,0,3C
()1,3,0BA ∴=u u u r ，()0,3,0DA =u u u r ，()1
2,0,3DC =u u u r
设平面1ADC 的法向量为(),,n x y z =r ，则30
230
y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，
取3x =-得()
3,0,2n =-r
，
设直线AB 与平面1ADC 所成角为θ
321
sin cos ,1427BA n θ-∴===⨯u u u r r ，
57
cos θ∴=
直线AB 与平面1ADC 所成角的余弦值为
57
.
【点睛】
本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力. 20．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22ccosB a b =+． （1）求角C 的大小； （2）若函数()2sin 2cos 2()6f x x m x m R π⎛
⎫
=+
+∈ ⎪⎝
⎭图象的一条对称轴方程为2
C
x =且6
25f α⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求(2)cos C α+的值．
【答案】（1）23C π=（2）7
225
cos
C α+=-（） 【解析】 【分析】
（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可求1
cosC 2
=-
，即可求C 的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用，可得()()f x m 1cos2x =++，根据题意，得到
()2πf 0f 3⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得m 2=-，得到函数的解析式，进而求得πsin α6⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值，利用三角函数恒等变换
的应用可求()cos 2αC +的值． 【详解】
（1）由题意，根据正弦定理，可得2sinCcosB 2sinA sinB =+，
又由()A B C π=-+，所以 ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 可得2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB =++，即2sinBcosC sinB 0+=， 又因为()0,B π∈，则sin 0B >， 可得1cosC 2=-
，∵()0,C π∈，∴2π
C 3
=． （2）由（1）可得()()f x 2sin 2x 1mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x =++=++
()
m 1cos2x =++，
所以函数()f x 的图象的一条对称轴方程为π
x 3
=，
∴()2πf 0f 3⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，得()4π4πm 1m 1cos 33+=++，即m 2=-，
∴()πf x cos2x 2sin 2x 6⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
又απ6f 2sin α265⎛⎫⎛
⎫=-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，∴π3sin α65⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()22ππππ7cos 2αC cos 2αcos 2α-cos2α2sin α1336625⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．已知椭圆22
:143
x y C +=的右顶点为D ，E 为上顶点，点A 为椭圆C 上一动点．
（1）若DE AE ⊥，求直线AD 与y 轴的交点坐标；
（2）设F 为椭圆C 的右焦点，过点()4,0M 与x 轴垂直的直线为0l ，FM 的中点为N ，过点A 作直线0l 的垂线，垂足为B ，求证：直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
【答案】（1
）0,⎛ ⎝⎭
（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）直接求出直线AE 方程，与椭圆方程联立求出A 点坐标，从而可得直线AD 方程，得其与y 轴交点坐标；
（2）设00(,)A x y ，则0(4,)B y ，求出直线BN 和AF 的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分01x =和01x ≠说明． 【详解】
解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合， （1）由题知()2,0D
，(E
，则DE k =．因为DE AE ⊥
，所以AE k =，
则直线AE
的方程为3y x =+
，联立2
2
3
1
4
3y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，可得4825x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故48,2525A ⎛-- ⎝⎭
．则2548225
DA
k ==+AD
的方程为(2)14y x =-．令0x =，
得y =，故直线AD 与y
轴的交点坐标为0,7⎛- ⎝⎭
．
（2）证明：因为(1,0)F ，(4,0)M ，所以5,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
．设点()00,A x y ，则()04,B y ． 设
当01x =时，设31,
2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则34,2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，此时直线AF 与x 轴垂直，
其直线方程为1x =，
直线BN 的方程为3
5205242
y x -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，即52y x =-． 在方程52y x =-
中，令1x =，得32y =-，得交点为31,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，显然在椭圆C 上．
同理当31,2A ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
时，交点也在椭圆C 上． 当01x ≠时，可设直线BN 的方程为
055242
y y x ⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭-，即02532y y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
． 直线AF 的方程为0
0(1)1y y x x =--，联立方程00
02532(1)1
y y x y y x x ⎧⎛⎫
=- ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎪=
-⎪-⎩
，
消去y 得
00025(1)321
y y x x x ⎛⎫
-=- ⎪-⎝⎭，化简并解得005825x x x -=-． 将005825x x x -=
-代入00(1)1
y y x x =--中，化简得00325y y x =-．
所以两直线的交点为0000583,2525x y x x ⎛⎫
-
⎪--⎝⎭
．
因为2
2
000058311425325x y x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()
()
()
22
22000
000
2
2
2
000258064
32580641242525425x x y x x y x x x -+-++=
+
=
---，
又因为22
00143
x y +=，所以22
004123y x =-，
则
()
()
()()
2
22
2
0000
002
2
2
000252580641242025
14252525x x x y x x x x x --++-+=
==---，
所以点0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
在椭圆C 上．
综上所述，直线AF 与直线BN 的交点在椭圆C 上．
【点睛】
本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的参数方程是2cos {sin x y θθ
==（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2sin ρθ=.
（1）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；
（2）已知点1M 、2M 的极坐标分别为12π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，和(20)，，直线12M M 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线OQ 与曲线1C 相交于点B ，求22
11||||OA OB +的值. 【答案】（1）线1C 的普通方程为2
214
x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为22(1)1y x +-=；（2）22115||||4
OA OB +=. 【解析】
试题分析：（1）（1）利用cos 2θ+sin 2
θ=1，即可曲线C 1的参数方程化为普通方程，进而利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩即可化为极坐标方程，同理可得曲线C 2的直角坐标方程；
（2）由12M M 过()2
211x y +-=的圆心，得OP OQ ⊥得OA OB ⊥，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222121111||||OA OB ρρ+=+代入2222cos sin 14ρθρθ+=中即可得解. 试题解析：
（1）曲线1C 的普通方程为2
214
x y +=，化成极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+= 曲线2C 的直角坐标方程为()2
211x y +-= （2）在直角坐标系下，()101M ，
，()220M ，，12:220M M x y +-=
恰好过()2
211x y +-=的圆心， ∴90POQ ∠=︒由OP OQ ⊥得OA OB ⊥ A ，B 是椭圆2
214
x y +=上的两点， 在极坐标下，设()1A ρθ，，22B ，πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭分别代入222211cos sin 14
ρθρθ+=中， 有222211cos sin 14ρθ
ρθ+=和222222cos 2sin 142πρθπρθ⎛
⎫+ ⎪⎛⎫⎝
⎭++= ⎪⎝
⎭ ∴22211
cos sin 4θθρ=+，22221sin cos 4θθρ=+ 则22121154ρρ+=，即22115||||4
OA OB += 23．设k ∈R ，函数()()g x k x e =-，其中e 为自然对数的底数.
（1）设函数()1ln x f x x
=-. ①若1k =-，试判断函数()f x 与()g x
的图像在区间上是否有交点；
②求证：对任意的k ∈R ，直线()y g x =都不是()y f x =的切线；
（2）设函数()2ln ()h x x x x xg x ekx =-+-，试判断函数()h x 是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）①函数()f x 与()g x
的图象在区间上有交点；②证明见解析；（2）0k >且12k e
≠
； 【解析】
【分析】
（1）①令()()()F x f x g x =-，结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为0x ，求出切线方程，得到002x e elnx =-，根据函数的单调性判断即可；
（2）求出()h x 的解析式，通过讨论k 的范围，求出函数的单调区间，确定k 的范围即可．
【详解】
解：（1）①当1k =-时，函数()g x x e =-+， 令()()()1x F x f x g x x e lnx =-=+--
，x ∈， 则()120F e =-<
，0F e =>，
故(
)10F F <g ，
又函数()F x
在区间上的图象是不间断曲线， 故函数()F x
在区间上有零点，
故函数()f x 与()g x
的图象在区间上有交点； ②证明：假设存在k ∈R ，使得直线()y k x e =-是曲线()y f x =的切线， 切点横坐标为0x ，且()()00,,x e e ∈+∞U ，
则切线()y f x =在点0x x =切线方程为000()()()y f x x x f x ='-+， 即0000022000
22(1)(1)1lnx x x lnx x y x lnx lnx lnx --=-+---， 从而0202(1)lnx k lnx -=
-，且00002002(1)1x x lnx x ke lnx lnx --+=---， 消去k ，得002x e elnx =-，故0x e =满足等式，
令000()2s x x e elnx =-+，所以00
()1e s x x '=+， 故函数0()s x 在(0,)e 和(,)e +∞上单调递增，
又函数0()s x 在0x e =时()0s e =，
故方程002x e elnx =-有唯一解0x e =，
又()()00,,x e e ∈+∞U ，
故0x 不存在，即证；
（2）由2()2()22h x x xlnx xg x ekx x xlnx kx kex =-+-=-+-得， 0x >，()12()h x lnx k x e '=-+-，
令()12()m x lnx k x e =-+-， 则121()2kx m x k x x
-'=-=， ()()0m e h e '==，
()i 当0k …时，()h x '递减，
故当(0,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 递增，
当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，()h x 递减，
故()h x 在x e =处取得极大值，不合题意；
()0ii k >时，则()m x 在1(0,)2k 递减，在1(2k ，)+∞递增，
①当102k e <<时，12e k
>， 故()m x 在1(0,
)2k 递减， 可得当(0,)x e ∈时，()0h x '>， 当1(,
)2x e k ∈时，()0h x '<， 1
11
()(12)2k k k e e m ke e ln k k
=-+-Q ， 易证1
12k e k k >，令11
()2k k e m k e ln k
=-，1(,)2k e e ∈， 令12t e k
=>， 故()2n t et lnt t =--，则1()210n t e t
'=-->， 故()n t 在(2,)e +∞递增，
则()()()210n t n e n >>>， 即102k e
<<时，0m >， 故在1(2k ，1)k e k
内存在0x ，使得0()0m x =， 故()h x 在1(2k
，0)x 上递减，在0(x ，)+∞递增， 故()h x 在0x x =处取得极小值． ②由（1）知12k e =，12e k
=， 故()h x '在(0,)e 递减，在(,)e +∞递增，
故(0,)x ∈+∞时，()0h x '…
，()f x 递增，不合题意； ③当12k e >时，102e k <<， 当1(2x k
∈，)e 时，()0h x '<，()f x 递减， 当(,)x e ∈+∞时，()0h x '>，()f x 递增， 故()h x 在x e =处取极小值，符合题意， 综上，实数k 的范围是0k >且12k e
≠
． 【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．。