5 离散时间系统

x 波形， 已知 (n)波形，请画出 n 波形． x(2n), x 波形． 2
n
n x 2 x(2n)
O 1 2 3 4 5 6
6
4
2
O 1 2 3 4 5 6 n
16
6 5 4 3 2 1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
n
三．常用离散信号
•单位样值信号 单位样值信号 •单位阶跃序列 单位阶跃序列 •矩形序列 矩形序列 •斜变序列 斜变序列 •单边指数序列 单边指数序列 •正弦序列 正弦序列 •复指数序列 复指数序列
x(n)
34 5
1 2
9 10 11 67 8
22
n
一个周期
26
例
x 是否为周期信号？ 信号 (n) = sin(0.4n)是否为周期信号？
ω0 = 0.4
ω0
2π
= 5π是无理数 ∴为非周期的序列
27
7．复指数序列
x(n) = e
jω0n
= cosω0n + j sinω0n
j arg[ x( n)]
20
δ (n) = u(n) − u(n − 1)
3．矩形序列
1 RN (n) = 0
RN (n)
0 ≤ n ≤ N −1 n < 0, n ≥ N
1
L
−1 o 1 2 3 N −1 n
的关系： R 与u(n)的关系： N (n) = u(n) − u(n − N)
21
4．斜变序列
x(n) = nu(n)
•离散信号的表示方法 离散信号的表示方法 •离散时间信号的运算 离散时间信号的运算 •常用离散时间信号 常用离散时间信号
10
一．离散信号的表示方法
11
例
2n , n ≥ 0 x(n) = 试写出其序列形式并画出波形。 试写出其序列形式并画出波形。 0, n < 0
序列形式： (n 序列形式： x(n) = L,0,0, 1 ,2,4,8,L ↑ n=0
17
1．单位样值信号
δ (n)
0, n ≠ 0 δ (n) = 1, n = 0
1
O
1OLeabharlann 0, n ≠ j 时移性 δ (n − j) = 1, n = j
比例性 cδ (n), cδ (n − j) 抽样性 f (n)δ (n) = f (0)δ (n)
1 n δ (n − 1)
1
7
系统分析
连续时间系统——微分方程描述 微分方程描述 连续时间系统
离散时间系统——差分方程描述 差分方程描述 离散时间系统 差分方程的解法与微分方程类似
8
知识点1
典型序列及其图形
• 根据离散序列的运算特性，计算并画其他序 列的波形 • 正余弦序列周期性的判断
9
§离散时间信号——序列 离散时间信号——序列
余弦序列： x 余弦序列： (n) = cos nω0
sinnω0
1
sinΩ0t Ω
1
O 5 10 n
−1
10 离散正弦序列x(n) = sinω0n 是周期序列应满足 x(n + N) = x(n) 24 N称为序列的周期，为任意正整数。 称为序列的周期 正整数。 称为序列的周期，为任意正整数
, 的速率． 的速率． ω0 : 正弦序列的频率序列值依次周期性重复 2π 10 数值． 当ω0 ＝ , 则序列每 个重复一次正弦包络的 数值．
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。 差分方程本身是一种递推关系。
y 但得不到 (n)输出序列的解析式
39
例
由递推关系,可得输出值： 由递推关系 可得输出值： 可得输出值
40
二．时域经典法
1.齐次解：齐次方程的解
指数形式
41
求待定系数
C由边界决定 由边界决定
代入原方程， 代入原方程，
可得齐次解： 可得齐次解：
求差分方程齐次解步骤： 求差分方程齐次解步骤：
差分方程→特征方程→特征根→ 的解析式→ 差分方程→特征方程→特征根→y(n)的解析式→由起始状态定常数 的解析式
42
根据特征根的情况,分为
2.有重根 2.有重根
43
例 求解二阶差分方程
特征方程 特征根 齐次解 定C1,C2 解出
7．累加： z(n) =
k=−∞
∑x(k)
∞
8．重排（压缩、扩展）：
n x(n) → x(an) , 或 x(n) → x a 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。 注意：有时需去除某些点或补足相应的零值。
9．序列的能量 E = ∑ x(n)
15 n=−∞
∞
2
例
x(n)
6 5 4 3 2 1
2.零状态响应：初始状态为0，即
形式上是：齐次解+ 形式上是：齐次解+特解
49
• 零输入响应的一般求解过程
– (1)根据齐次解得到解的形式 其中齐次解的系数 根据齐次解得到解的形式,其中齐次解的系数 根据齐次解得到解的形式 需要进一步确定 – (2)根据方程或已知条件确定 初始条件)找到 根据方程或已知条件确定(初始条件 找到0根据方程或已知条件确定 初始条件 找到 初始值 – (3)根据 初始值确定齐次解系数 根据0-初始值确定齐次解系数 根据 注意：在求零输入响应时，要排除输入的影响— 注意 ： 在求零输入响应时 ，要排除输入的影响 —找出输入加上以前的初始状态。 找出输入加上以前的初始状态。 找出输入加上以前的初始状态
x(−1) x(0)
x(n) x(3) x(1) x(− 1) x(n − 1) x(0) x(1)
2 −1 o 1
3
3
n
14
x(3)
4
−1 o 1 2
n
x(2)
x(2)
5．倒置： z(n) = x(−n) 6．差分：前向差分： x(n) = x(n + 1) − x(n) 前向差分： ∆
后向差分： ∇ 后向差分： x(n) = x(n) − x(n −1)
三．差分方程的特点
(1)输出序列的第 个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值 输出序列的第 个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。 (2)差分方程的数阶：差分方程中变量的最高和最低 差分方程的数阶： 差分方程的数阶 序号差数为阶数。 序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出 如果一个系统的第 个输出决定于刚过去的几个输出 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。
正弦序列周期性的判别
①
2π = sin(ω0n + 2π ) = sinω0n Qsinω0 (n+ N) = sinω0 n + + ω0 正弦序列是周期的
ω0
2π
= N，N是正整数
N N = ， 为有理数 ② ω0 m m 2π Qsinω0 (n+ N)= sinω0 n + m = sin(ω0n + m ⋅ 2π ) = sinω0n + ω0 2π sinω 0n仍为周期的 周期： = m 周期： N ω0 2 π ③ 为 无理 数
36
§常系数线性差分方程的求解
37
解法
1.迭代法 1.迭代法 2.时域经典法：齐次解+特解； 2.时域经典法：齐次解+特解； 时域经典法 3.零输入响应+ 3.零输入响应+零状态响应 零输入响应 利用卷积求系统的零状态响应 4. z变换法→反变换→y(n) 变换法→ 变换法 反变换→
38
一．迭代法
x(n)
1
−1 0 1 2 3 4
n
22
5．单边指数序列
x(n) = anu(n)
anu(n)
a >1
anu(n)
0< a <1 1
1 −1
O
1
2
3
4
n
−1 O
1
2
3
4
n
anu(n)
a < −1
anu(n)
−1 < a < 0
1 −1 O 1 2
3
1 4
n
−1 O
1
2
3
4
n
23
6．正弦序列
x(n) = sinnω0
复序列用极坐标表示： 复序列用极坐标表示：
x(n) = x(n) e
复指数序列： 复指数序列：
x(n) = 1
arg[x(n)] = ω0n
28
• 例
29
知识点2
时域差分方程的建立 与求解
• 齐次解与特解的求解，会求齐次解与特解， 从而得到全解 • 会求零输入响应，会确定0－状态 • 会求零状态响应，全响应，单位序列响应 • 根据h（n）判断系统的因果性与稳定性
x(n)
波形： 波形：
L
2
4
1
O
L
2
−2
−1
12
1
n
序列的三种形式
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
0
x(n)
L
n
双边序列： − 双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞；
L
0
x(n)
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
0
13
n1
n2
n
二．离散信号的运算
1．相加： z(n) = x(n) + y(n) 2．相乘： z(n) = x(n) ⋅ y(n) z 3．乘系数： (n) = ax(n) 4．移位： z(n) = x(n − m) 右移位 z(n) = x(n + m) 左移位
44
例
特征方程
给定边界条件即可求出常数
45
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
输入
输出
与特征根重） （r与特征根重） 与特征根重
46
例
特解 代入原方程求特解
47
• 例题
48
三．零输入响应+零状态响应
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次方程
形式上即为齐次解： 形式上即为齐次解： C由初始状态定（相当于 -的条件） 由初始状态定（ 由初始状态定 相当于0 的条件）
19
2．单位阶跃序列
1 u(n) = 0 n≥ 0 n< 0
u(n)
1 −10 1 2 3 L
n
u(n)可以看作是无数个单位样值之和:
u(n) = δ (n) + δ (n − 1) + δ (n − 2) + δ (n − 3) +L = ∑δ (n − k)
k=0 ∞
是差和关系， 商关系。 δ (n)与u(n)是差和关系，不再是微 商关系。
30
§离散时间系统的数学 模型— 模型—差分方程
•由实际问题列写差分方程 由实际问题列写差分方程 •由系统框图写差分方程 由系统框图写差分方程
31
一．由实际问题直接得到差分方程
例如： 例如： y(n)表示一个国家在第 年的人口数 表示一个国家在第n年的人口数 表示一个国家在第 a(常数 ：出生率 常数)： 常数 b(常数 死亡率 常数): 常数 ( )是国外移民的净增数 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为： 年的人口总数为： 则该国在第 年的人口总数为 y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n)
32
二．由系统框图写差分方程
1．基本单元
加法器： 加法器
乘法器： 乘法器：
33
系统框图
标量乘法器
延时器
单位延时实际是一个移位寄存器， 单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离 散值顶出来，递补。 散值顶出来，递补。
34
例
如图框图， 如图框图，写出差分方程
解：
一阶后向差分方程
35
一阶前向差分方程
n
注意： 注意： δ (t )用面积 (强度)表示，→ 0 幅度为 ∞); (t ， 表示，
( ) δ (n)在n = 0取有限值不是面积。
18
利用单位样值信号表示任意序列
x(n) =
m=−∞
∑x(m)δ (n − m)
∞
f (n)
1.5
−1 o 1
2
3
−3
4
n
f (n) = 1,1.5,0,−3,0,0, = δ (n + 1) + 1.5δ (n) − 3δ (n − 2) ↑ n=0
连续时间系统： 连续时间系统： 系统的输入、输出都是连续的时间信号。 系统的输入、输出都是连续的时间信号。
6
离散时间信号、离散时间系统
离散时间信号： 离散时间信号： 时间变量是离散的， 时间变量是离散的， 函数只在某些规定的时刻 有确定的值， 有确定的值，在其它时间 没有定义。 没有定义。 离散信号可以由模拟信号抽样而得， 离散信号可以由模拟信号抽样而得，也可以由实际系 统生成。 统生成。 离散时间系统： 离散时间系统： 系统的输入、输出都是离散的时间信号。 系统的输入、输出都是离散的时间信号。如数字 计算机。 计算机。
2π
x n 找不到满足 (n + N) = x(25 )的N值 为非周期的 ，
ω0
例
4π 已知： . sin n， 已知： 求其周期 11 4π 2π 11 11 N 则有： ω0 = ， = = 则有： = 2π 11 4π 2 m ω0
∴N = 11 即周期为 。（ π 中有 .5个ω0 11 2 5 ， ）
信号与系统考前辅导
肖 俊 副教授 电话： 电话：88256564 Email： Email：xiaojun@
1
离散时间系统
2
3
4
§连续 到 离散
5
连续时间信号、连续时间系统
连续时间信号： f(t)是连续变化的 的函数，除若干不连续点之外对 是连续变化的t的函数 是连续变化的 的函数， 于任意时间值都可以给出确定的函数值。 于任意时间值都可以给出确定的函数值。函数的波形都 是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。 是具有平滑曲线的形状，一般也称模拟信号。