高中数学 2.2.1 第1课时 圆的标准方程课后知能检测 苏

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 第1课
时 圆的标准方程课后知能检测 苏教版必修2
一、填空题
1．(2013·南京检测)圆心是(－2,3)，且经过原点的圆的标准方程为______________．
【解析】 所求圆的半径r ＝－2－02＋3－02＝13.故圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝13.
【答案】 (x ＋2)2＋(y －3)2＝13
2．圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的面积为________．
【解析】 圆(x －3)2＋(y ＋2)2＝13的半径r ＝13，故面积S ＝13π.
【答案】 13π
3．圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离为________．
【解析】 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心坐标为(2,0)，
故圆心到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|4－5|4＋1
＝55. 【答案】 55
4．(2013·衡水检测)经过圆(x ＋3)2＋(y －5)2＝36的圆心，并且与直线x ＋2y －2＝0
垂直的直线方程为______________．
【解析】 圆(x ＋3)2＋(y －5)2＝36的圆心坐标为(－3,5)，
设与直线x ＋2y －2＝0垂直的直线方程为2x －y ＋m ＝0.
由题意可知2×(－3)－5＋m ＝0，解得m ＝11.
所以，所求直线方程为2x －y ＋11＝0.
【答案】 2x －y ＋11＝0
5．(2013·泰州检测)以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的标准方程为______________．
【解析】 ∵AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)
∴A (0,2)，B (2,0)，AB ＝
0－22＋2－02＝2 2.
∴点A 、B 的中点为(1,1)，
故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.
【答案】 (x －1)2＋(y －1)2＝2
6．点P (a,10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是__________．
【解析】 a －12＋92>2，即点P (a,10)在圆外． 【答案】 在圆外
7．(2011·辽宁高考)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________．
【解析】 设圆心坐标为(a,0)，易知
a －52＋－12＝a －12＋－32， 解得a ＝2，
∴圆心为(2,0)，半径为10，
∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
【答案】 (x －2)2＋y 2＝10
8．已知点P (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上，则x －12＋y －12的最大值为________．
【解析】 由两点间距离公式得：x －12＋y －12的几何意义为圆上的点P (x ，y )与定点Q (1,1)的距离，则|PQ |的最大值为QO (O 为原点)的延长线与圆的交点P 与Q 点的距离，此时|PQ |＝|PO |＋|OQ |＝1＋ 2.
【答案】 1＋ 2
二、解答题
9．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2
，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．
(1)点A 在圆的内部；
(2)点A 在圆上；
(3)点A 在圆的外部．
【解】 (1)∵点A 在圆内部，
∴(1－a )2＋(2＋a )2＜2a 2，
即2a ＋5＜0，解得a ＜－52.故a 的取值范围是{a |a ＜－52
}． (2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程：得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52
，故a 的值为－52
. (3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2＞2a 2，
即2a ＋5＞0，解得a ＞－52.故a 的取值范围是{a |a ＞－52
}． 10．(2013·龙岩检测)已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心C 在直线x ＋3y －15＝0上．
(1)求圆C 的方程；
(2)设点Q (－1，m )(m ＞0)在圆C 上，求△QAB 的面积．
【解】 (1)依题意所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线x ＋3y －15＝0的交点， ∵AB 中点为(1,2)，斜率为1，∴AB 垂直平分线方程为y －2＝－(x －1)即y ＝－x ＋3.
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋3x ＋3y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝6，即圆心C (－3,6)．
半径r ＝4＋36＝210.
所求圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2
＝40.
(2)点Q (－1，m )(m ＞0)在圆C 上，∴m ＝12或m ＝0(舍去)，∴Q (－1,12)，
|AQ |＝12，点B 到直线AQ 的距离为4，
所以△QAB 的面积S ＝12AQ ×4＝12×12×4＝24.
图2－2－2
11．(2013·福建师大附中检测)如图2－2－2所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为6 3 m ，行车道总宽度BC 为211 m ，侧墙EA 、FD 高为2 m ，弧顶高MN 为5 m.
(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；
(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【解】 (1)法一 以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴，以1 m 为单位长度建立直角坐标系．
则有E (－33，0)，F (33，0)，M (0,3)．
由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝r 2
∵F (33，0)，M (0,3)都在圆上， ∴⎩⎨⎧ 332＋b 2＝r 2，02＋3－b 2＝r 2，
解得b＝－3，r2＝36.
所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
法二以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，
在Rt△GOE中，|OE|＝33，|GE|＝r，|OG|＝r－3，
由勾股定理，r2＝(33)2＋(r－3)2，解得r＝6，
则圆心G的坐标为(0，－3)，
圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.
(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.
将点P的横坐标x＝11代入圆的方程，得112＋(y＋3)2＝36，得y＝2，或y＝－8(舍)．所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)
答：车辆的限制高度为3.5 m.。