高中数学不等式讲义
2020高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.5.1 比较法讲义 4-5
1.5.1 比较法学习目标：1.理解比较法证明不等式的依据。
2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3。
通过学习比较法证明不等式，培养学生对转化思想的理解和应用．教材整理1 比较法的定义比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种．(1)作差比较法要证明a〉b，只要证明a－b〉0；要证明a〈b，只要证明a－b<0.这种证明不等式的方法，叫做作差比较法．（2）作商比较法若a〉0，b>0,要证明a〉b,只要证明ab>1；要证明b>a，只要证明错误!〉1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法．教材整理2 比较法证明不等式的步骤比较法是证明不等式的基本方法之一，其步骤是先求差(商)，然后变形，最终通过比较作判断．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列t与s的大小关系中正确的是( ）A．t＞s B．t≥sC．t＜s D．t≤s［解析] s－t＝（a＋b2＋1）－（a＋2b)＝（b－1)2≥0，∴s≥t.［答案] D2．已知P＝错误!，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的大小关系是( ）A．P＞0 B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q［解析］∵QP＝(a2－a＋1)（a2＋a＋1）＝(a2＋1）2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.∴P≤Q.［答案］D作差比较法证明不等式a b a b ab a b[精彩点拨] 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式,也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答］法一：化成几个平方和．∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝错误![(a－b）2＋（a－1）2＋（b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.法二：a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－（b＋1)a＋b2－b＋1。
对于a的二次三项式,Δ＝（b＋1)2－4（b2－b＋1）＝－3（b－1）2≤0，∴a2－(b＋1）a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b。
高中数学专题讲义：不等式
高中数学专题讲义:不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），ab＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），ab＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.2.不等式的性质(1)对称性:a＞b⇔b＜a；(2)传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c；(3)可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性:a＞b,c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N,n≥1)；(6)可开方:a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N,n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx有两相异实根有两相等实根x1＝没有实数根＋c＝0 (a＞0)的根x1,x2(x1＜x2)x2＝－b 2aax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1,x2),则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根,则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()解析(1)由不等式的性质,ac2＞bc2⇒a＞b；反之,c＝0时,a＞b ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(4)当a＝b＝0,c≤0时,不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.若a＞b＞0,c＜d＜0,则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bc C.ac＞bd D.ac＜bd解析因为c＜d＜0,所以0＞1c＞1d,两边同乘－1,得－1d＞－1c＞0,又a＞b＞0,故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.两边同乘－1,得ad＜bc.故选B.答案 B3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N等于()A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0] 解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4},∴M∩N＝[0,4).答案 B4.当x＞0时,若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立,则a的最小值为()A.－2B.－3C.－1D.－3 2解析当Δ＝a2－4≤0,即－2≤a≤2时,不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立,当Δ＝a2－4＞0,则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2,所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0, 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞,－3－22)∪(－3＋22,＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ,b ,c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,c －b ＝4－4a ＋a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0,给出下列不等式:①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0,∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,∴2b ＝2＋2a 2,∴b ＝a 2＋1, ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0,∴b >a ,∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b ＜0,故可取a ＝－1,b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0,所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0,ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.法二 由1a ＜1b ＜0,可知b ＜a ＜0.①中,因为a ＋b ＜0,ab ＞0,所以1a ＋b ＜0,1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ,即①正确；②中,因为b ＜a ＜0,所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |,即|a |＋b ＜0,故②错误； ③中,因为b ＜a ＜0,又1a ＜1b ＜0,则－1a ＞－1b ＞0,所以a －1a ＞b －1b ,故③正确；④中,因为b ＜a ＜0,根据y ＝x 2在(－∞,0)上为减函数,可得b 2＞a 2＞0,而y ＝ln x 在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以ln b 2＞ln a 2,故④错误.由以上分析,知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法: ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2,q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2,其中a >2,x ∈R ,则p ,q 的大小关系是( ) A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论:①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由a ＞2,故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4,当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2,所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4,当且仅当x ＝0时取等号,所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ,又c ＜0,所以c a ＞cb ,①正确；构造函数y ＝xc ,∵c ＜0,∴y ＝x c 在(0,＋∞)上是减函数,又a ＞b ＞1,∴a c ＜b c ,知②正确； ∵a ＞b ＞1,c ＜0,∴a －c ＞b －c ＞1,∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c ),知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0, 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1,x 2＝32,∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞,即原不等式的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①当a ＝0时,原不等式化为x ＋1≤0,解得x ≤－1. ②当a ＞0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0,解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1,即a ＜－2时,解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1,即a ＝－2时,解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1,即－2＜a ＜0,解得2a ≤x ≤－1.综上所述,当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时,不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论；若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ,则a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得,A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－3＜x ＜2},所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2},由题意知,－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系可知,a ＝－1,b ＝－2,则a ＋b ＝－3. (2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增,所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2,解得－1＜x ＜2,所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ) A.(－3,0]B.[－3,0)C.[－3,0]D.(－3,0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立, 则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0. 答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0),若对于x ∈[1,3],f (x )＜－m ＋5恒成立,则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立, 则mx 2－mx ＋m －6＜0,即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6,x ∈[1,3].当m ＞0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67,则0＜m ＜67.当m ＜0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6,所以m ＜0. 综上所述,m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0,又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0,所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0,所以m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0命题角度三 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立,则x 的取值范围为( ) A.(－∞,2)∪(3,＋∞) B.(－∞,1)∪(2,＋∞) C.(－∞,1)∪(3,＋∞)D.(1,3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数,记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4, 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立, 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0,且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可,解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解. (2)一元二次不等式在x ∈[a ,b ]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ,b ]恒成立确定x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[－1,4]B.(－∞,－2]∪[5,＋∞)C.(－∞,－1]∪[4,＋∞)D.[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1,若对于任意x ∈[m ,m ＋1],都有f (x )＜0成立,则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4,所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2－3a ≤4,解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ,m ＋1], 都有f (x )＜0成立,则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. [易错防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0,求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时,ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅,要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1,g (x )＝2x 2＋x －1,则f (x ),g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件:①b ＞0＞a ,②0＞a ＞b ,③a ＞0＞b ,④a ＞b ＞0,能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质,由a ＞b ,ab ＞0可得1a ＜1b ,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0},集合B ＝{x |2x <2},则A ∩B 等于( ) A.(1,3) B.(－∞,－1) C.(－1,1)D.(－3,1)解析 依题意,可求得A ＝(－1,3),B ＝(－∞,1),∴A ∩B ＝(－1,1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅,则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时,满足条件.a ≠0时,由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4,所以0≤a ≤4.答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立,若当x ∈[－1,1]时,f (x )＞0恒成立,则b 的取值范围是( ) A.(－1,0)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)∪(2,＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称,即a2＝1,解得a ＝2.又因为f (x )开口向下,所以当x ∈[－1,1]时,f (x )为增函数,所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2, f (x )＞0恒成立,即b 2－b －2＞0恒成立, 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,可知a ＜0,且b a ＝15,将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ,得x 2＋b a x －45＜0,即x 2＋15x －45＜0,解得－1＜x ＜45,故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ,b ∈R 恒成立,即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立, 由二次不等式的性质可得,Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0, 所以(λ＋8)(λ－4)≤0, 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8,4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3),求实数a ,b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0,即a 2－6a －3＜0,解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3),∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3, ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3,b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x ),并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围. 解 (1)由题意得,y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价,所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x ), 定义域为x ∈[0,2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260, 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.下面四个条件中,使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A.a ＞b ＋1 B.a ＞b －1 C.a 2＞b 2D.a 3＞b 3解析 A 项:若a ＞b ＋1,则必有a ＞b ,反之,当a ＝2,b ＝1时,满足a ＞b ,但不能推出a ＞b ＋1,故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项:当a ＝b ＝1时,满足a ＞b －1,反之,由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项:当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但a ＞b 不成立；D 项:a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件,综上所述答案选A. 答案 A12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A.{x |x <－ln 2或x >ln 3} B.{x |ln 2<x <ln 3} C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0,可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3,故选D. 法二 由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3,令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3,故选D.答案 D13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2,由题知:Δ＝a 2＋8＞0, 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根,于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0,即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2,1a ,所以当0＜a ＜12时,2＜1a ,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时,原不等式的解集是∅；当a ＞12时,1a ＜2,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时,原不等式为－(x －2)＜0,解得x ＞2, 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0, 由于1a ＜2,故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述,当a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时,不等式的解集为∅；当a ＞12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ,y ),使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件 由x ,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x ,y 的约束条件 目标函数 关于x ,y 的解析式 线性目标函数 关于x ,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ,y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) (5)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.下列各点中,不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2,－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合,故选C. 答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分,x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －55.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6,则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ,k )时,z ＝2x ＋y 取得最小值,即3k ＝－6,所以k ＝－2.答案 －2考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示,平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12,区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2,故所求概率P＝π212＝π24.(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则－2m＜2,则m＞－1,由⎩⎨⎧x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎨⎧x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m,1＋m).由⎩⎨⎧x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝23－43m，y＝23＋23m，即B⎝⎛⎭⎪⎫23－43m，23＋23m,所围成的区域为△ABC,则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43,解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.答案(1)π24(2)B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域,注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点.【训练1】若不等式组⎩⎨⎧x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分,则k的值是()A.73 B.37 C.43 D.34解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时,直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时,52＝k 2＋43,所以k ＝73. 答案 A考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1,－1)时,z 取得最小值,即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx 是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二 求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 如图所示,目标函数z ＝2x －y 取最大值2,即y ＝2x －2时,画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域,由于mx －y ≤0过定点(0,0),要使z ＝2x －y 取最大值2,则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2,2),因此直线mx －y ＝0过点A (2,2),故有2m －2＝0,解得m ＝1. 答案 C规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数的几何意义求解,常见的目标函数有:①截距型:形如z ＝ax ＋by ；②距离型:形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型:形如z ＝y －bx －a. (2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中.求解步骤为:①注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解. 【训练2】 (1)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a≤1时,z可取得最小值,此时a≥1或a≤－1.又直线y＝－1a x＋za过A点时,z取得最小值,因此a－12＋a×a＋12＝7,化简得a2＋2a－15＝0,解得a＝3或a＝－5,当a＝3时,经检验知满足题意；当a＝－5时,目标函数z＝x＋ay过点A时取得最大值,不满足题意,故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m＝2x＋y,由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时,直线y＝－2x＋m的纵截距最大,此时m最大,故z最大.由⎩⎨⎧2x－y＝0，x－2y＋3＝0，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝2，即A(1,2).代入目标函数z＝(2)2x＋y得,z＝(2)2×1＋2＝4.答案(1)B(2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨,每天所获利润为z 万元,则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D[思想方法]1.求最值:求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式:y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件；写出要研究的函数,转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时,要注意:当b >0时,截距zb 取最大值时,z 也取最大值；截距z b 取最小值时,z 也取最小值；当b <0时,截距z b 取最大值时,z 取最小值；截距zb 取最小值时,z 取最大值.基础巩固题组 (建议用时:30分钟)一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域,可知C 正确.法二 结合图形,由于点(0,0)和(0,4)都适合原不等式,所以点(0,0)和(0,4)必在区域内,故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ,由题意知x B ＝1,x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12,所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ,若(a ,b )∈D ,则z＝2a －3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当a ＝－2,b ＝0,z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是()A.[－5,3]B.[3,5]C.[－3,3]D.[－3,5]解析 作出如图所示的可行域及l 0:3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3,故选D.答案 D5.x,y 满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或－1 B.2或12 C.2或1 D.2或－1解析如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a＞0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝2；当a＜0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝－1.答案 D6.若函数y＝2x图象上存在点(x,y)满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为() A.12 B.1 C.32 D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由图可知,当m≤1时,函数y＝2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x,y满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1,则m的值是()A.－209 B.1 C.2 D.5解析作出可行域,如图所示的阴影部分.化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z,由图可知,当直线y＝mx＋z过A 点时,直线在y 轴的截距最大,由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2),∴2－m ＝1,解得m ＝1.故选B. 答案 B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方,由图知C 、D 间的距离最小,此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1),此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5,故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ,得y ＝－12x ＋12z ,12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距,要使z 最小,需使12z 最小,易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时,z 最小,最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O是坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点,则OM→·ON→的最大值是________.解析依题意,得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,其中A⎝⎛⎭⎪⎫12，12,B⎝⎛⎭⎪⎫12，32,C(1,1).设z＝OM→·ON→＝2x＋y,当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时,z＝2x＋y取得最大值3.答案 311.已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3,则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y),则由待定系数法可得⎩⎨⎧a＋b＝2，a－b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x＋y）＜12，5＜52（x－y）＜152，所以两式相加可得z∈(3,8).法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3表示的可行域,如图中阴影部分所示.平移直线2x－3y＝0,当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时,z取得最小值,z min＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1,－2)时,z取得最大值,z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3,8).答案(3,8)12.已知实数x,y满足⎩⎨⎧2x＋y≥0，x－y≥0，0≤x≤a，设b＝x－2y,若b的最小值为－2,则b的最大值为________.解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0:x －2y ＝0,∵y ＝x 2－b2,∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值,b min ＝－a , 又b min ＝－2,∴a ＝2,当l 0平移至B (a ,－2a )时, b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析 设每天生产甲种产品x 桶,乙种产品y 桶,则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元,则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l :300x ＋400y ＝0,即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ,从图中可知,当直线过点M 时, 目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4),∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元),故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ,y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12 D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示,则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(1,1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点⎝⎛⎭⎪⎫13，43时,直线AP的斜率最小,此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12,故选B.答案 B15.已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是________.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y －3＝0的斜率,即－a<－12,∴a>12.答案⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x,y满足x2＋y2≤1,则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析∵x2＋y2≤1,∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0,∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y,如图,设OA与直线－3x－4y＝0垂直,∴直线OA的方程为y＝43x,。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
高中数学第七章不等式专题讲义【精品】
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式知 识 梳 理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），a b ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.2.不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ≥b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒an ＞bn(n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb(n ∈N ，n ≥2). 3.三个“二次”间的关系的图象＋第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念第3讲 基本不等式及其应用1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).第1讲 不等式的性质与一元二次不等式一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x )B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b 成立的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个3.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3)B.(－∞，－1)C.(－1，1)D.(－3，1)4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4}B.{a |0≤a ＜4}C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定6.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要条件是( ) A.a >b ＋1B.a >b －1C.a 2>b 2D.a 3>b 37. (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4] B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞) D.[－2，5]二、填空题8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.9.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________. 10.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 11.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______. 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固题组一、选择题1.(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A.0B.3C.4D.52.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A.1B.12C.13D.143.(2017·广州二测)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a －3b 的最小值是( )A.－4B.－1C.1D.44.(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A.4B.9C.10D.125.x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－16.(浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影.由区域⎩⎨⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A.2 2B.4C.3 2D.67.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A.－209B.1C.2D.58.(2017·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322 B. 5C.92D.5二、填空题9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.11.若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________.12.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________.能力提升题组13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元B.2 400元C.2 800元D.3 100元14.(2017·许昌监测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( )A.－5B.－12 C.12D.515.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________.第3讲 基本不等式及其应用基础巩固题组一、选择题1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B.sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C.x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＜1(x ∈R )2.若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]3.(2016·合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A.7B.8C.9D.104.若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A.1ab ≤14 B.1a ＋1b ≤1 C.ab ≥2D.a 2＋b 2≥85.(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B.2C.2 2D.46.若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43B.53C.2D.547.(2017·安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.4B.22C.8D.168.(2017·福州六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C.1D.2二、填空题9.正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.10.已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________. 11.若对于任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.能力提升题组13.已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A.9B.12C.18D.2414.设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92B.72C.22＋12D.22－1215.点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________. 16.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________.。
高中数学知识点总结_第六章不等式
高中数学第六章-不等式考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│§06. 不等式知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：<-⇔ab=⇔⇔>>-=-a<;0b;.babababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）a⇔>（对称性）bba<（2）c⇒>>,（传递性）a>bcba（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bcac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）3.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +≤（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；○1如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.○2 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号）0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0||;||a x a x a x ax a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或（7）||||||||||||,bababaRba+≤±≤-∈则、若4.几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么2112a ba b+≤+（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，222(22a b a bab++≤≤（当a = b时，222(22a b a bab++==）),,,(332222时取等cbaRcbacbacba==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式：22122221)...(1...nnaaanaaa+++≥+++注：例如：22222()()()ac bd a b c d+≤++.常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1nn n n n n n n n n-==-≥++--1)n==≥（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f xf f++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩（3）无理不等式：转化为有理不等式求解()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域1 ⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ○2○3（4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；○1○2应用化归思想等价转化○3⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x +=+≥与同号，故取等。
高中数学讲义：利用函数性质与图像解不等式
利⽤函数性质与图像解不等式高中阶段解不等式大体上分为两类，一类是利用不等式性质直接解出解集（如二次不等式，分式不等式，指对数不等式等）；一类是利用函数的性质，尤其是函数的单调性进行运算。
相比而言后者往往需要构造函数，利用函数单调性求解，考验学生的观察能力和运用条件能力，难度较大。
本章节以一些典型例题来说明处理这类问题的常规思路。
一、基础知识：（一）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x "Î<Û<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x $Î=，则()0,x a x Î时，()0f x <;()0,x x b Î时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x æö-=ç÷èø4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。
所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析。
在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。
两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数。
在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图像只是辅助手段。
所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点。
高中数学讲义：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
高中数学复习讲义 第六章 不等式
高中数学复习讲义第六章不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。
同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
第1课基本不等式【考点导读】1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】1.“a >b >0”是“ab <222a b +”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为12-3.已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为161 4.已知lg lg 1x y +=，则52x y+的最小值是2 【范例导析】 例1.已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 分析：由于450x -<，所以首先要调整符号. 解：∵54x <∴540x -> ∴y=4x-2+145x -=154354x x ⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭≤-2+3=1 当且仅当15454x x-=-，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max 1y =. 例2.（1）已知a ，b 为正常数，x 、y 为正实数，且1a b+=x y，求x+y 的最小值。
数学高中不等式知识点有哪些数学知识点
数学高中不等式知识点_有哪些数学知识点高中数学不等式知识点总结1.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2.性质：①如果xy，那么yz;如果yy;(对称性) p=""②如果xy，yz;那么xz;(传递性)③如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④如果xy，z0，那么xzyz;如果xy，z0，那么xzyz;(乘法原则) p=""⑤如果xy，mn，那么x+my+n;(充分不必要条件)⑥如果xy0，mn0，那么xmyn;⑦如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)，x的n次幂y的n次幂(n为负数)。
p=""或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
4.不等式考点：①解一元一次不等式(组)②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集注：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。
(移项要变号)不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。
(相当系数化1，这是得正数才能使用)不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)高中数学不等式：柯西不等式一、一般形式((ai))((bi)) aibi)等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
高中数学基本不等式知识点
高中数学基本不等式知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：abba②传递性:ab,bcac③可加性:aba+cb+c④可积性:ab,c0acbc⑤加法法则:ab,cda+cb+d⑥乘法法则：ab0,cd0acbd⑦乘方法则：ab0,anbn(nN)⑧开方法则：ab02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、bR,那么a2+b22ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、bR+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论(1)如果积某y是定值P，那么当某=y时，和某+y有最小值2;(2)如果和某+y是定值S，那么当某=y时，和某y有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。
综合法的放缩经常用到均值不等式。
4.不等式的解法(1)不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。
提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2)不等式a某b的解法①当a0时不等式的解集是{某|某b/a}; ②当a0时不等式的解集是{某|某(3)一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(4)绝对值不等式|某|0)的解集是{某|-aa(a0)的解集是{某|某-a或某a｝，几何表示为：oo-a0a小结：解绝对值不等式的关键是-去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：(1)定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号;(2)公式法：|f(某)|af(某)a或f(某)-a;|f(某)|a-a(3)平方法：|f(某)|a(a0)f2(某)a2;|f(某)|a(a0)f2(某)a2;(4)几何意义(5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(某)0(或0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式等式性质与不等式性质讲义
最新课程标准：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．知识点一实数大小比较１．文字叙述如果a—b是正数，那么a>b；如果a—b等于0，那么a＝b；如果a—b是负数，那么a<b，反之也成立．２．符号表示a—b>0⇔a>b；a—b＝0⇔a＝b；a—b<0⇔a<b.错误!比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a —b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a —b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意１对称性a>b⇔b<a可逆２传递性a>b，b>c⇒a>c３可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆４可乘性错误!⇒ac>bc c的符号错误!⇒ac<bc５同向可加性错误!⇒a＋c>b＋d同向错误!（１）性质３是移项的依据．不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．即a ＋b>c ⇒a>c —Ｂ．性质３是可逆性的，即a>b ⇔a ＋c>b ＋Ｃ．（２）注意不等式的单向性和双向性．性质１和３是双向的，其余的在一般情况下是不可逆的．（３）在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．要克服“想当然”“显然成立”的思维定势．[教材解难]教材P４0思考等式有下面的基本性质：性质１如果a＝b，那么b＝a；性质２如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质３如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质４如果a＝b，那么ac＝bc；性质５如果a＝b，c≠0，那么错误!＝错误!.[基础自测]１．大桥桥头竖立的“限重４0吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系（）Ａ．T<４0 Ｂ．T>４0Ｃ．T≤４0 Ｄ．T≥４0解析：“限重４0吨”是不超过４0吨的意思．答案：C２．设M＝x２，N＝—x—１，则M与N的大小关系是（）Ａ．M>NＢ．M＝NＣ．M<NＤ．与x有关解析：因为M—N＝x２＋x＋１＝错误!２＋错误!>0，所以M>N.答案：A３．已知x<a<0，则一定成立的不等式是（）Ａ．x２<a２<0 Ｂ．x２>ax>a２Ｃ．x２<ax<0 Ｄ．x２>a２>ax解析：因为x<a<0，不等号两边同时乘a，则ax>a２；不等号两边同时乘x，则x２>ax，故x２>ax>a２.答案：B４．若１≤a≤５，—１≤b≤２，则a—b的取值范围为________．解析：因为—１≤b≤２，所以—２≤—b≤１，又１≤a≤５，所以—１≤a—b≤6．答案：—１≤a—b≤6题型一比较大小[教材P３8例１]例１比较（x＋２）（x＋３）和（x＋１）（x＋４）的大小．【解析】因为（x＋２）（x＋３）—（x＋１）（x＋４）＝（x２＋５x＋6）—（x２＋５x＋４）＝２>0，所以（x＋２）（x＋３）>（x＋１）（x＋４）．错误!通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.教材反思用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练１若f（x）＝３x２—x＋１，g（x）＝２x２＋x—１，则f（x）与g（x）的大小关系是（）Ａ．f（x）<g（x）Ｂ．f（x）＝g（x）Ｃ．f（x）>g（x）Ｄ．随x值变化而变化解析：f（x）—g（x）＝（３x２—x＋１）—（２x２＋x—１）＝x２—２x＋２＝（x—１）２＋１>0，所以f（x）>g（x）．故选Ｃ．答案：C错误!→错误!→错误!→错误!题型二不等式的性质[经典例题]错误!→错误!例２对于实数a、b、c，有下列说法：１若a>b，则ac<bc；２若ac２>bc２，则a>b；３若a<b<0，则a２>ab>b２；４若c>a>b>0，则错误!>错误!；５若a>b，错误!>错误!，则a>0，b<0．其中正确的个数是（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５【解析】对于１，令c＝0，则有ac＝bc.１错．对于２，由ac２>bc２，知c≠0，∴c２>0⇒a>b.２对．对于３，由a<b<0，两边同乘以a得a２>ab，两边同乘以b得ab>b２，∴a２>ab>b２.３对．对于４，错误!⇒0<c—a<c—b⇒错误!⇒错误!>错误!.４对．对于５，错误!⇒错误!⇒a>0，b<0．５对．故选Ｃ．答案：C方法归纳（１）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（２）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．跟踪训练２（１）已知a<b，那么下列式子中，错误的是（）A.４a<４bＢ．—４a<—４bＣ．a＋４<b＋４Ｄ．a—４<b—４（２）对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）Ａ．若a>b，c≠0，则ac>bcＢ．若a>b，则ac２>bc２Ｃ．若ac２>bc２，则a>bＤ．若a>b，则错误!<错误!解析：（１）根据不等式的性质，a<b,４>0⇒４a<４b，A项正确；a<b，—４<0⇒—４a>—４b，B项错误；a<b⇒a＋４<b＋４，C项正确；a<b⇒a—４<b—４，D项正确．利用不等式的性质，解题关键找准使不等式成立的条件．（２）对于选项A，当c<0时，不正确；对于选项B，当c＝0时，不正确；对于选项C，∵ac２>bc２，∴c≠0，∴c２>0，∴一定有a>b.故选项C正确；对于选项D，当a>0，b<0时，不正确．答案：（１）B （２）C题型三利用不等式性质求范围[经典例题]例３已知—２<a≤３,１≤b<２，试求下列代数式的取值范围：（１）|a|；（２）a＋b；（３）a—b；（４）２a—３b.【解析】（１）|a|∈[0,３]；（２）—１<a＋b<５；（３）依题意得—２<a≤３，—２<—b≤—１，相加得—４<a—b≤２；（４）由—２<a≤３得—４<２a≤6１，由１≤b<２得—6<—３b≤—３２，由１２得，—１0<２a—３b≤３．错误!运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向.方法归纳利用不等式性质求范围的一般思路（１）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（２）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（３）结合不等式的传递性进行求解．跟踪训练３已知实数x，y满足：１<x<２<y<３，（１）求xy的取值范围；（２）求x—２y的取值范围．解析：（１）∵１<x<２<y<３，∴１<x<２,２<y<３，则２<xy<6，则xy的取值范围是（２,6）．（２）由（１）知１<x<２,２<y<３，从而—6<—２y<—４，则—５<x—２y<—２，即x—２y的取值范围是（—５，—２）．错误!（１）根据不等式的性质6可直接求解；（２）求出—２y的取值范围后，利用不等式的性质５即可求x —２y的取值范围.课时作业7一、选择题１．若A＝a２＋３ab，B＝４ab—b２，则A、B的大小关系是（）Ａ．A≤BＢ．A≥BＣ．A<B或A>BＤ．A>B解析：因为A—B＝a２＋３ab—（４ab—b２）＝错误!２＋错误!b２≥0，所以A≥B.答案：B２．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是（）Ａ．若a>b，c>b，则a>cＢ．若a>—b，则c—a<c＋bＣ．若a>b，c<d，则错误!>错误!Ｄ．若a２>b２，则—a<—b解析：选项A，若a＝４，b＝２，c＝５，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则如a＝—１，b＝0时不成立．答案：B３．若—１<α<β<１，则下列各式中恒成立的是（）Ａ．—２<α—β<0 Ｂ．—２<α—β<—１Ｃ．—１<α—β<0 Ｄ．—１<α—β<１解析：∵—１<β<１，∴—１<—β<１．又—１<α<１，∴—２<α＋（—β）<２，又α<β，∴α—β<0，即—２<α—β<0．故选Ａ．答案：A４．有四个不等式：１|a|>|b|；２a<b；３a＋b<ab；４a３>b３.若错误!<错误!<0，则不正确的不等式的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：由错误!<错误!<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，１不正确；a>b，２不正确；a ＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，３正确；a３>b３，４正确．故不正确的不等式的个数为２．答案：C二、填空题５．已知a，b均为实数，则（a＋３）（a—５）________（a＋２）（a—４）（填“>”“<”或“＝”）．解析：因为（a＋３）（a—５）—（a＋２）（a—４）＝（a２—２a—１５）—（a２—２a—8）＝—7<0，所以（a＋３）（a—５）<（a＋２）（a—４）．答案：<6．如果a>b，那么c—２a与c—２b中较大的是________．解析：c—２a—（c—２b）＝２b—２a＝２（b—a）<0．答案：c—２b１a>b⇒a２>b２；２a２>b２⇒a>b；３a>b⇒错误!<１；４a>b，c>d⇒ac>bd；５a>b，c>d⇒a—c>b—d.其中错误的命题是________（填写相应序号）．解析：由性质7可知，只有当a>b>0时，a２>b２才成立，故１２都错误；对于３，只有当a>0且a>b时，错误!<１才成立，故３错误；由性质6可知，只有当a>b>0，c>d>0时，ac>bd才成立，故４错误；对于５，由c>d得—d>—c，从而a—d>b—c，故５错误．答案：１２３４５三、解答题8．已知x<１，比较x３—１与２x２—２x的大小．解析：x３—１—（２x２—２x）＝x３—２x２＋２x—１＝（x３—x２）—（x２—２x＋１）＝x２（x—１）—（x—１）２＝（x—１）（x２—x＋１）＝（x—１）·错误!，因为x<１，所以x—１<0，又因为错误!２＋错误!>0，所以（x—１）错误!<0，所以x３—１<２x２—２x.9．若bc—ad≥0，bd>0．求证：错误!≤错误!.证明：因为bc—ad≥0，所以ad≤bc，因为bd>0，所以错误!≤错误!，所以错误!＋１≤错误!＋１，所以错误!≤错误!.[尖子生题库]１0．设f（x）＝ax２＋bx,１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，求f（—２）的取值范围．解析：方法一设f（—２）＝mf（—１）＋nf（１）（m，n为待定系数），则４a—２b＝m（a—b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n—m）b，于是得错误!，解得错误!∴f（—２）＝３f（—１）＋f（１）．又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４．∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，故f（—２）的取值范围是[５,１0]．方法二由错误!，得错误!，∴f（—２）＝４a—２b＝３f（—１）＋f（１）．又∵１≤f（—１）≤２,２≤f（１）≤４，∴５≤３f（—１）＋f（１）≤１0，故f（—２）的取值范围是[５,１0].。
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳
高中数学不等式知识点归纳主要包括以下几个方面：
1. 不等式的概念和性质：不等式是数学中比较基础的概念，它表示两个数之间的大小关系。
不等式的性质包括：对称性、传递性、加法法则、乘法法则等。
这些性质在解决不等式问题时非常重要。
2. 一元一次不等式：一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过移项、合并同类项、化系数为1等方法，将其转化为一元一次方程，然后求解。
3. 一元二次不等式：一元二次不等式是含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过因式分解、配方、判别式等方法，将其转化为一元二次方程，然后求解。
4. 分式不等式：分式不等式是含有分式的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过通分、分子分母同号或异号等方法，将其转化为整式不等式，然后求解。
5. 绝对值不等式：绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
解决这类不等式问题，可以通过绝对值的定义，将其转化为分段函数，然后分别求解每一段的情况。
6. 不等式的应用：不等式在实际生活中有广泛的应用，如优化问题、最值问题、范围问题等。
在解决这些问题时，需要根据问题的实际情况，建立相应的不等式模型，然后求解。
以上是高中数学不等式知识点的主要归纳，希望对你有所帮助。
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6.1不等式的概念和性质〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些概念解决一些简单问题.〖复习建议〗不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。
〖双基回顾〗常见的性质有8条： 1、反身性（也叫对称性）：a ＞b ⇔b ＜a 2、传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c 3、平移性：a ＞b ⇔a +c ＞b +c 4、伸缩性：⎩⎨⎧>>0c b a ⇔ac ＞bc ；⎩⎨⎧<>0c ba ⇔ac ＜bc5、乘方性：a ＞b ≥0⇔a n ＞b n （n ∈N ，n ≥2）6、开方性：a ＞b ≥0⇔na ＞nb （n ∈N ，n ≥2）7、叠加性：a ＞b ，c ＞d ⇔a +c ＞b +d 8、叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0⇔a ·c ＞b ·d一、知识点训练：1、ba b a 11〈⇔〉成立的充要条件为2、用“＞”“＜”“＝”填空：(1)a <b <c <0则ac bc ；a c bc； (2) 0<a <b <c <1，则a c b c ；a b a c ；log c a log c b ；a lg c b lg c ；a r c si na a r c si nb .二、典型例题分析：1、比较下面各小题中a 与b 的大小：(1)a =m 3－m 2n －3mn 2 与 b =2m 2n －6mn 2＋n 3 (2)a =3x 2－x ＋1与b =2x 2＋x －1 (3)10231=-=b a 与 .2、bxax x f -=)(，1≤)1(f ≤2，13≤)2(f ≤20，求)3(f 的取值范围. 三、课堂练习：1、若b a 〉，则下列不等式成立的是………………………………………………………………… （ ） (A )ba 11〈 (B ))0(22≠〉c bc ac (C ) 0)lg(〉-b a (D ) b a lg lg 〉 2、设d c b a ≥〉,，那么下列不等式成立的是……………………………………………………… （ ） (A )22)()(c b d a -〈- (B ) 22)()(c b d a -≥- (C ) 22)()(c b d a -≤- (D ) 以上都不对四、课堂小结：1、不等式的基本性质是解不等式与证明不等式的理论依据，必须透彻理解，特别要注意同向不等式可相加，也可相乘，但相乘时，两个不等式都需大于零.2、处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式，如果需要去分母，一定要考虑所乘的代数式的正负.3、作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意.五、能力测试： 姓名 得分1、下列命题中正确的是……………………………………………………………………………… ( )(A )22,b a b a 〉〉则若 (B ) b a b a 〉〉则若,22(C ) 22,b a b a 〉〉则若 (D ) 22,b a b a 〉〉则若2、设011〈〈ba ，则有 …………………………………………………………………………………（ ） (A ) 22b a 〉 (B ) ab b a 2〉+ (C ) 2b ab 〈 (D ) b a b a +〉+223、若0,=++〉〉c b a c b a ,则有…………………………………………………………………… ( ) (A ) ac ab 〉 (B ) bc ac 〉 (C ) bc ab 〉 (D )以上皆错4、若0,〉〉〉b a bd ac ,则 ………………………………………………………………………………( ) (A ) 0〉〉d c (B ) d c 〉 (C ) d c 〈 (D )c 、d 大小不确定5、以下命题：⑴a >b ⇒|a |>b ⑵a >b ⇒a 2>b 2 ⑶|a |>b ⇒ a >b ⑷a >|b | ⇒ a >b 正确的个数有………………………………………………………………………………………（ ） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个6、已知a ＞2,比较12++=a ab 与2的大小.7、比较下列各数的大小： (1))11(log ),1(log an a m a a +=+= （提示：分a ＞1，a ＜1讨论） (2)n n a -+=1与1--=n n b （提示：分子有理化后再比较）8、如果二次函数)(x f y =的图象过原点，并且1≤)1(-f ≤2,3≤)1(f ≤4,求)2(-f 的取值范围.6.2不等式的解法——分式与高次〖考纲要求〗在熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法的基础上初步分式与高次不等式的解法. 〖复习建议〗分式与高次不等式的一般解法：序轴标根法，能注意到其中的一些特殊点与解集的关系，能注意到区间端点与解集的关系.一、知识点训练：1、下列不等式与012≤+x x同解的是……………………………………………………………（ ） (A) 01≤+xx (B)0)1(≤+x x(C)0)1lg(≤+x (D)21|1|≤+x x2、不等式(x －2)2·(x －1)>0的解集为 .3、不等式(x ＋1) ·(x －1)2≤0的解集为 .4、不等式x x<1的解集为 . 二、典型例题分析：1、解不等式：(x －1)·(x －2)·(x －3)·(x －4)>1202、解不等式：0)5)(1)(3()2(2>-+++x x x x 3、解不等式：232532≥-+-x x x 4、若不等式6163922<+--+<-x x mx x 对一切x 恒成立,求实数m 的范围 5、求适合不等式11)1(02<+-<x x 的整数x 的值. 6、解关于x 的不等式a x x-<-11三、课堂练习：1、不等式1213≥--x x 的解集为……………………………………………………………………（ ） (A){x |43≤x ≤2} (B) {x |43≤x <2}(C) {x |x >2或者x ≤43} (D){x |x ＜2}2、不等式21≥+x x的解集为 . 3、如果不等式1122+-->++-x x b x x x a x 的解集为（21，1），则b a ⋅= .四、课堂小结：分式与高次不等式的解题基础是一元二次不等式的解法，常用方法是序轴标根法，但是要注意标根时的起点位置.五、能力测试：1、与不等式023≥--xx 同解的不等式是……………………………………………………………（ ）(A)(x －3)(2－x )≥0 (B)lg(x －2)≤0 (C) 032≥--x x(D)(x －3)(2－x )>02、如果x 1<x 2<…<x n ，n ≥2,并且{x |(x －x 1)(x －x 2)…(x －x n )>0}⊃{x |x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2<0}，那么自然数n …………………………………………………………………………………………………（ ） (A)等于2 (B)是大于2的奇数(C) 是大于2的偶数 (D)是大于1的任意自然数 3、不等式(x －1)(x ＋2)(3－x )>0的解集为 .4、不等式01)3()4)(1(2≤+---x x x x 的解集为 . 5、a >0,b >0，那么不等式a xb <<-1的解集为 . 6、已知不等式11<-x ax的解集为{x |x <1或x >2}，那么a = . 7、解不等式：x xx x x <-+-+222322（提示：)1)(2(2223++-=---x x x x x x ）8、不等式)(122322N n n x x x x ∈>++++对一切x 都成立，求n 的值.9、解关于x 的不等式)0( 12)1(>>--a x x a6.3不等式的证明—比较法〖考纲要求〗掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题. 〖复习建议〗掌握求差法与求商法比较两个数的大小。
〖双基回顾〗1、求差法：a ＞b ⇔ a －b ＞02、求商法：a ＞b ＞0⇔01>>b ba并且 3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加（正数可以相乘）；异向不等式可以相减；一、知识点训练：1、已知下列不等式:)(23)1(2R x x x ∈〉+ ),()2(322355R b a b a b a b a ∈+≥+ )1(2)3(22--≥+b a b a 其中正确的个数为 ……………………………………………………………………………………( ) (A )0 (B )1 (C ) 2 (D ) 3 2、1＞a ＞b ＞0，那么…………………………………………………………………………………（ ）(A )a ＞2b a +＞ab ＞b (B ) b ＞2ba +＞ab ＞a (C ) a ＞2b a +＞b ＞ab (D ) 2b a +＞ab ＞a ＞b3、如果－2π＜b ＜a ＜2π，则b －a 的取值范围是……………………………………………………（ ）(A )－π＜b －a ＜0 (B ) －π＜b －a ＜π (C ) －2π＜b －a ＜0 (D ) －2π＜b －a ＜2π4、已知244,2a aa +≠那么 1.（填“>”或者“<”）二、典型例题分析：1、求证：若a 、b >0,n >1,11--+≥+n n nnab b ab a 则2、a 、b 、c 、d 、m 、n 全是正数，比较p =cd ab +q =ndm b nc ma +⋅+的大小. 3、比较)0(b a a b b a baba〈〈与的大小 4、a ∈R ，函数122)(+-=xa x f (1)判断此函数的单调性。
(2)F(n )=1+n n ,当函数122)(+-=x a x f 为奇函数时，比较)(),(n F n f 的大小.三、课堂小结：比较法是证明不等式最常用最基本的方法.当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。
当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证1)0,0(,>>>>ba b a b a 可证四、能力测试： 姓名 得分1、不等式：⑴x 3＋3>2x ；⑵a 5＋b 5<a 3b 2＋a 2b 3；⑶a 2＋b 2≥2(a ＋b －1)；⑷2||≥+abb a 恒成立的有( )(A )⑴、⑵ (B ) ⑴、⑶ (C ) ⑶、⑷ (D ) ⑴、⑵、⑶、⑷2、 对R x ∈都成立的不等式是…………………………………………………………………… ( )(A )x x 2lg )1lg(2≥+ (B ) x x 212>+ (C )1112<+x (D )x x 442≥+ 3、0＜a ＜1，F=a 2，G=a +1，H=a-11，那么F 、G 、H 中最小的是…………………………（ ） (A )F (B ) G (C ) H (D ) 不能确定4、a >b >0，则下列不等式恒成立的是………………………………………………………………（ ）(A )a b b a b a >++22 (B )222211ab a b >++ (C )b b a a 11+>+ (D ) a a >b b 5、x >100，那么lg 2x ,lg x 2,lglg x 从大到小的顺序为 . 6、a ＞0，b ＞0，a ＋b =1，比较M =x 2＋y 2与N =(ax ＋by )2＋(bx ＋ay )2的大小. 7、比较),,(11+++∈∈++R y x N n xy y x y x n n n n 与大小8、求证：2332244)())((b a b a b a +≥++9、比较A =a 6＋a 4＋a 2＋1与B =a 5＋a 3＋a 的大小.（提示：分a ＞1，a =1，a ＜1讨论） 证明：a ＞1时，A －B =a 6＋a 4＋a 2＋1－（a 5＋a 3＋a ）=(a 6－a 5)＋(a 4－a 3)＋(a 2－a )＋16.4不等式的应用1〖考纲要求〗1、熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程等中的有关问题.2、在掌握一次函数单调性、二次函数的最值以及在定区间上的最值问题，学会变量的转换，掌握：恒正、恒负、解集为R 、解集为空集的实际含义并且会转化3、掌握 “两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数”，并能运用此定理解决一些问题. 〖复习建议〗重要不等式的功能在于和积互化，要注意三个条件：一正、二定、三相等的检验。