高中数学第二章函数章末分层突破学案新人教B版必修1 (61)

3．1.2 瞬时变化率——导数(二)
学习目标 1.理解函数的瞬时变化率——导数的准确定义和极限形式的意义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．
知识点一导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为____________________．
知识点二导数与导函数的关系
思考导函数f′(x)和f(x)在一点处的导数f′(x0)有何关系？
梳理(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内________都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是________________的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作________．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的____________．
类型一求函数的导函数
例1 求函数y＝－x2＋3x的导函数．
反思与感悟利用导数的定义求函数的导数是求函数的导数的基本方法，此方法还能加深对
导数定义的理解，而求某一点处的导数时，一般是先求出导函数，再计算这点的导数值．
跟踪训练1 求函数f (x )＝x －1x
的导函数．
类型二 导数几何意义的应用
命题角度1 求曲线过某点的切线方程
例2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，74
)的切线方程．
反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x 0，y 0)；
(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－y 0x 1－x 0
； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程．
跟踪训练2 求过点(－1,0)与曲线y ＝x 2
＋x ＋1相切的直线方程．
命题角度2 导数几何意义在图象上的应用
例3 已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝k AB ，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
反思与感悟 (1)弄清导数与切线的斜率及倾斜角的关系是解答此类题的关键．
(2)导数与函数图象升降的关系
①若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数存在且f ′(x 0)>0(即切线的斜率大于零)，则函数y ＝f (x )
在x ＝x 0附近的图象是上升的；若f ′(x 0)<0(即切线的斜率小于零)，
则函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的图象是下降的；
②导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢．
跟踪训练3 若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．
1．已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．
2．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)＝________.
3．已知y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a ＝________.
4．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________.
5．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝________.
1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f ′(x 0)是其导数y ＝f ′(x )在x ＝x 0处的一个函数值．
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．
提醒：完成作业 第3章 §3.1 3.1.2(二)
答案精析
问题导学
知识点一
斜率 f ′(x 0)
y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)
知识点二
思考 函数f (x )在一点处的导数f ′(x 0)是f (x )的导函数f ′(x )在x ＝x 0的函数值． f (x )在x ＝x 0的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 梳理 (1)任一点 自变量x f ′(x ) (2)函数值 题型探究
例1 解 ∵Δy Δx
＝－x ＋Δx 2＋3x ＋Δx －－x 2＋3
x Δx ＝3－2x －Δx ，
∴当Δx →0时，3－2x －Δx →3－2x ， 故函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3－2x . 跟踪训练1 解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )－
1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝Δx ＋
Δx x x ＋Δx ， ∴Δy Δx ＝1＋1x
x ＋Δx ， ∴当Δx →0时，1＋1x x ＋Δx →1＋1x 2， ∴函数f (x )的导函数为f ′(x )＝1＋1x 2. 例2 解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14
x 20)， 则Δy Δx ＝14x 0＋Δx 2－14x 2
0Δx
＝12x 0＋14
Δx . 当Δx →0时，Δy Δx ＝12x 0＋14Δx 无限趋近于12
x 0， 所以切线的斜率为12
x 0.
则14x 20－74x 0－4＝12
x 0， 即x 20－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1.
即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，14
)， 故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝12
(x －1)， 化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程．
跟踪训练2 解 设切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)， Δy Δx ＝x 0＋Δx 2＋x 0＋Δx ＋1－
x 20＋x 0＋Δx
＝2x 0＋1＋Δx .
当Δx →0时，Δy Δx
＝2x 0＋1＋Δx 无限趋近于2x 0＋1， ∴切线的斜率为2x 0＋1，
则k ＝x 2
0＋x 0＋－0x 0－－＝x 2
0＋x 0＋1x 0＋1， ∴2x 0＋1＝x 2
0＋x 0＋1x 0＋1
. 解得x 0＝0或x 0＝－2.
当x 0＝0时，切线斜率k ＝1，过(－1,0)的切线方程为 y －0＝x ＋1，即x －y ＋1＝0；
当x 0＝－2时，切线斜率k ＝－3，过(－1,0)的切线方程为y －0＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.
故所求切线方程为x －y ＋1＝0或3x ＋y ＋3＝0. 例3 k 1>k 3>k 2
解析 由导数的几何意义，可得k 1>k 2.
∵k 3＝f －f
2－1表示割线AB 的斜率，
∴k 1>k 3>k 2.
跟踪训练3 ①
当堂训练
1．f ′(x A )<f ′(x B ) 2.1 3.2 4.3 5.1。