2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册课时分层作业：2.5.1直线与圆的位置关系

课时分层作业（十八）
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是（）
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心D．相离
B［∵圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!＜1，且直线y＝x＋1不过圆心（0,0），∴直线与圆相交但直线不过圆心．]
2．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( ）
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
B[设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0,直线与圆（x－1）2＋y2＝4相切，则圆心（1,0)到直线的距离为半径2，即错误!＝2,∴m＝6或m＝－14，所以直线方程为4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，由选项可知B正确,故选B。

］
3．过点P（－错误!，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（)
A．0°＜α≤30°B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30°D．0°≤α≤60°
D[易知直线l的斜率存在，所以可设l:y＋1＝k(x＋3）,即kx－y＋错误!k－1＝0.
因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点,所以圆心（0,0)到直线l的距离错误!≤1，
即k2－错误!k≤0，
解得0≤k≤错误!，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤60°.]
4．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以错误!为中点的弦长为( ）
A．1 B．2
C．3 D．4
D［依题意可知直线过圆心(1,－2),即3＋2a－11＝0，a＝4。

故
错误!＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1）2＋（y＋2）2＝5,（1，－1）与圆心距离为1，故弦长为2错误!＝4。

]
5．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2:y（y－mx－m)＝0有四
个不同的交点，则实数m的取值范围是( )
A．错误!B．错误!∪错误!
C．错误!D．错误!∪错误!
B[曲线C1是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，当m≠0时，C2是
两直线y＝0，y＝m（x＋1)，其中y＝0与圆一定有两个交点,直线y
＝m(x＋1）与圆相切时，m＝±
3
3，若有两个交点则
m∈错误!∪错误!。

故选B.］
二、填空题
6．设圆C:x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切,则圆C的半径为________．
2 2 ［∵圆C:x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切，圆C的圆心C（1，1），
∴圆C的半径r＝错误!＝2错误!。

]
7．已知⊙O：x2＋y2＝1。

若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．（－∞，－1］∪［1，＋∞)［∵圆心为(0，0)，半径r＝1,
设两个切点分别为A,B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝错误!r＝错误!,∴圆心O到直线y＝kx＋2的距离d≤错误!，即错误!≤错误!，
即1＋k2≥2，解得k≥1或k≤－1。

]
8．过原点作圆x2＋（y－6)2＝9的两条切线，则两条切线所成的锐角是________．
60°［根据题意作出图象如下：其中OA，OB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，
则AC⊥AO，
由圆的方程x2＋(y－6）2＝9可得:圆心C(0,6)，圆的半径r＝3，在Rt△AOC中，可得∠COA＝30°，又OC将∠AOB平分，所以∠AOB＝60°.］
三、解答题
9．已知圆C的圆心与点P(－2,1）关于直线y＝x＋1对称,直线3x ＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点,且|AB｜＝6,求圆C的方程．［解］设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
则由错误!
⇒错误!
故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离
d＝错误!＝3,
所以圆C的半径的平方r2＝d2＋错误!＝18。

故圆C的方程为x2＋（y＋1）2＝18.
10。

如图所示，自点A(－3，3）发出的光线l射到x轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
[解］圆C的标准方程为(x－2）2＋(y－2）2＝1，∴圆C关于x 轴对称的圆C′的方程为（x－2）2＋（y＋2)2＝1。

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－3＝k（x＋3）,即kx－y ＋3＋3k＝0，
∴错误!＝1，∴k＝－错误!或k＝－错误!.
∴光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0。

11．（多选题）给出下列条件，能使直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋
y2＝4相交的条件是（)
A．2a2＋2b2＝c2B．3a2＋3b2＝c2
C．a2＋b2＝c2D．4a2＋4b2＝c2
ABC[由直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交得错误!＜2，即c2＜4(a2＋b2)，选项A、B、C均满足c2＜4(a2＋b2)，而D项是相切的条件，故应选ABC。

］
12．若直线x－my＋m＝0与圆（x－1）2＋y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限,则m的取值范围是( ）A．(0，1）B．(0，2)
C．（－1，0）D．(－2,0)
D[圆与直线联立错误!
整理得（1＋m2）y2－2m（m＋1）y＋m2＋2m＝0,∵图象有两个交点，
∴方程有两个不同的实数根,即Δ＞0，
Δ＝4m2(m＋1)2－4（m2＋2m)（m2＋1)＝－8m＞0，解得m＜0。

∵圆(x－1)2＋y2＝1都在x轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．
∴y1y2＝错误!＜0，解得－2＜m＜0，故选D.］
13．(一题两空)过直线l：y＝x－2上任意点P作圆C:x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，切线长为________，同时△PAB的面积为________．
1 错误!［依据题意作出图象，如下图：
因为直线l过点P且与圆x2＋y2＝1相切于点A,所以PA⊥OA，所以PA＝错误!＝错误!，要使得PA最小，则OP要最小，由题可得：OP的最小值就是点O到直线l：y＝x－2的距离
d＝错误!＝错误!。

此时，PA min＝错误!＝错误!＝1.
又∠OPA＝错误!,
由切线的对称性可得：
∠BPA＝错误!,PB＝1，
所以S△PAB＝错误!×1×1＝错误!。

］
14．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋(y－a）2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
4±错误!［圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为错误!. 因为△ABC为等边三角形,所以｜AB|＝｜BC|＝2，所以错误!错误!＋12＝22,解得a＝4±15。

］
15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA,PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
（1）求四边形PACB面积的最小值;
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标;若不存在,说明理由．
［解］（1）如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为错误!.
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×错误!×|AP|×｜AC|＝｜AP｜。

因为｜AP|2＝｜PC|2－｜CA｜2＝|PC|2－1，
所以当|PC｜2最小时，｜AP|最小．
因为｜PC｜2＝（1－x）2＋错误!错误!＝错误!错误!＋9。

所以当x＝－错误!时，|PC|错误!＝9。

所以｜AP｜min＝错误!＝2错误!.
即四边形PACB面积的最小值为2 2.
(2）由(1）知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的。

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

祝：学子考试顺利，学业有成。