无锡一中2012届高三上学期10月月考试卷(数学)

无锡市第一中学
2011—2012学年高三阶段性质量检测
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应．．．．．
的位置．．．
） 1． 已知集合},3,1{m A =，}4,3{=B ，}4,3,2,1{=B A ，则实数m = ．
2． 命题“若b a >，则b
a 22>”的否命题为 ．
3． 设函数()⎩⎨⎧=x x x f 2
log 2 11>≤x x ，则()[]=2f f ． 4． 函数)23(log 5.0-=
x y 的定义域是 ．
5． 已知9.01.17.01.1,7.0log ,9.0log ===c b a ，则c b a ,,按从小到大依次为 ． 6． 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数． 若当),0(∞+∈x 时，x x f lg )(=，则满足
0)(>x f 的x 的取值范围是 ．
7． 已知()f x 为偶函数，且(1)(3),20,()3x f x f x x f x +=--≤≤=当时，则
)2011(f = ．
8． 函数221
x
x y =+的值域为 ．
9． 已知函数)(x f 的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为)(x f 的保值区间．若
()ln g x x m x =++的保值区间是[,)e +∞ ，则m 的值为 ．
10． 若不等式0122
<-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立，则实数x 的取值范围
是 ．
11． 直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则实数a 的取值范围是 ． 12． 已知函数0)(3(log 2≠-=a ax y a 且)1±≠a 在]2,0[上是减函数，则实数a 的取值范
围是 ． 13． 设函数x
x x f 1
)(-
=，若对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
14．已知定义域为),0(+∞的函数)(x f 满足：对任意),0(+∞∈x ，恒有)(2)2(x f x f =成
立；当]2,1(∈x 时，x x f -=2)(．给出如下结论：①对任意Z m ∈，有0)2(=m f ；②函数)(x f 的值域为),0[+∞；③存在Z n ∈，使得9)12(=+n f ；④“函数)(x f 在区间),(b a 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得)2,2(),(1+⊆k k b a ” ． 其中所有正确结论的序号是 ．
二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答卷纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）
1
3
2)(++-
=x x x f 的定义域为A ，函数)1()]2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为 B ．
（1）求A ； （2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．
16．（本题满分14分）
已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x
a y )25(--= 是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
17．（本题满分14分）
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为2.1万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应提高的比例为
x 75.0，同时预计年销售量增加的比例为x 6.0．已知年利润=（出厂价–投入成本）⨯
年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？
18．（本题满分16分）
已知函数)(x f 满足对任意实数y x ,都有1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，且
2)2(-=-f ．
（1）求)1(f 的值；
（2）证明：对一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(； （3）试求满足t t f =)(的所有的整数t ，并说明理由．
19．（本题满分16分）
已知函数3
3
log )(+-=x x x f m ，],[βα∈x ，（其中0>α）． （1）证明：3>α；
（2）问是否存在实数m ，使得自变量x 在定义域],[βα上取值时，该函数的值域恰好为)](log ),([log m m m m m m --αβ，若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
20．（本题满分16分）
已知函数)0()(2>-=a bx ax x f ．
（1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f ，证明：b a 2≤；
（2）当1>b 时，证明：对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f 成立的充要条件是b a b 21≤≤-； （3）当10≤<b 时，探求对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f 成立的充要条件．
参考答案
一、填空题（每小题5分）
1．2； 2．若b a ≤，则b
a 22≤； 3．2； 4．]1,3
2(； 5．c a b <<
6．),1()0,1(∞+- ； 7．
31； 8．)1,0(； 9．1-； 10．)2
13,217(+-； 11．)45,1(； 12．)2
3
,1()0,1( -；
13．)1,(--∞； 14．①②④； 二、解答题
15．（本题满分14分）
解：（1）由0132≥++-
x x ，得01
1
≥+-x x ，∴1-<x 或1≥x ， ……4分 即),1[)1,(+∞--∞= A ． ……6分 （2）由0)2)(1(>---x a a x ，得0)2)(1(<---a x a x ．
∵1<a ，∴a a 21>+．∴)1,2(+=a a B ． ……8分 ∵A B ⊆，∴12≥a 或11-≤+a ，即2
1
≥a 或2-≤a ． ……12分 而1<a ，∴
12
1
<≤a 或2-≤a ．
故当A B ⊆时，实数a 的取值范围是)1,2
1
[]2,( --∞． ……14分 16．（本题满分14分）
解：对命题p ：∵函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ， ∴1)1(222-++=++a x a x x 可以取到),0(+∞上的每一个值，
∴01≤-a ，即1≤a ； ……4分 命题q ：∵函数x a y )25(--=是减函数，∴125>-a ，即2<a ． ……8分 ∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，∴命题p 与命题q 一真一假，
若p 真q 假，则1≤a 且2≥a ，无解， ……10分 若p 假q 真，则21<<a ， ……12分 ∴实数a 的取值范围是)2,1( ……14分 17．（本题满分14分）
解：（1）由题意得
)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ，
(5)
分
整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ．
……7分
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 ⎩⎨⎧<<>⨯--.
10,
01000)12.1(x y
(10)
分
即 ⎩⎨⎧<<>+-.
10,020602x x x
解不等式得 3
1
0<
<x ． ……13分 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x ．
……14分
18．（本题满分16分）
解：（1）令0==y x ，得1)0(-=f ；
令1-==y x ，得2)1()1()2(+-+-=-f f f ，又2)2(-=-f ，∴2)1(-=-f ； 令1,1-==y x ，得)1()1()0(-+=f f f ，∴1)1(=f ． ……4分 （2）令1=x ，得2)()1(+=-+y y f y f ① ∴当N y ∈时，有0)()1(>-+y f y f ，
由1)1(),()1(=>+f y f y f 知对*
N y ∈有0)(>y f ， ……7分
∴当*N y ∈时，111)(2)()1(+>+++=++=+y y y f y y f y f ，
于是对于一切大于1的正整数t ，恒有t t f >)(． ……9分 （3）由①及（1）可知1)4(,1)3(=--=-f f ； ……11分
下面证明当整数4-≤t 时，t t f >)(，
∵4-≤t ，∴02)2(>≥+-t 由① 得0)2()1()(>+-=+-t t f t f ， 即 0)4()5(>---f f 同理0)5()6(>---f f ……
0)2()1(>+-+t f t f
0)1()(>+-t f t f
将以上不等式相加得41)4()(->=->f t f ，
∴当4-≤t 时，t t f >)(， ……15分 综上，满足条件的整数只有2,1-=t ． ……16分 19．（本题满分16分）
解：（1）
⇔>+-03
3
x x 3-<x 或3>x ，∵)(x f 定义域为],[βα且0>α， ∴3>α． ……2分 （2）∵βα<<3，0>m ，∴)1()1(-<-βαm m ，而)1(l o g
)1(l o g
-<-αβm m m
m
∴10<<m ， ……4分 设αβ≥>≥21x x ，有
0)
3)(3()
(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x ， ∴当10<<m 时，)(x f 在],[βα上单调递减． ……7分 又)(x f 在],[βα上的值域为)](log ),([log m m m m m m --αβ，
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+-=-=+-=)
1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0
)1(3)12(0
)1(3)12(2
2
>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m ， ……10分 即βα,是方程0)1(3)12(2
=---+m x m mx 大于3的两个不相等的实数根，…11分
∴⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧>>--
>+-=∆<<0
)3(3212011616102mf m m m m m 解之得4320-<<m ， ……15分
因此，当4
3
20-<
<m 时，满足题意条件的m 存在． ……16分 20．（本题满分16分）
证明：（1）由题意知012
≥+-ax bx 对任意R x ∈恒成立，
∴042
≤-=∆b a ，又0,0>>b a ，所以b a 2≤． ……2分 （2）①先证充分性：∵1,1-≥>b a b ，对任意]1,0[∈x ， 有1)()1(2
2
2
-≥-≥--=--≥-x x x x b bx x b bx ax ，
即12-≥-bx ax ； ……4分 ∵b a b 2,1≤>，对任意]1,0[∈x ， 有11)1(2222≤+--=-≤-x b bx x b bx ax ，
即12≤-bx ax ，充分性得证； ……6分 ②再证必要性：∵对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f ，∴1)1(-≥f ，
即1-≥b a ； ……8分 ∵对任意]1,0[∈x ，1)(≤x f ，而1>b ，∴1)1(≤b
f ， 即b a 2≤，必要性得证． ……10分 由①②可知，当1>b 时，对]1,0[∈x ，
1)(≤x f 成立的充要条件是b a b 21≤≤-； ……11分
（3）∵当10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ，1)(2
-≥-≥-=b bx ax x f ， 即1)(-≥x f ，
由11)1(1)(≤-⇒≤⇒≤b a f x f ，即1+≤b a ； ……13分 而当1+≤b a 时，1)1()(22≤-+≤-=bx x b bx ax x f ， ……15分 ∴当10,0≤<>b a 时，对任意]1,0[∈x ，
1)(≤x f 成立的充要条件是10+≤<b a ． ……16分。