高考数学 考点及例题对照 试题

卜人入州八九几市潮王学校高考数学考点
及例题对照
认识集合时，你注意到代表元素了吗？集合间的包含关系与运算是高考的重点，其运算性质及重要结论你纯熟掌握了吗？区分集合中元素的形式：
{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；
{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集。

A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U
B ⊆
C U
A
例1、〔卷理1文1〕满足M ⊆｛a 1,a 2,a 3,a 4｝,且M ∩｛a 1,a 2,a 3｝={a 1·a 2}的集合M 的个数是〔〕 〔A 〕1(B)2(C)3(D)4
解析：本小题主要考察集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,
那么{}12,M
a a =或者{}124,,M a a a =.选B.
1、 进展集合运算时，你注意到φ的特殊性了吗，有没有对其进展检验？条件为B A ⊆，在讨论的时候不
要遗忘了φ=A 的情况
例2、集合{
}0
232=+-=x x x A ，{}0
22
=+-=mx x
x B ，且B B A = ，实数m 的取值范
围是〔D 〕 A ．{}2
222
<≤-m m B 。

{}2222≤≤-m m
C 。

{}22
22
≤<-m m D 。

{}22223<<-=m m m 或
3、充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？ 例3、〔卷理6文6〕“18a =
〞是“对任意的正数x ，21a
x x
+≥〞的〔〕 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：18a =
12218a x x x x ⇒+=+≥=，另一方面对任意正数x ，21a
x x +≥
只要21a x x +
=≥≥1
8
a ⇒≥，所以选A 4、对逻辑联结词“或者〞“且〞“
例4、〔卷理6〕
:p :q 〕
A ．()p q ⌝∨
B ．
p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()()p q ⌝∨⌝
5、你对幂的运算、对数的运算的法那么纯熟掌握了吗？ 例5、〔卷文15〕2(3)4log 3233x f x =+，那么8(2)(4)(8)(2)f f f f +++
+的值等于．
解
析
：
本
小
题
主
要
考
察
对
数
函
数
问
题。

22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+2()4log 233,
f x x ⇒=+8(2)(4)(8)(2)f f f f ∴+++
+=
6、分段函数在近几年的高考中出现的频率比较高，你能准确理解分段函数的含义吗？
例6、〔卷文5〕设函数
22
11()21x x f x x x x ⎧-⎪
=⎨+->⎪⎩，，，，
≤那么1(2)f f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是〔〕 A ．
1516
B ．2716-
C ．
89
D ．18
解析：本小题主要考察分段函数问题。

正确利用分段函数来进展分段求值。

(2)4,f =11115
()1.(2)41616f f f ⎛⎫∴==-= ⎪
⎝⎭
选A. 7、函数的图像是每年高考的一个热点，你会知式选图、知图选式、图像变换，以及自觉运用图像解决一
些方程、不等式的问题吗？函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或
者向右)0(<a
平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上
)0(>a 或者向下)0(<a 平移a 个单位得到的；函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()
x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的
a
1
得到的；函数
()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y
轴伸缩为原来的a 倍得到的。

例7、〔卷理3文3〕函数y ＝lncos x (-
2
π＜x ＜)2π
的图象是
解析：本小题主要考察复合函数的图像识别。

ln cos ()2
2
y x x π
π
=-
<<
是偶函数，可排除
B 、D ，由
cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.
8、关于函数的奇偶性，有如下的结论：〔1〕假设)(x f 是奇函数，且)0(f 有意义，那么0)0(=f ；
〔2〕假设
)(x f 是偶函数，那么)()()(x f x f x f ==-。

你会结合含函数的单调性、周期性等性质解决一
些问题吗？
例8、〔卷理13文14〕函数
2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，，有如下条件：①
12x x >； ②2
21
2x x >； ③
12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是②．
【试题分析】:函数
2()cos f x x x =-显然是偶函数，其导数y’=2x+sinx 在0<x<
2
π
时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点。

当x 1=
2π,x 2=-2
π
时，①③均不成立。

9、什么是函数的零点？函数的零点有什么性质？你能正确运用函数零点的性质解决有关方程的根的分布问题吗？
例9、函数
5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是()
A ．[0,1]
B ．[1,2]
C ．[2,3]
D ．[3,4] 解释：B
(0)30,(1)10,(2)310,(1)(2)0f f f f f =-<=-<=>⋅<
10、用二分法求方程的近似解的根本思想是什么？你会用二分法求方程的近似解吗？ 例10、用二分法研究函数的零点时，第一次计算
0)5.0(,0)0(><f f ，可得其中一个零点
)5.0,0(0∈x ，第二次应计算)25.0(f 。

11、向量一共线的充要条件是什么？向量垂直的充要条件是什么你会用平面向量的根本定理解决问题吗？
例11、〔卷理8〕在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长
线与CD 交于点F ．假设AC =a ，BD =b ，那么AF =〔B 〕
A ．
1142
+a b
B ．
21
33
+a b C ．
11
24
+a b D ．
12
33
+a b 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1:2DF FC =,然后利用向量的加减法那
么易得答案B.
12、两向量的夹角是怎样定义的，它的取值范围是什么？怎样求两向量的夹角？两向量的夹角为钝角的充要条件是什么？你会运用平面向量的数量积解决问题吗？ 例12〔1〕〔卷5〕,a b 的夹角为0
120，1,3a b ==，那么5a b -=。

【解析】本小题考察向量的线性运算．
()
2
2
22
552510a b a b
a a
b b -=-=-+
=2
21251
10133492⎛⎫
⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭
，5a b -=7
〔2〕〔全国Ⅱ卷理13文13〕设(12)(23)==，，，a b ，假设向量λ+a b 与向量(47)=--，c 一共线，
那么=λ
．
【解析】
λ+a b
＝
)
32,2(++λλ那么向量
λ+a b
与向量
(47)
=--，c 一共线
27
4
322=⇒--=++⇔
λλλ
13、你能迅速画出正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的草图吗？你能由这些图象分别得到函数
),sin(ϕω+=x A y ),cos(ϕω+=x A y
),tan(ϕω+=x A y 的图象吗？
例13、〔卷文17〕函数
())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+〔0πϕ<<，0ω>〕为偶函数，
且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的间隔为
π
2
．〔Ⅰ〕求π8f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的
图象向右平移
π
6
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间． 解：〔Ⅰ〕
()
)cos()f x x x ωϕωϕ=+-+
12)cos()2x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦
π2sin 6x ωϕ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭．
因为
()
f x 为偶函数，所以对
x ∈R
，
()()
f x f x -=恒成立，因此
ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛
⎫-+-=+- ⎪⎝
⎭．
即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕ
ωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
整理得πsin cos 06x ωϕ
⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭． 又因为0πϕ
<<，故ππ62ϕ-
=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭．
由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=．故()2cos 2f x x =
．因此ππ2cos 84f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
〔Ⅱ〕将
()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦．
当π2π22ππ3k x k -+≤≤〔k ∈Z 〕
，即π2π
ππ63
k x k ++≤≤〔k ∈Z 〕时，()g x 单调递减，
因此()g x 的单调递减区间为
π2πππ63k k ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，〔k ∈Z 〕． 14、正弦函数、余弦函数既是轴对称图形，又是中心对称图形，对于三角函数的对称性，你有把握吗？ 例14、〔1〕〔卷文8〕函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是〔〕
A ．6
x π
=-
B ．12
x
π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
解：
sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12
k x π
==
〔2〕〔卷理16〕
()sin (0)363f x x f
f ωωπππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，无最大值，那么ω＝__________．
解析：本小题主要针对考察三角函数图像对称性及周期性。

依题
()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=且()f x 在区间(,)63
ππ
有最小值,无最大值,∴区间
(,)
63
ππ
为
()
f x 的一个半周期的子区间，且知
()
f x 的图像关于
6
324
x π
π
π+
==对称，∴
32,4
3
2k k Z π
π
πωπ⋅+
=+
∈,获得0K =14.3ω=答案：14
3
15、求角的函数值及角的范围是高考的重点，你对三角恒等变换的根本规律能纯熟掌握吗？
例15〔卷17〕⎪⎭
⎫
⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2,1024cos πππx x
〔Ⅰ〕求x sin 的值；
〔Ⅱ〕求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值. 解：〔Ⅰ
〕
因
为
⎪⎭
⎫
⎝⎛∈43,2ππx ，所以
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈-
2,44πππ
x ，于是
10274cos 14sin 2=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x
〔Ⅱ〕因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 2
2
-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--=x x
所以50
3
7243
sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
π
ππx x x 16、正弦定理、的内容是什么，你能灵敏运用它们解斜三角形吗？ 正弦定理:2R=
A a sin =
B b sin =C
c sin ;三角形面积：111
sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===
余弦定理：a 2
=b 2
+c 2
-2bc A cos ,bc
a c
b A 2cos 2
22-+=;
例16〔卷理17〕在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，2c =，3
C π
=
． 〔Ⅰ〕假设ABC △
求a b ，；〔Ⅱ〕假设sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC
△的面积．
解析：〔Ⅰ〕由及条件得，2
24a
b ab +-=，又因为ABC △
，
所以1sin 2
ab C =得
4
ab =．联立方程组
2244a b ab ab ⎧+-=⎨
=⎩，
，
解得
2
a =，
2
b =．〔Ⅱ〕由题意得
sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，
即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，
2A π=
，6
B π
=
，3a =
3b =，
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，
，
解得
a =
b =．所以ABC △
的面积1sin 2S ab C ==．
17、向量与三角函数的结合是高考的热点，你能借助向量的工具解决三角函数问题吗？
17、〔卷理17〕向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.〔Ⅰ〕求角A 的大小；
〔Ⅱ〕求函数
()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解：〔Ⅰ〕由题意得3sin cos 1,m n A A =-=1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得,6
6
3
A A π
π
π
-
=
=
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1
cos ,2
A = 所以
2213
()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x s x =+=-+=--+
因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值3
2
.
当sin 1x =-时，
()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦，
18、在由数列的前n 项和的公式求n a 时你注意到验证n=1的情况了吗？
例18、
13-=n n a ，设数列{}n b 对任意自然数n
均有
1222
11+=+++n a b a b a b n
n ，那么=+++200821b b b
解析：当33,311111====a b a b n
得到时，由
；当时，2≥n 由1222
11+=+++n a b a b a b n
n ① 得到
1121
122
11+-=+++--）（n a b a b a b n n ② 由①-②，得到
2=n
n
a b ，那么1322-⨯==n n n a b ，从而=+++200821b b b 20083 19、数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，在用函数的有关知识解决数列列问题时，你注意到函数的定义域为正整数集了吗？ 例19、数列
{}n a 是递增数列，且对*∈N n ，都有n n a n
λ+=2，那么实数λ的取值范围是〔〕
A 、⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-
,27B 、[)+∞,0C 、[)+∞-,2D 、()+∞-,3
解析：利用递增数列的意义，n n a a >+1，得到关于λ的不等式，从而解出λ的范围。

选D 。

20、在解决等比数列的有关问题时，你注意到各项及公比都不等于0吗？ 例20、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S 0>),2,1( =n ，那么q 的取值范围为
解析：因为n S 0>),2,1( =n ，所以011>=a S
〔1〕当011>==na ，S
q
n
时满足题意；
〔2〕当1≠q 时，01)
1(1>--=
q
q a S n n 0)1)(1(>--⇔q q n
由〔1〕，〔2〕可知，01≠->q q
且
21、在利用等比数列的求和公式时，你注意到公比不为1了吗？ 例21、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，假设21,,++n n n S S S 成等差数列，那么q 的值是
－2
22、数列求和的常见方法有公式法，错位相减法、倒序相加法、裂项求和法、分组求和法，运用时你是否注意各种方法使用的条件？ 例22、〔卷文21〕设数列{}n a 满足11a =，22a =，121
(2)3
n n n a a a --=+(3,4,)n =。

数列{}
n b 满足
11,(2,3,)
n b b n ==是非零整数，且对任意的正整数
m
和自然数
k
，都有
111m m m k b b b ++-≤+++≤。

〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； 〔2〕记(1,2,)n
n n c na b n ==，求数列{}n c 的前n 项和n S 。

【解析】〔1〕由121(2)3n
n n a a a --=+得1122
()3
n n n n a a a a ----=--(3)n ≥ 又2110a a -=≠，∴数列{}1n n a a +-是首项为1公比为23-的等比数列，1
123n n n a a -+⎛⎫
-=- ⎪
⎝⎭
2
2
22211333n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1
1
2183231255313
n n --⎛⎫-- ⎪
⎛⎫⎝
⎭
=+=-- ⎪⎝⎭
+，
由1222
211
11,0
b b b b Z b -≤+≤⎧⎪
-≤≤⎨⎪∈≠⎩得21b =-，由233331111,0b b b b Z b -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪∈≠⎩得31b =，…
同理可得当n 为偶数时，1n
b =-；当n 为奇数时，1n b =；因此1
-1
n b ⎧=⎨
⎩
〔2〕1
1
8325
538
32553n n n n n n n c na b n n --⎧⎛⎫-⎪ ⎪
⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎩
1234n n S c c c c c =+++++
当n 为奇数时， 当n 为偶数时
令0123
1
22222123433333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯+
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
……①
①×23得:1234
2222221234333333n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭……② ①-②得:1
2
3
4
1
122222213333333n n
n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
因此()()934232553934272553n
n n
n n S n n ⎧+-⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭
=⎨++⎛⎫
⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩
23、你对“≤≥和〞的含义能正确理解并应用于解题吗？ 例23、不等式0lg )24
≤⋅-+
x x
x （的解集为 解析：对x 的取值进展讨论，分1≥x 和1<x 两种情况，可解得x 的范围为〔0，1〕。

24、应用不等式解题时，你注意到定义域了吗？
例24、函数
2ln )(x x x f -=的增区间为
解析：结合函数的导数以及函数的定义域解得函数的增区间为)2
2
,
0( 25、应用均值不等式解题时，应注意什么？注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。

常用的
当n 为奇数时 当n 为偶数时
当n 为奇数时 当n 为偶数时 当n 为奇数时 当n 为偶数时
方法为：拆、凑、平方。

例25、
)1(1
1
≠-+
=x x x y 的值域是 解析：由于
1
≠x ，分成
1
1<>x x 及两种情况，当
1
>x 时，
3111)1(21111=+-⋅-≥+-+
-=x x x x y ； 当1<x 时，11)1
1
()]1([21)11()1(=---⋅--≥---
+--=-
x x x x y ，那么1-≤y 故函数的值域为
(][)+∞⋃-∞-,31,
26、你能纯熟使用不等式b
a b a b a +≤±≤-解决一些简单问题吗？取“=〞需满足什么条件？
例26、函数
[)+∞∈++-=,1,22)(x x x x f 的最小值是
27、你理解存在性问题和恒成立问题的区别与联络吗？在解题时切不可把二者混为一谈。

例27、函数
[]1,0,)(2∈+-=x a x x x f
〔1〕假设关于x 的不等式0)(>x f 有解，那么实数a 的取值范围是 〔2〕假设关于x 的不等式
0)(>x f 恒成立，那么实数a 的取值范围是
解释:(1)关于
x 的不等式
0)(>x f 有解⇒041≤-=∆a 或者⎪⎩
⎪
⎨⎧>=>=>∆0
)1(0)0(0
a f a f 41≥⇒a 或者
4
10<
<a (2)关于x 的不等式
0)(>x f 恒成立x x a +->⇔2在[]1,0上恒成立
28、怎样确定二元一次不等式〔组〕表示的平面区域？你会解决线性规划问题吗？
例28、〔1〕〔卷理2文2〕设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，那么目的函数y x z +=5的最大值
为
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析：如图，由图象可知目的函数y x z
+=5过点(1,0)A 时z 获得最大值，max 5z =，选D ．
〔2〕〔宁夏卷文10〕点P 〔x ，y 〕在直线4x+3y=0上，且满足－14≤x －y ≤7，那么点P 到坐标原点间隔的取值范围是〔〕 A.[0，5]
B.[0，10]
C.[5，10]
D.[5，15]
【HY 答案】：Ｂ
【试题解析】：根据题意可知点Ｐ在线段()43063x y x +=-≤≤上，有线段过原点，故点Ｐ到原点最
短间隔为零，最远间隔为点()6,8P
-到原点间隔且间隔为１０，应选Ｂ；
29、在应用导数研究函数的单调性时，往往需要解含有参数的二次不等式，在进展讨论时，你考虑的全面吗，注意到特殊情况了吗？你是否注意二次项的系数可能为零的情形？
例29、〔卷文17〕函数
32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数．
〔Ⅰ〕求a ，c 的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的单调区间．
【解析】〔Ⅰ〕因为函数()()2g x f x =
-为奇函数，
所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即
()2()2f x f x --=-+．
又
32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．
所以22a a c c =-⎧⎨
-=-+⎩，
．
解得02a c ==，．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠．
当0b <时，由
()0f x '=
得x =x 变化时，()f x '的变化情况如下表：
所以，当0b <时，函数
()f x 在(-∞-，
上单调递增，在(上单调递减， 在)+∞上单调递增．
当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．
30、〔理科〕对于复合函数导数的求法，你能掌握吗？这是正确应用导数的前提。

例30、〔卷理7〕假设
21
()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，那么b 的取值范围是〔〕
A.[1,)-+∞
B.(1,)-+∞
C.(,1]-∞-
D.(,1)-∞- 【试题解析】由题意可知
'()02
b
f x x x =-+
<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．
31．对于可导函数，0)(0='x f 是0)(0=x f 为极值的必要不充分条件，在解决问题时你注意到这一
点了吗？ 例．函数
21
()kx f x x c
+=
+〔0c >且1c ≠，k ∈R 〕恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是
x c =-．〔Ⅰ〕求函数()f x 的另一个极值点；
〔Ⅱ〕求函数
()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围．
解：〔Ⅰ〕
222222
()2(1)2()()()k x c x kx kx x ck
f x x c x c +-+--+'==
++，由题意知
()0f c '-=，
即得2
20c
k c ck --=，〔*〕0c ≠，0k ∴≠．由()0f x '=得2
20kx x ck --+=，
由韦达定理知另一个极值点为1x =〔或者2
x c k
=-
〕． 〔Ⅱ〕由〔*〕式得21k c =
-，即2
1c k
=+．当1c >时，0k >；当01c <<时，2k <-． 〔i 〕当0k
>时，()f x 在()c -∞-，
和(1)+∞，内是减函数，在(1)c -，内是增函数． 1(1)012k k
M f c +∴===>+，22
1()02(2)kc k m f c c c k -+-=-==<++，
由2
122(2)
k k M m k -=+
+≥及0k >，解得k 〔ii 〕当2k
<-时，()f x 在()c -∞-，
和(1)+∞，内是增函数，在(1)c -，内是减函数． 2()02(2)k M f c k -∴=-=>+，(1)02k
m f ==<
22(1)1
112(2)22
k k k M m k k -++-=-=-++≥恒成立．
综上可知，所求k 的取值范围为(2)[2)-∞-+∞，，．
32．应用导数求参数的范围时，你注意到端点的取舍吗？讨论时遗漏特殊情况吗？
例32．设函数
1()(01)ln f x x x x x
=>≠且〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调区间；
〔Ⅱ〕1
2a
x x >对任意(0,1)x ∈成立，务实数a 的取值范围。

解(1)
'22
ln 1(),ln x f x x x +=-
假设'
()0,f x =那么1x e
=列表如下 x 1(0,)e
1
e
1
(,1)e
(1,)+∞
'()f x
+
0 -
-
()f x
单调增
极大值1()f e
单调减
单调减
(2)在12
a x
x >两边取对数,得1
ln 2ln a x x
>,由于01,x <<所以
1
ln 2ln a x x
>
(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时,1
()()f x f e e ≤=-,
为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2
a
e >-,即ln 2a e >-
33．积分是新课程新增的内容，你是否明确其几何意义？会用积分解决简单的问题吗？ 例33.由直线21=
x ，x=2，曲线x
y 1=及x 轴所围图形的面积是〔〕 A.
4
15
B.4
17
C.
2ln 2
1
D.2ln 2
【解析】所围图形的面积为21211
ln 2ln 2ln 22S
dx x
==-=⎰；应选Ｄ；
34．任何直线都有倾斜角，在解决某些问题时，你考虑到斜率不存在的情况吗？
例34.〔卷理8文10〕假设过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公一共点，那么直线l 的斜
率的取值范围为〔〕
A ．[3,3]-
B ．(3,3)-
C ．33[,]-
D ．33(,)-
解：设直线方程为
(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公一共点，
圆心到直线的间隔小于等于半径1d =
≤，
得2
221
41,3
k
k k ≤+≤
，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确。

35．利用圆的平面几何的性质可以大大地减少运算量，在解决与圆有关的问题时，你是否充分利用了圆的平面几何的性质？
例35.〔卷理9〕过点(11,2)A 作圆2
2241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的一共有
A.16条
B.17条
C.32条
D.34条 解：圆的HY 方程是：2
22(1)
(2)13x y ++-=，圆心(1,2)-，半径13r =过点(11,2)A 的最短的弦
长为10，最长的弦长为26,〔分别只有一条〕还有长度为11,12,25的各2条，所以一共有弦长为整数
的221532+⨯=条。

36．椭圆、双曲线的HY 方程各有两种形式，抛物线的HY 方程各有四形式，对各种HY 方程你是否运用自如？
例36.设椭圆中心在坐标原点，
(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点
D ，与椭圆相交于
E 、
F 两点．〔Ⅰ〕假设6ED DF =，求k 的值；〔Ⅱ〕求四边形AEBF 面积的最大值．
〔Ⅰ〕解：依题设得椭圆的方程为
2
214
x y +=，直线AB EF ，的方程分别为
22x y +=，
(0)y kx k =>．
如图，设
001122()()()
D x kx
E x kx
F x kx ，，，，，，其中
12
x x <，且
12
x x ，满足方程
22(14)4k x +=，
故
2
1
x x =-=
．①
由6ED
DF =知
01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==
由D 在
AB 上知0022x kx +=，得0212x k
=
+
．所以
212k =
+，
化简得2
242560k k -+=，解得23k =
或者38
k =． 〔Ⅱ〕解法一：根据点到直线的间隔公式和①式知，点
E F
，到
AB
的间隔分别
为
1h =
=
2
h =
=
又
AB ==，
所
以四
边
形
AEBF
的
面
积
为
121()2S AB h h =+1
5
2
5(14k =+
=
=≤2
1k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为
解法二：由题设，
1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，
故四
边
形
AEBF
的面积为
BEF AEF S S
S =+△△222x y =
+=
=
=222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为
37．圆锥曲线的定义是高考的重点，你对椭圆和抛物线的定义掌握纯熟了吗，会应用吗？
例37.
2
1F F 、为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，假设
1222=+B F A F ，那么AB =______________。

解析：本小题主要考察椭圆的第一定义的应用。

依题直线
AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ∆中，
22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =
38．圆锥曲线的简单几何性质是高考客观题中经常考察的知识点，对这些性质你能纯熟应用吗？
例38.假设双曲线22221x y a b -=〔a ＞0,b ＞0〕上横坐标为32
a
的点到右焦点的间隔大于它到左准线的间隔，
那么双曲线离心率的取值范围是(B) A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.(1,5)
D.(5,+∞)
解
2033
,22
a ex a e a a a c -=⨯->+23520,e e ⇒-->2
e ∴>或者
1
3
e <-
(舍
去),(2,],e ∴∈+∞应选B.
39．你是否理解三视图的投影规律：“长对正，齐，宽相等〞的含义，会应用吗？ 例39.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是 (A)9π〔B 〕10π(C)11π(D)12π
解析：本小题主要考察三视图与几何体的外表积。

从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其外表及为22411221312.
S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=选D 。

40．斜二测画法的规那么是否还熟悉？直观图与实际图形比较有什么区别？
例40、C B A '''∆是正△ABC 的斜二测画法的程度放置图形的直观图，假设C B A '''∆的面积为3，
那么△ABC 的面积为_______________。

解析：设△
ABC 、
C B A '
''∆的高为h 、h ',那么A ’O ’=
2
h
，h O A h 4245sin =︒''=' ABC C B A S S ∆'''∆=
∴42即ABC S ∆=4
2
362=∴∆ABC S 41.你是否会画与球有关的组合体的截面图？
A
A ’
C ’
O ’
B ’ O B C
例41．(1)有一棱长为a 的正方体骨架，其内放置一气球，，使其充气且尽可能地大〔仍保持为球的的形状〕
那么气球外表积最大值为。

分析：正方体和球的正视图如下列图，其中
a R a R 2
2
,22=
=则2224a R S ππ==所以 (2)有一棱长为a 的正方体的八个顶点都在球面上,球的半径为
a 2
3 (3)长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的八个顶点都在球面上,球的半径为
222
2
1c b a ++ 〔4〕棱长为a 的正方体的内切球半径为
a 2
1 42.立体几何中，平行、垂直关系可以进展以下转化：，直线直线//，平面直线//，平面平面//之间的转化；，直线直线⊥，平面直线⊥平面平面⊥之间的转化；这些转化各自的根据是什么？ 42.,m n 是两条不同直线，,,αβγ〕
A ．,,m
n m n αα若则‖‖‖
B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖
C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖
D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖
解：,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确；
m ⊥
α，n ⊥α那么同垂直于一个平面的两条直线平行；选D 。

43、空间三种角〔异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角〕的概念你清楚吗？它们的取值范围分别是什么？你会求吗？
43.〔卷文6〕如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，那么AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为
A.
3
B.
23
C.
4 D.
1
3
解：连
11A C ,那么11AC A ∠为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角
.
112AB BC AC AC ==⇒==11AA
= 44、〔理科〕两个计数原理理解得怎么样？在做题时会选择吗？
例44.〔全国Ⅰ卷理12〕如图，一环形花坛分成
A B C D
，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数为〔〕 A ．96
B ．84
C ．60
D ．48
解析：B.分三类：种两种花有2
4A 种种法；种三种花有3
42A 种种法； 种四种花有44A 种种法.一共有234
444284A A A ++=.
另解：按
A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=
45〔理科〕你还记得解排列组合问题的根据是什么吗？〔分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合〕，解排列组合问题的规律是什么？〔相邻问题捆绑法，不邻问题插空法，多排问题单排法、定位问题优先法，多元问题分类法、有序分配问题法，选取问题先组合后排列法、至多至少问题间接法〕
例45.〔卷理10〕有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，那么不同的排法一共有〔〕 (A)1344种(B)1248种(C)1056种(D)960种
解析：首先确定中间行的数字只能为1，4或者2，3，一共有1
2
224C A =种排法.然后确定其余
4
46360A =去掉不合题意的情况数：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数
字有2
412A =360412312-⨯=种方法．由乘法原理可知一共有31248412⨯=种不同的排法，选
B ．
46〔理科〕二项式的展开式还记得吗？a 和b 是否能交换位置？展开式的通项是什么？会用通项公式求解有关问题吗？
A
例46.〔卷理8〕610
(1(1+
+
展开式中的常数项为〔〕 A ．1B ．46 C ．4245D ．4246 解：D .常数项为3
4
68610
61014246C C C C ++=
47.你能区分随机事件、互斥事件、对立事件吗？你会灵敏运用对立事件的概率公式求一些复杂的概率问题吗？
例47.〔卷文18〕现有8名奥运会志愿者，其中志愿者
123A A A ，，通晓日语，
123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． 〔Ⅰ〕求
1A 被选中的概率；〔Ⅱ〕求1B 和1C 不全被选中的概率．
【试题解析】〔Ⅰ〕从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的根本领件空间
Ω=
{
111112121()()()
A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
122131()()
A B C A B C ，，，，，，132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
222()
A B C ，，，231()
A B C ，，，
232()
A B C ，，，
311312321()()()
A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}
由18个根本领件组成．由于每一个根本领件被抽取的时机均等，因此这些根本领件的发生是等可能的． 用M 表示“
1A 恰被选中〞这一事件，那么M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，，122131132()()()
A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件
M
由6个根本领件组成，因此
61
()183
P M =
=． 〔Ⅱ〕用N 表示“11B C ，不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示“11B C ，全被选中〞这一事件， 由于N
={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，
，，，，，}，事件N 有3个根本领件组成，
所以31()186P N =
=，由对立事件的概率公式得15
()1()166
P N P N =-=-=． 48.什么是几何概型？几何概型和古典概型之间有什么联络和区别吗？求解几何概型的根本步骤是什么？
例48〔卷6〕在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E
是到原点的间隔不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，那么落入E中的概率为【答案】
16
π
【解析】本小题考察古典概型。

如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部〔含边界〕，区域E表示
单位圆及其内部，因此
2
1
4416 P
ππ
⨯
==
⨯。

49．什么是抽样方法？常用的抽样方法有哪些？你能根据实际情况进展合理的选择吗？
例49.〔卷文5〕某校高三年级有男生500人，女生400人，为理解该年级学生的安康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进展调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法(B)抽签法(C)随机数表法(D)分层抽样法
【解析】本小题主要考察抽样方法。

假设总体由差异明显的几局部组成时，经常采用分层抽样的方法进展抽样。

应选D。

50．众数、中位数、平均数、方差、HY差的概念、公式和性质你还清楚吗？能正确地进展计算吗？
例50.〔卷理8〕右图是根据统计年整2021中的资料作成的1997年至2021年我城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百
户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位
数字，从图中可以得到1997年至2021年我城镇居民百户家庭人口数的平均数为B
〔A〕〔B〕
【试题分析】：1158260247
3.6
10
+++++++++
=
51．频数和频率之间有什么关系？你会画频率分布直方图吗？你能根据样本的频率分布直方图对总体做出估计吗？
例51.〔卷文11〕为了调查某厂工人消费某种产品的才能，随机抽查了20
位工人某天消费该产品的数量.产品数量的分组区间为[)
45,55，
[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，那么这20名工人中一天消费
该产品数量在
[)55,75的人数是13.
【解析】由图可知，一天消费该产品数量在[)75,55的
频率是〔0.040+0.025〕⨯10=0.65， 所以这20名工人中一天消费该产品数量在
[)75,55的人数是20⨯0.65=13.
52．〔理科〕样本的期望值、方差和HY 差分别反映了样本数据的什么特征？你能根据样本的期望值、方差和HY 差总体的情况做出估计吗？
例52.〔卷理18〕某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年施行；假设施行方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的倍、倍、倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的倍、倍的概率分别是0.5、0.5.假设施行方案二，预计当年可以使柑桔产量到达灾前的倍、倍、倍的概率分别是0.2、0.3、；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的倍、倍的概率分别是0.4、0.6.施行每种方案，第二年与第一年互相HY 。

令(1,2)i i ξ=表
示方案i 施行两年后柑桔产量到达灾前产量的倍数． 〔1〕写出12ξξ、的分布列；
〔2〕施行哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
〔3〕不管哪种方案，假设施行两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好到达灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问施行哪种方案所带来的平均效益更大？ 【试题解析】〔1〕
1
ξ的所有取值为
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
、、、、,
2
ξ的所有取值为
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44、、、、,
1ξ、2ξ的分布列分别为：
P 2ξ
P
〔2〕令A 、B 分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
()0.150.150.3P A =+=,()0.240.080.32P B =+=
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大 〔3〕令i η表示方案i 所带来的效益，那么
1η
10 15 20 P
2η
10 15 20 P
所以1
214.75,14.1E E ηη==可见，方案一所带来的平均效益更大。

53．什么叫相关关系？什么叫线性相关关系？你会判断两个变量之间是否存在线性相关关系？你能根据给出的数据求出线性回归方程吗？
例53．一般说，一个人脚越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚步长x 与身高y 进展测量，得如下数据〔单位：cm 〕
X 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Y
141
146
154
160
169
176
181
188
197
203
作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数所：5.171,5.24==y x
某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印量得每个脚印长, 请你估计案发嫌疑人的身高为cm.
54．程序框图为新增内容，是新课程高考中必考内容，你能纯熟掌握程序框图的三个根本构造吗？
54.〔卷理13文14〕执行右边的程序框图， 假设p ＝，那么输出的n ＝4. 【试题分析】：
111
0.8248
++>，因此输出 4.n = 【易错提醒】:没有注意到控制变量1n n =+在12n
S S =+
之后误填3。

55．复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件是什么？复数的模与一共轭复数又有哪些性质？复数及其运算的几何意义是什么？你会运用它们来解决复数的相关问题吗？ 例55.〔卷理11〕设211z z iz =-(其中1z 表示z 1
的一共轭复数)，z 2
的实部是1-，那么z 2
的虚部为.
解：设1
,z x yi =+21z bi =-+，由复数相等。