50知识讲解 法拉第电磁感应定律 基础

50法拉第电磁感应定律
【学习目标】
1．通过实验过程理解法拉第电磁感应定律，理解磁通量的变化率t
ϕ
∆∆，并能熟练地计算；能够熟练地计算平均感应电动势（E n
t
ϕ
∆=∆）和瞬时感应电动势（sin E BLv α=），切割情形）。

2．了解感生电动势和动生电动势产生机理。

3．熟练地解决一些电磁感应的实际问题。

4．理解并运用科学探究的方法。

【要点梳理】
要点一、感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。

要点诠释：
（1）感应电动势的存在与电路是否闭合无关。

（2）感应电动势是形成感应电流的必要条件。

有感应电动势（电源），不一定有感应电流（要看电路是否闭合），有感应电流一定存在感应电动势。

要点二、法拉第电磁感应定律
1．定律内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

2．公式：Ф
E n
t ∆=∆。

式中n 为线圈匝数，Ф
t
∆∆是磁通量的变化率，注意它和磁通量西以及磁通量的变化量
21ФФФ∆=-的区别。

式中电动势的单位是伏（V ）、磁通量的单位是韦伯（Wb ），时间的单位是秒（s ）。

要点诠释：
（1）感应电动势E 的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率
Ф
t
∆∆，而与Ф的大小、Ф∆的大小没有必然的联系，和电路的电阻R 无关；感应电流的大小和E 及回路总电阻R 有关。

（2）磁通量的变化率Ф
t
∆∆是Фt -图象上某点切线的斜率。

（3）公式Ф
E k t
∆=⋅
∆中，k 为比例常数，当E 、Ф∆、t ∆均取国际单位时，1k =，
所以有Ф
E t
∆=
∆。

若线圈有n 匝，则相当于n 个相同的电动势
Ф
t
∆∆串联，所以整个线圈中电动势为Ф
E n
t
∆=∆。

（4）磁通量发生变化有三种方式：一是Ф∆仅由B 的变化引起，21||B B B ∆=-，
B E nS
t ∆=∆；二是Ф∆仅由S 的变化引起，21||S S S ∆=-，S
E nB t
∆=∆；三是磁感应强度B 和线圈面积S 均不变，而线圈绕过线圈平面内的某一轴转动，此时21||
ФФE n t -=∆。

要点三、导体做切割磁感线运动时的感应电动势的表达式：sin E Blv θ= 应用公式sin E Blv θ=时应注意：
（1）当0θ=︒或180θ=︒时，0E =，即导体运动的方向和磁感线平行时，不切割磁感线，感应电动势为零。

当90θ=︒时，E Blv =，即当导体运动的方向跟导体本身垂直又和磁感线垂直时，感应电动势最大。

（2）如果v 是某时刻的瞬时速度，则E 也是该时刻的瞬时感应电动势；若v 为平均速度，则E 也为平均感应电动势。

（3）若导线是曲折的，则l 应是导线的有效切割长度，即导线两端点在v 、B 所决定平面的垂线上的长度。

如图甲所示的三种情况下感应电动势相同；如图乙所示的半径为r 的圆弧形导体垂直切割磁感线时，感应电动势2E blv Brv =≠。

（4）公式中B 和导体本身垂直，v 和导体本身垂直，θ是v 和B 的夹角。

要点四、反电动势
当电动机通电转动时，线圈中会产生削弱电源电动势的感应电动势，这个电动势通常称为反电动势。

要点诠释：
（1）反电动势的作用是阻碍线圈的转动。

（2）反电动势阻碍转动的过程，是电路中电能向其他形式的能转化的过程。

（3）如果电动机工作时由于机械阻力过大而停止转动，这时没有了反电动势，电阻很小的线圈直接接在电源两端，电流会很大，很容易烧毁电动机。

（4）由于反电动势的存在，使回路中的电流E
I R
<，所以在有反电动势工作的电路中，不能用闭合电路的欧姆定律直接计算电流。

要点五、区别磁通量Ф、磁通量的变化量Ф∆、磁通量的变化率
Ф
t
∆∆ （1）物理意义不同：磁通量西表示某时刻或某位置时穿过某一面积的磁感线条数的多少；磁通量的变化量Ф∆表示在某一过程中穿过某一面积的磁通量变化的多少；磁通量的变化率
Ф
t
∆∆表示穿过某一面积的磁通量变化的快慢。

（2）穿过一个平面的磁通量大，磁通量的变化量不一定大，磁通量的变化率也不一定大；穿过一个平面的磁通量的变化量大，磁通量不一定大，磁通量的变化率也不一定大；穿过一个平面的磁通量的变化率大，磁通量和磁通量的变化量都不一定大。

（3）感应电动势E 的大小决定于穿过电路的磁通量的变化率Ф
t
∆∆，而与Ф的大小、Ф∆的大小没有必然的联系，与电路的电阻R 无关。

要点六、公式Ф
E n t
∆=∆和sin E Blv θ=的区别与联系 1．区别
（1）研究对象不同：Ф
E n t
∆=∆的研究对象是一个回路；sin E Blv θ=的研究对象是在磁场中运动的一段导体。

（2）适用范围不同：Ф
E n
t
∆=∆具有普遍性，无论什么方式引起Φ的变化都适用；sin E Blv θ=只适用于一段导线切割磁感线的情况。

（3）条件不同：Ф
E n t
∆=∆不一定是匀强磁场；E Blv =中的l 、v 、B 应取两两互相
垂直的分量，可采用投影的办法。

（4）物理意义不同：Ф
E n t
∆=∆求的是t ∆时间内的平均感应电动势，E 与某段时间或某个过程相对应；sin E Blv θ=求的是瞬时感应电动势，E 与某个时刻或某个位置相对应。

2．联系
（1）sin E Blv θ=是由Ф
E n
t
∆=∆在一定条件下推导出来的。

（2）只有B 、l 、v 三者大小、方向均不变时，在出时间内的平均感应电动势才和它在任意时刻产生的瞬时电动势相同。

（3）公式sin E Blv θ=中的v 若代入v ，则求出的E 为平均感应电动势。

要点七、电磁感应现象中感应电荷量的计算方法 设感应电动势的平均值用E 来表示，在t ∆的时间内 Ф
E n t
∆=∆，E I R =，
则
Фq I t n
R
∆=⋅∆=．
其中Ф∆对应某过程中磁通量的变化，R 为电路的总电阻，n 为回路的匝数。

用
Ф
q n
R
∆= 可求一段时间内通过某一导体横截面的电荷量。

要点八、导体棒在匀强磁场中转动产生感应电动势的求法
如图所示，长为l 的导体棒ab 以a 为圆心、以角速度ω在磁感应强度为B 的匀强磁场中匀速转动，则棒ab 切割磁感线，产生电动势。

其电动势的大小可 从两个角度分析：
（1）棒上各点速度不同，其平均速度为1
2
v l ω=，利用E Blv =知，棒上电动势大小为
211
22
E Bl l Bl ωω=⋅=。

（2）如果经过时间t ∆，则棒扫过的面积为
22
122
t S l l t ωπωπ∆∆=⋅=∆，
磁通量的变化量
2
12
ФB S Bl t ω∆=⋅∆=
∆， 由棒上的电动势大小为
Ф
E n
t
∆=∆知， 棒上的电动势大小为
2
12
E Bl ω=
．
要点九、线圈匝数n 在解题中的正确使用 在磁场和电磁感应习题中，常遇到线圈是单匝还是n 匝的题设条件，到底什么情况下选用n ，什么情况下不要选用n ，下面总结这方面的选用规律。

（1）不选用匝数n
在直接应用公式求磁通量Ф中、磁通量的变化量Ф∆、磁通量的变化率Ф
t
∆∆时，匝数n 不必选用，即Ф、Ф∆、Ф
t
∆∆的大小不受线圈匝数n 的影响。

（2）要选用匝数n
求感应电动势时要选用线圈匝数n ，不论是定义式Ф
E n
t
∆=∆，还是切割式E nBLv =，每一匝线圈（或线圈的一部分）相当于一个电源，线圈匝数越多，意味着串联的电源越多，说明E 与线圈匝数相关。

（3）灵活选用匝数n
凡是涉及线圈电阻的问题时要因题而异，灵活选用匝数n 。

因为电阻与导线长度成正比，线圈匝数不同，导线总长度L 也就不同。

所以，当题意明确线圈的总电阻时，不必选用匝数n ，若题意明确每一匝线圈的电阻时，求线圈总电阻值要选用匝数n 。

【典型例题】
类型一、法拉第电磁感应定律的理解和应用 例1．下列几种说法中正确的是（ ）
A ．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
B ．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
C ．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大
D ．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大
【答案】D 【解析】本题考查对法拉第电磁感应定律的理解，关键是抓住感应电动势的大小和磁通量的变化率成正比。

感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关系，它由磁通量的变化率决定，故选D 。

【总结升华】正确区分Ф、Ф∆、
Ф
t
∆∆这几个物理量是理解法拉第电磁感应定律的关键。

举一反三
【变式】一闭合圆形线圈放在匀强磁场中，线圈的轴线与磁场方向成30︒角，磁感应强度随时间均匀变化。

在下列方法中能使线圈中感应电流增加一倍的是 （ ） A ．把线圈匝数增大一倍 B ．把线圈面积增大一倍
C ．把线圈半径增大一倍
D ．把线圈匝数减少到原来的一半
【答案】C
【解析】本题综合考查法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律和电阻定律，关键是写出感应电流的表达武。

设感应电流为I ，电阻为R ，匝数为n ，线圈半径为r ，线圈面积为S ，导线横截面积为S '。

由法拉第电磁感应定律知
cos30ФBS E n
n
t t
∆∆︒
==∆∆， 由闭合电路欧姆定律知
E I R
=
， 由电阻定律知
2
'
n r
R
S
π
ρ
⋅
=，
其中
B
t
∆
∆
、ρ、S'均为恒量，所以，I r
∝，故选C。

【总结升华】该类题目一般采用表达式法，即先推导某物理量（该题的感应电流，）的最终字母表达式，由表达式确定原因、措施和相关因素。

例2．如图甲所示的螺线管，匝数1500
n=匝，横截面积2
20 cm
S=，电阻1.5Ω
r=，
与螺线管串联的外电阻
1
3.5Ω
R=，
2
25Ω
R=，方向向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强
度按图乙所示规律变化，试计算电阻
2
R的电功率。

【思路点拨】首先由B t-图象求
B
t
∆
∆
，继而由法拉第电磁感应定律求出螺线管中产生的感应电动势；将电磁感应问题转化为电路问题。

【答案】1.0W
【解析】本题考查法拉第电磁感应定律及电路的有关计算，解题关键是能由B t-图象求
B
t
∆
∆。

由图乙知，螺线管中磁感应强度B均匀增加，其变化率为
62
T / s2T / s
2
B
t
∆-
==
∆
，
由法拉第电磁感应定律知螺线管中产生的感应电动势
4
150020102V 6.0V
ФB
E n n S
t t
-
∆∆
==⋅=⨯⨯⨯=
∆∆
由闭合电路欧姆定律知螺线管回路的电流为
12
6
A0.2A
1.5 3.525
E
I
r R R
===
++++
，
电阻R2消耗的功率为
22
22
(0.2)25W 1.0W
P I R
==⨯=。

【总结升华】由法拉第电磁感应定律求出感应电动势后，就可将电磁感应问题转化为电路问题，运用电路有关知识求解。

类型二、导体切割磁感线产生感应电动势的分析计算
例3．在水平方向的匀速磁场中，将一导体棒以初速度0v 水平抛出，设整个过程中，棒始终平动且不计空气阻力，试分析金属棒在运动过程中产生电动势大小的变化情况，并画出电动势随时间变化的图线。

【答案】电动势E 随时间逐渐增大 图象见解析
【解析】棒水平抛出做平抛运动，根据平抛运动的规律知： 0x v v = ① y v gt = ② 而0v 平行于磁场，不切割磁感线，只有y v 切割磁感线。

根据电动势求解公式得：
y E Blv =（其中l 为导体棒的长度）， ③
联立②③式得：
E Blgt =。

所以在运动过程中，电动势E 随时间延续逐渐增大。

所以E t -图象为过原点的直线，如图所示。

【总结升华】对E Blv =必须明确的是：v 是垂直于磁场方向的速度。

举一反三
【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例3】
【变式】如图所示，半径为R 、单位长度电阻为λ的均匀导电圆环固定在水平面上，圆环中心为O 。

匀强磁场垂直水平方向向下，磁感强度为B 。

平行于直径MON 的导体杆，沿垂直于杆的方向向右运动。

杆的电阻可以忽略不计，杆与圆环接触良好,某时刻，杆的位置如图， 2aOb θ∠=，速度为v 。

求此时刻作用在杆上的安培力的大小。

v
a d
N M b c
θ
l
【答案】222sin ()
R F vB πθ
λθπθ=-．
【解析】 2sin E Bvlab Bv R θ== 等效电路如图。

此时弧acb 和弧adb 的电阻分别为：
2()R λπθ-和 2R λθ，
它们的并联电阻为：
2()/R R λθπθπ=-并.
电路中的电流为：
/ ()I E R Bv sin πθλθπθ==-并／.
作用在杆上的安培力的大小为：
(2sin )F BI R θ=. 222sin ()
R F vB πθλθπθ=-.
例4．（2015 安徽卷）如图所示，abcd 为水平放置的平行“
”形光滑金属导轨，
间距为l ，导轨间有垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，导轨电阻不计。

已知金属杆MN 倾斜放置，与导轨成θ角，单位长度的电阻为r ，保持金属杆以速度v 沿平行于cd 的方向滑动（金属杆滑动过程中与导轨接触良好）。

则（ ）
A ．电路中感应电动势的大小为
θsin Blv
B ．电路中感应电流的大小为r
Bv θ
sin
C ．金属杆受到的安培力的大小为r lv B θ
sin 2
D ．金属杆的热功率为θ
sin 2
2r lv B
【思路点拨】由导体切割磁感线公式可求得感应电动势的大小，由安培力公式F=BIL 可求得安培力；由P=Fv 即可求得功率；注意公式中L 均为导轨间的距离。

【答案】B
【解析】感应电动势的大小为Blv E =，A 错。

导体棒的电阻为θ
r
l R sin .=
，所以感应电流的大小为r
θ
Bv R E I sin =
=，B 对。

金属杆所受的安培力大小为有BIL F =，θ
l L sin =
有，r lv B F 2=，C 错。

金属杆的热功率为r θlv B R I P sin ==222
，D 错。

故选B 【总结升华】本题考查导体切割磁感线中的电动势和安培力公式的应用，要注意明确E=BLv 和F=BIL 均为导轨宽度，即导线的有效切割长度。

举一反三
【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例1】
【变式】如图所示，三角形金属导轨EOF 上放有一金属杆AB ，在外力作用下，使AB 保持与OF 垂直，以速度v 匀速从O 点开始右移，若导轨与金属棒均为粗细相同的同种金属制成，则下列判断正确的是（ ）
A ．电路中的感应电流大小不变
B ．电路中的感应电动势大小不变
C ．电路中的感应电动势逐渐增大
D ．电路中的感应电流逐渐减小
【答案】AC
【解析】本题考查用公式sin E Blv θ=求感应电动势，解题关键是正确推导出感应电动势和感应电流的表达式。

设导体棒从O 开始到如图所示位置所经历时间为t ，
EOF θ∠=，则导体棒切割磁感线的有效长度tan l OB θ⊥=，故
2tan tan E Bl v Bv vt Bv t θθ⊥⊥==⋅=⋅，
即电路中电动势与时间成正比，C 正确； 电路中电流强度
2tan /E Bv t I R l S
θρ⋅== 而l OAB =∆的周长
1
(1tan)
cos cos
·tan
v
l O
t
vt
B AB OA vt vt
θ
θθ
θ
=++==++
++.
所以
tan
1
(1tan)
cos
BvS
I
θ
ρθ
θ
=
++
．
为恒量，所以A正确。

【总结升华】此类题一般采用解析式法，推导感应电动势、感应电流的表达式。

求出导体棒切割磁感线的有效长度和三角形的周长很重要，并且注意切割磁感线的有效长度、回路总电阻是随时间变化的。

例5．（2015 潍坊校级模拟）如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。

导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。

导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。

在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。

已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。

忽略所有电阻。

让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。

【答案】(1)Q＝CBLv(2)v＝
m sin θ－μcos θ
m＋B2L2C
gt
【解析】(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为E＝BLv ①
平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E ②
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝
Q
U③联立①②③式得Q＝CBLv ④
(2)设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。

金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为f1＝Bli ⑤设在时间间隔(t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝
ΔQ
Δt⑥ΔQ也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加的电荷量。

由④式得ΔQ＝CBLΔv ⑦
式中，Δv为金属棒的速度变化量。

按定义有a＝
Δv
Δt⑧金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为f2＝μN⑨
式中，N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有N ＝mg cos θ ⑩ 金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有 mg sin θ－f 1－f 2＝ma
⑪ 联立⑤至⑪式得 a ＝m sin θ－μcos θm ＋B 2L 2C g ⑫ 由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。

t 时刻金属棒的速度大小为
v ＝m sin θ－μcos θm ＋B 2L 2C gt ⑬
【总结升华】由于感应电流与导体切割磁感线运动的加速度有着相互制约的关系，故导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态。

分析这一动态过程进而确定最终状态是解决这类问题的关键。

类型三、E BLv =和ФE n t
∆=∆的区别和联系 例6．如图所示，边长为a 的正方形闭合线框ABCD 在匀强磁场中绕AB 边匀速转动，磁感应强度为B ，初始时刻线框所在平面与磁感线垂直，经过t 时间转120︒角，求：
（1）线框内感应电动势在t 时间内的平均值；
（2）转过120︒角时感应电动势的瞬时值。

【答案】（1）2
32Ba t
（223Ba π
【解析】本题考查E BLv =和ФE n t
∆=∆的区别和联系，解题关键是明确两公式的适应范围和适应条件。

（1）设初始时刻线框向纸外的一面为正面，此时磁通量
21ФBa =，
磁感线从正面穿入，t 时刻后
2212
ФBa =， 磁感线从正面穿出，磁通量的变化量为
232Ba Ф∆=， 则
2
32ФBa E t t
∆==∆． （2）计算感应电动势的学时值要用公式
sin E BLv θ=．
23a v t
π=
， 120θ=︒， 所以
2
33Ba E t
π=。

【总结升华】①应正确理解Ф，Ф虽为标量，但具有某种方向性含义。

②E BLv =和ФE n t ∆=∆是统一的，当0t ∆→时，ФE n t
∆=∆为瞬时感应电动势，E BLv =可由ФE n t
∆=∆推导出来。

举一反三
【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例5】
【变式】如图，面积为2
0.2m 的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感强度随时间变化规律为20.2T B t =＋（），定值电阻16ΩR =，线圈电阻24ΩR =，
试分析：
（1）穿过每匝线圈磁通量的变化率，线圈产生的总电动势；
（2）2R 两端的电压．
【答案】4V 2.4V
【解析】(1) 根据法拉第电磁感应定律每匝线圈磁通量的变化率为
0.20.20.04Wb/s B s t t
ϕ∆∆==⨯=∆∆. 线圈产生的电动势：
1000.044V
E n
t
ϕ
∆
==⨯=
∆
.
由闭合电路串联分压可知
2
R两端电压为路端电压
2
2
12
6
4 2.4V
46
R
U E
R R
==⨯=
++
．
类型四、导体棒转动切割磁感线产生感应电动势的计算
例７．长为l的金属棒ab以a点为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω做匀速转动，如图所示，磁感应强度为B，求ab两端的电势差。

【思路点拨】关键要清楚棒上各点线速度不同，可先求得平均速度，再求感应电动势；又角速度相同，可先求得磁通量的变化，再求感应电动势。

两种方法均可。

【答案】2
1
2
Blω
【解析】本题考查导体棒转动切割磁感线产生的感应电动势，关键要清楚棒上各点线速度不同。

解法一：ab两端电势差等于金属棒切割磁感线产生的感应电动势，由v r
ω
=知，棒上各点的线速度和该点离转轴的距离成正比，所以导体棒切割磁感线的平均速度为：
11
222
a b
v v
v vb lω
+
===，
2
1
2
ab
E Blv Blω
==．
解法二：设Δt时间内金属棒扫过的扇形面积为ΔS，则
22
11
22
S l l t
θω
∆==∆，
2
1
2
ФB S Bl t
ω
∆=∆=∆．
由法拉第电磁感应定律知：
2
2
1
1
2
2
Bl t
Ф
E Bl
t t
ω
ω
∆
∆
===
∆∆
．
【总结升华】sin
E BLvθ
=可由法拉第电磁感应定律
Ф
E n
t
∆
=
∆
推出，所以两种方法求得结果相同。

用sin
E BLvθ
=求解时，用平均速度
2
l
v
ω
=，即转轴到外端中点的速度进行分析。

举一反三
【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例4】
【变式】如图，一个半径为r 的金属铜盘，在磁感应强度为B 的匀强磁场中以角速度ω绕中心轴OO '匀速转动，磁场方向与盘面垂直，在盘的中心轴与边缘处分别安装电刷，设整个回路电阻为R ，当圆盘匀速运动角速度为ω时，通过电阻的电流为多大?
【答案】22Br R
ω 【解析】半径为r 的圆盘转动等效长为r 的直杆绕OO '垂直转动．
212
E Br ω=； 22E Br I R R
ω==．
类型五、电磁感应中的电荷量问题
例8．如图所示，导线全部为裸导线，半径为r 的圆内有垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，一根长度大于2r 的导线MN 以速度v 在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R ，其余部分电阻忽略不计。

试求MN 从圆环的左端滑到右端的过程中电阻R 上的电流的平均值及通过的电荷量。

【答案】见解析
【解析】本题考查电磁感应现象及感应现象中产生的电荷量，解题关键是选对求电动势的公式。

2
ФB S B r π∆=⋅∆=⋅， 完成这一变化所用时间
2r t v
∆=
． 所以
2ФBrv E t π∆==∆， 电阻R 上的平均电流为： 2E Brv I R R π=
=． 通过R 的电荷量为：
2
B r q I t R
π=⋅∆=．
【总结升华】（1）本题求电动势时若用sin E BLv θ=，因有效切割长度在不断变化，所以难以求得平均感应电动势。

（2）电磁感应现象中的电荷量用q I t =⋅∆求，对应平均电流和平均感应电动势。

（3）一般地，对于n 匝线圈的闭合电路，由于磁通量变化而通过导线横截面的电荷量Фq n R
∆=。

举一反三
【变式】如图所示，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻R 的直角形金属导轨aOb （在纸面内），磁场方向垂直于纸面朝里，另有两根金属导轨c 、d 分别平行Oa 、Ob 放置。

保持导轨之间接触良好，金属导轨的电阻不计。

现经历以下四个过程：（1）以速度v 移动d ，使它与Ob 的距离增大一倍；（2）再以速度v 移动c ，使它与Oa 的距离减小一半；（3）然后，再以速率2v 移动c ，使它回到原处；（4）最后以速度2v 移动d ，使它也回到原处。

设上述四个过程中通过电阻尺的电荷量的大小依次为1Q 、2Q 、3Q 、4Q 。

则（ ）
A ．1234Q Q Q Q ===
B ．123422Q Q Q Q ===
C ．123422Q Q Q Q ===
D ．1234Q Q Q Q ≠≠≠
【答案】A
【解析】本题考查电磁感应中求电荷量的问题，解题的关键是确定每个过程的∆Φ。

设起初d 与Ob 距离为1L ，c 与Oa 距离为2L ，磁感应强度为B 。

（1）以速度v 移动d
，使它与Ob 的距离增大一倍。

则
121121ФBL L BL L Q R R R
∆⋅=
==； （2）再以速度v 移动c ，使它与Oa 的距离减小一半，则
21212222L B L ФBL L Q R R R
⋅⋅∆===； （3）然后，再以速度d 移动c ，使它回到原处。

则
21312322L B L ФBL L Q R R R
⋅⋅∆===； （4）最后以速率2v 移动d ，使它也回到原处。

则
421124ФBL L BL L Q R R R ∆⋅===． 因此，根据计算可以看出，1234Q Q Q Q ===，本题正确答案应该是选项A 。

【总结升华】在电磁感应中，回路中磁通量发生变化时，由于出现感应电动势，会在闭合回路中使电荷定向移动而形成感应电流。

在某一变化过程中，通过回路的某截面的感应电荷量为：ФQ R
∆=，与R 、Ф∆有关，与时间、速度等其他物理量无关。

因此，本题中只比较四个变化过程中的磁通量的变化，又因为磁场不变，所以，只需要比较面积的变化即可。

类型六、电磁感应中的能量问题
例9．如图所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨与水平面的倾角为θ，导轨下端接有电阻R ，匀强磁场垂直于斜面向上，质量为m 、电阻不计的金属棒ab 在沿斜面与棒垂直的恒力F 作用下沿导轨匀速上滑，上升高度为h 的过程中（ ）
A ．金属棒所受各力的合力所做的功等于零
B ．金属棒所受各力的合力所做的功等于mgh 和电阻R 上发出的焦耳热之和
C ．恒力F 与重力的合力所做的功等于棒克服安培力所做的功与电阻尺上产生的焦耳热之和
D ．恒力F 与重力的合力所做的功等于电阻R 上产生的焦耳热
【思路点拨】先作受力分析，再考查各力做的功，然后正确写出功能关系：动能定理的表达式，即可选出正确答案。

【答案】AD
【解析】本题考查反电动势及电磁感应现象中的功能关系，解题关键是知道回路中的电能（最终转化为焦耳热）由导体克服安培力做的功度量。

棒在运动过程中受重力G 、安培力F 安、弹力N 、拉力F （如图所示），棒匀速上升过程中有三个力做功：恒力F 做正功，重力G 、安培力F 安做负功。

由动能定理知0G W W W ++=恒安，所以A 正确，B 错误。

恒力F 与重力G 的合力所做的功等于导体克服安培力的功，克服安培力做的功等于回路中电能的增加，克服安培力的功和焦耳热不能重复考虑，故C 错，D 正确。

【总结升华】受力分析后，考查各力做的功，写出功能关系：动能定理的表达式，才容易选出正确答案。

举一反三
【高清课堂：法拉第电磁感应定律 例7】
【变式】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B 特，方向竖直向下，在磁场中有一个边长为L 米的正方形刚性金属框。

ab 边质量为m 千克，其它三边的质量不计，金属框的总电阻为R 欧，cd 边上装有固定的水平轴，现在将金属框从水平位置由静止释放，不计一切摩擦。

金属框经t 秒钟恰好通过竖直位置''a b cd 。

（1）在图中标出ab 通过最低位置时，金属框中的感应电流的方向；
（2）求上述t 秒内金属框中的平均感应电动势；
（3）若在上述t 秒内，金属框中产生的焦耳热为Q 焦耳，求ab 边通过最低位置时受到的安培力。

【答案】（1）b 到a （2）2BL t （3222()B L mgL Q R m
-【解析】（1）根据右手定则，可判断金属中的感应电流方向是b 到a ．
（2）感应电动势的平均值为：
2
BS BL E t t t
Ф∆===∆．
（3）安培力的存在使得物体中要克服安培力做功，克服安培力作了多少功就将多少其他形式的能转化为电能，即转化为焦耳热。

因此，物体克服安培力所作的功在数值上就等于电路中产生的焦耳热：
W Q =-安．
若在上述t 秒内，金属框中产生的焦耳热为Q 焦耳，求ab 边通过最低位置时受到的安培力。

线圈在下落过程中，重力做正功，安培力做负功，线圈动能增加，根据动能定理： 212
G F W W mv +=， 21-2
mgL Q mv =，
v =
． 受到的安培力为：
22ab B L v F BIL R ===。