人教新课标版数学高一A版必修2知识必备 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直

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2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
知识梳理
1.一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内任意一条直线.
2.性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.
3.两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
4.垂直于同一直线的两个平面平行.
5.两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
.知识导学
直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法,即“线面垂直,则线线平行”,它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系.面面垂直的性质定理则揭示了线面垂直与面面垂直的内在联系.
疑难突破
1.请思考线面垂直的实质是什么,直线与平面垂直的性质定理与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”有什么联系?
剖析:直线和平面的垂直实质上取决于线与线的垂直,反过来,线面的垂直又得到线线的垂直,
这是线面垂直的实质.对于垂直于同一平面的两条直线,我们有性质定理:垂直于同一平面的两条直线平行.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”相互结合,在证明线面垂直的问题中发挥着重要作用.
直线与平面垂直的性质定理,考查的是在直线与平面垂直的条件下,可以得出哪些结论.它与“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”互为逆命题.这两个命题可用符号表示为:当a⊥α时,a∥b b⊥α.
2.两个平面垂直有什么性质？
剖析:两个平面垂直的性质有:
(1)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直;
(2)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
其中性质定理成立要有两个条件:一是线在面内,二是线垂直于交线,才能线面垂直,这一定理也可简述为“面面垂直,则线面垂直”,它反映了面面垂直与线面垂直的密切关系;对于第二条性质,只要在其中一个平面内通过一点作另一平面的垂线,那么这条垂线必在这个平面内.对点的位置,它既可以在交线上,也可以不在交线上.
平面与平面垂直的性质,讨论的是在两个平面相互垂直的条件下,能够得出一些什么结论.这个问题的过程采用的思路自然是“直观感知、操作确认、推理证明”,即充分利用长方体等实物模型感知在相邻的两个相互垂直的平面中,有哪些特殊的直线、平面的关系,然后通过操作,确认两个平面垂直的性质定理的合理化,进而提出猜想,最后进行逻辑推理,证明性质定理成立.沿用这一模式,对培养空间观念、空间想象能力以及逻辑推理能力的基本规律的认识是有益的.
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