2021年高考数学 第四章 第五节 数系的扩充与复数的引入课时提升作业 文 北师大版

2021年高考数学第四章第五节数系的扩充与复数的引入课时提升作业文北师大
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一、选择题
1.（xx•铜川模拟）复数在复平面上对应的点位于 ( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
2.(xx·景德镇模拟)复数(m2-3m)+mi(m∈R)是纯虚数,则实数m的值是 ( )
(A)3 (B)0
(C)0或3 (D)0或1或3
3.（xx•西安模拟）设i是虚数单位，则1-i+i2-i3+i4-…+i20等于 ( )
(A)i (B)-i (C)-1 (D)1
4.复数等于( )
(A)-1+i (B)1+i
(C)1-i (D)-1-i
5.若+(1+i)2=a+bi(a,b∈R),则a-b= ( )
(A)2 (B)-2
(C)2+2 (D)2-2
6.(xx·北京高考)在复平面内,复数对应的点的坐标为( )
(A)(1,3) (B)(3,1)
(C)(-1,3) (D)(3,-1)
7.设i是虚数单位,复数z=tan45°-i·sin 60°,则z2等于( )
(A)-i (B)-i
(C)+i (D)+i
8.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
9.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于( )
(A)1 (B)-1
(C)i (D)-i
10.(能力挑战题)若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为( )
(A)2kπ-,k∈Z
(B)2kπ+,k∈Z
(C)2kπ±,k∈Z
(D)π+,k∈Z
二、填空题
11. (xx•商洛模拟)复数z
0=5+2i(i为虚数单位),复数z满足z·z
=5z+z
,
则z= .
12.定义一种运算如下:=x
1y
2
-x
2
y
1
,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.
13.(能力挑战题)已知复数z
1=cosθ-i,z
2
=sinθ+i,则z
1
·z
2
的实部的最大值为,虚
部的最大值为.
14.若复数z=cosθ+isinθ且z2+=1,则sin2θ= .
三、解答题
15.已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值.
(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.
答案解析
1. 【解析】选A.从而复数z在复平面上对应的点为在第一象限.
2.【解析】选A.∵(m2-3m)+mi是纯虚数,
∴m2-3m=0且m≠0,
∴m=3.
3. 【思路点拨】相邻四项的代数和为0，共21项.
【解析】选D.1-i+i2-i3=0，根据i n的周期性知，相邻四项的代数和为0，故选D.
4.【解析】选A.=
==-1+i.
【变式备选】已知x,y∈R,i为虚数单位,且(x-2)i-y=-1+i,则(1+i)x+y的值
为( )
(A)4 (B)4+4i
(C)-4 (D)2i
【解析】选C.由(x-2)i-y=-1+i,
得x=3,y=1,
∴(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.
5.【思路点拨】先化简等号左边的复数,再根据复数相等解题.
【解析】选B.+(1+i)2=1-i-2+2i
=-1+(2-1)i=a+bi,
则a=-1,b=2-1,故a-b=-2.
6.【思路点拨】化简复数后,利用复数的几何意义找出所对应的点.
【解析】选A.===1+3i,所对应点的坐标为(1,3).
7.【解析】选B.z=1-i,∴z2=-i.
8.【思路点拨】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.
【解析】选A.z===+i,显然>0与->0不可能同时成立,则z=对应的点不可能位于第一象限.【一题多解】选A.z==+i,设x=,y=,则2x+y+2=0.又直线2x+y+2=0不过第一象限,则z=对应
的点不可能位于第一象限.
【方法技巧】复数问题的解题技巧
(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.
(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.
9.【解析】选C.由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,
故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,
故()3=()3=i.
10.【解析】选B.由题意,得
解得
∴θ=2kπ+,k∈Z.
11.【解析】由z
0=5+2i及z·z
=5z+z
,
得z====1-i.
答案:1-i
12.【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.答案:-1-(-1)i
13.【解析】z
1·z
2
=(cosθsinθ+1)+i(cosθ-sinθ).
实部为cosθsinθ+1=1+sin 2θ≤,
所以实部的最大值为.
虚部为cosθ-sinθ=sin(-θ)≤,
所以虚部的最大值为.
答案:
14.【解析】z2+=(cosθ+isinθ)2+(cosθ-isinθ)2=2cos 2θ=1⇒cos 2θ=,所以sin2θ==.答案:
15.【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.
【解析】(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,
∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
∴
解得a=b=3.
(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),
由|-3-3i|=2|z|,
得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),
即(s+1)2+(t-1)2=8,
(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,
∴Z点的轨迹是以O
1
当Z点在OO
的连线上时,
1
|z|有最大值或最小值.
|=,
∵|OO
1
半径r=2,
∴当z=1-i时,
=.
|z|有最小值且|z|
min
【变式备选】若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解析】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),
则z+=a+bi+
=a(1+)+b(1-)i.
又z+3=a+3+bi,z+是实数,
根据题意有
∵b≠0,
∴
解得或
∴z=-1-2i或z=-2-i.
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