2006-2008年广东省肇庆市中考数学解答题精选

2006—2008年某某市中考数学解答题精选（06年）一、解答题
16．（本小题满分6分）
解不等式组：
21 318. x
x
->-
⎧
⎨
+<
⎩
，
17．（本小题满分6分）
一袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个．从袋中任意摸出一球，请问：（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
（2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
（3）“摸出的球是红球或黄球”是什么事件？它的概率是多少？
18．（本小题满分6分）
一个人由山底爬到山顶，需先爬45的山坡200m，再爬30的山坡300m，求山的高度（结果可保留根号）．
19．（本小题满分6分）（1）求证：B C
=
∠∠；
（2）若50
A =
∠，问ADC
△经过怎样的变换能与AEB
△重合？
20．（本小题满分7分）
如图4，已知点A的坐标为(13)
，，点B的坐标为(31)，．
（1）写出一个图象经过A B
，两点的函数表达式；
（2）指出该函数的两个性质．
21．（本小题满分7分）
如图5，在ABC
△中，AB AC
=，点D E
，分别是AB AC
，的中点，F是BC延长线上的一点，且
1
2
CF BC
=．
（1）求证：DE CF
=；
（2）求证：BE EF
=．
A
图5
图4
（1）计算：2
2
()()a b a ab b +-+；
（2）若11x y xy +==-，，求3
3
x y +的值．
23．（本小题满分8分）
如图6，已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点
匀速运动，问：
（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的1
9
？ （2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分11分）
已知两个关于x 的二次函数1y 与22
2112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，；当x k =时，
217y =；且二次函数2y 的图象的对称轴是直线1x =-．
（2）求函数12y y ，的表达式；
（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由．
（07年）
16．（本小题满分6分）
计算：1
1)31(19-+-+--
17．（本小题满分6分）
一件商品按成本价提高20%后标价，又以9折销售，售价为270元，则这件商品的成本价是多少？
18．（本小题满分6分）
某校共有学生600名，学生上学的方式有乘车、骑车、步行三种． 如图5是该校学生乘车、骑车、步行上学人数的扇形统计图．
（1）求步行的人数； （2）求乘车的人数；
图6
步行30%
乘车
45%骑车
（3）求表示乘车人数的扇形的圆心角度数．
19．（本小题满分7分）
如图6，已知点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ， 过点D 作DG ⊥AE ，垂足为G ，延长DG 交AB 于点F ． 求证：BF =CE ．
20．（本小题满分7分）
有一座塔，在地面上A 点测得其顶点C 的仰角为30°． 向塔前进50m 到B 点，又测得C 的仰角为60°． 求塔的高度（结果可保留根号）．
21．（本小题满分7分）
已知a ，b 是方程0122
=-+x x 的两个根，求代数式))(1
1(22b a ab b
a --的值．
22．（本小题满分８分）
如图7，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是AB 边上的高， AE 是⊙O 的直径． 求证：AC ·BC =AE ·CD ．
23．（本小题满分８分）
已知正比例函数kx y =的图象与反比例函数x
k
y -=5（k 为常数，0≠k ）的图象有一个交点的横坐标是2．
（1）求两个函数图象的交点坐标；
（2）若点),(11y x A 、),(22y x B 是反比例函数x
k
y -=
5图象上的两点，且21x x <，试比较1y 、2y 的大小．
A
F
B
E C
D
G 图
6
图7
24．（本小题满分10分）
已知抛物线)0(922
≠-+-=，k k k kx kx y 为常数，且当0>x 时，1>y ． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求k 的取值X 围；
（3）过动点P （0，n ）作直线l ⊥y 轴，点O 为坐标原点． ①当直线l 与抛物线只有一个公共点时，求n 关于k 的函数关系式；②当直线l 与抛物线相交于A 、B 两点时，是否存在实数n ，使得不论k 在其取值X 围内取任意值时，△AOB 的面积为定值？如果存在，求出n 的值；如果不存在，说明理由．
25．（本小题满分10分）
如图8，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°， AB =2a ，CD =a ，BC =2，四边形BEFG 是矩形， 点E 、F 分别在腰BC 、AD 上，点G 在AB 上． 设FG = x ，矩形BEFG 的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）当矩形BEFG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，求x 的值；
（3）当∠DAB =30°时，矩形BEFG 是否能成为正方形，若能，求其边长；若不能，请说明理由．
（08年）
16.（本小题满分6分） 计算：10
22
1
1)3(-+--.
17.（本小题满分6分）
在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.
18.（本小题满分6分） 解不等式：)20(310x x --≥70.
19.（本小题满分7分）
如图4， E 、F 、G 分别是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点. （1） 图中有多少个三角形？
（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.
A
G
B
E C D F
图8
20.（本小题满分7分）
在某某省发生地震后，某某运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队出发18小时后立刻启程，结果两车队同时到达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.
21.（本小题满分7分）
如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB 上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；
（2）若BC=2cm，求正方形DEFG的边长.
22.（本小题满分8分）
已知点A（2，6）、B（3，4）在某个反比例函数的图象上.
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）若直线mx
y=与线段AB相交，求m的取值X围.
23.（本小题满分８分）
在2008奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，甲、乙两名运动员的射击成绩如下（单位：环）：
（１）两名运动员射击成绩的平均数分别是多少?
（２）哪位运动员的发挥比较稳定？
2
2
2
2
2
2
2
26.0
3.0
6.0
1
4.0
2.0
3.0+
+
+
+
+
+
+=2.14 ，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
21.0
4.0
5.0
2.0
2.0
9.0
1.0
2.0
3.0
1.0+
+
+
+
+
+
+
+
+=1.46）
24.（本小题满分10分）
如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E .
(1) 求证AE =CE ；
(2) EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ，若CD =CF =2cm ，求⊙O 的直径；
（3）若n CD
CF
= （n >0）
，求sin ∠CAB .
25.（本小题满分10分）
已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252
+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；
（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
2006—2008年某某市中考数学解答题精选
参考答案
一、解答题 （06年）
16．（本小题满分6分） 解：解21x ->-，得1x >； 解318x +<，得73
x <
；
所以，原不等式组的解集是7
13
x <<．
17．（本小题满分6分）
解：（1）“摸出的球是白球”是不可能事件，它的概率为0； （2）“摸出的球是黄球”是不确定事件，它的概率为0.4； （3）“摸出的球是红球或黄球”是必然事件，它的概率为1．
18．（本小题满分6分）
解；依题意，可得山高200sin 45300sin30h =+
1
20030022
=⨯
+⨯
150=+
所以山高为(150+．
19．（本小题满分6分）
（1）证明：在AEB △与ADC △中，AB AC A A AE AD ===，∠∠，，
AEB ADC ∴△≌△， （
3分） B C ∴=∠∠．
（4分）
（2）解：先将ADC △绕点A 逆时针旋转50，再将ADC △沿 直线AE 对折，即可得ADC △与AEB △重合．
或先将ADC △绕点A 顺时针旋转50，再将ADC △沿直线AB 对折，即可得ADC △与AEB △重合．
20．（本小题满分7分）
解：（1）设经过A B ，两点的一次函数表达式为y kx b =+，
则有313.
k b k b =+⎧⎨
=+⎩，
（3分）
解得14.k b =-⎧⎨
=，
（4分）
故经过A B ，两点的一次函数表达式为4y x =-+．
（2）函数4y x =-+有如下等性质，指出了其中的两点，即可得2分． ①函数y 的值随x 的增大而减小；②函数的图象与x 轴的交点为(40)，； ③函数的图象与y 轴的交点为(04)，；④函数的图象经过第一、二、四象限； ⑤函数的图象与坐标轴围成一等腰直角三角形． （说明：用反比例函数或二次函数解答，同样给分） 21．（本小题满分7分） 证明：（1）
D E ，分别为AB AC ，的中点，DE ∴为中位线．
DE BC ∴∥，且1
2
DE BC =；
又
1
2
CF BC =
，DE CF ∴=．
（2）连结DC ．由（1）可得DE CF ∥，且DE CF =，
∴四边形DCFE 为平行四边形，
EF DC ∴=．
AB AC =，且DE 为中位线，∴四边形DBCE 为等腰梯形，
又
DC BE ，为等腰梯形DBCE 的对角线，DC BE ∴=，
BE EF ∴=．
22．（本小题满分8分）
解：（1）2
2
3
2
2
2
2
3
()()a b a ab b a a b ab a b ab b +-+=-++-+
33a b =+
（2）3
3
2
2
()()x y x y x xy y +=+-+
2
()()3x y x y xy ⎡⎤=++-⎣⎦
11x y xy +==-，，
332
113(1)4x y ⎡⎤∴+=⨯-⨯-=⎣⎦
23．（本小题满分8分）
解：（1）设经过x 秒后，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的
1
9
， 则有：
11
(62)3629
x x -=⨯⨯，即2320x x -+=， 解方程，得1212x x ==，．
经检验，可知1212x x ==，符合题意，所以经过1秒或2秒后，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的
19
．
（2）假设经过t 秒时，以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似， 由矩形ABCD ，可得90CDA MAN ==∠∠，因此有
AM DC AN DA =或AM DA
AN DC
=
即
3626t t =-①，或6
623
t t =-②．
解①，得32t =
；解②，得12
5
t = 经检验，32t =
或125t =都符合题意，所以动点M N ，同时出发后，经过32秒或125
秒时，以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △相似．
24．（本小题满分11分）
解：（1）由22
112()2612y a x k y y x x =-++=++，
得2222
2121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--．
又因为当x k =时，217y =，即2
61017k k ++=，
解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．
（2）由1k =，得222
2610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-，
所以函数2y 的图象的对称轴为26
2(1)
a x a +=-
-，
于是，有26
12(1)
a a +-
=--，解得1a =-，
所以22
12212411y x x y x x =-++=++，．
（3）由2
1(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(12)，；
由22
224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(19)-，；
（10分） 故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．
（07年）
16．（本小题满分6分）
解：原式=1113++-
= 4
17．（本小题满分6分）
解：设这种商品的成本价为x 元，依题意得，
270%90%)201(=⨯+x ，
解以上方程，得250=x ． 答：这种商品的成本价是250元． 18．（本小题满分6分）
解：（1）步行的人数为)(180%30600人=⨯； （2）乘车的人数为)(150%)45%301(600人=--⨯；
（3）表示乘车人数的扇形的圆心角度数为︒=--⨯︒90%)45%301(360． 6分 19．（本小题满分7分）
证明：在正方形ABCD 中，∠DAF =∠ABE =90°， DA =AB =BC ． ∵DG ⊥AE ，∴∠FDA +∠DAG=90°．
又∵∠EAB +∠DAG =90°， ∴∠FDA =∠EAB ．
在Rt △DAF 与Rt △ABE 中，DA =AB ，∠FDA =∠EAB ， ∴Rt △DAF ≌Rt △ABE ，
∴AF =BE ． 又AB =BC ， ∴BF =CE ．
20．（本小题满分7分）
解：如图，依题意，有∠A =30°，∠CBD =60°，AB =50m ．
因为∠CBD =∠A +∠ACB ，
所以∠ACB =∠CBD －∠A =60°－30°=30°=∠A ． 因此BC =AB =50m ．
在Rt △CDB 中，CD =CB sin60°=3252
3
50=⨯(m)， 所以塔高为325m ．
21．（本小题满分7分）
解：)())(11(
22a b ab ab
a
b b a ab b a -•-=-- 2)(b a -=
ab b a 4)(2-+=
因为a ，b 是方程0122
=-+x x 的两个根，所以⎩⎨⎧-=-=+.
1,
2ab b a
故原式=8)1(4)2(2
=-⨯--． 22．（本小题满分8分）
证明：连结EC ，∴∠B =∠E ．
∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ACE =90°．
E C
D
步行
30%乘车
45%图5
骑车A
B
D
C
∵CD 是AB 边上的高，∴∠CDB =90°．
在△AEC 与△CBD 中，∠E =∠B ，∠ACE =∠CDB ， ∴△AEC ∽△CBD ． ∴
CD
AC
BC AE =
， 即AC ·BC =AE ·CD ． 23．（本小题满分8分）
解：（1）由题意，得2
52k
k -=
， 解得1=k ．
所以正比例函数的表达式为x y =，反比例函数的表达式为x y 4
=．
解x
x 4
=，得2±=x ，由x y =，得2±=y ．
所以两函数图象交点的坐标为（2，2）、（－2，－2）．
（2）因为反比例函数x
y 4
=的图象分别在第一、三象限内，y 的值随x 值的增大而减小，所以
当021<<x x 时，21y y >； 当210x x <<时，21y y >； 当210x x <<时，因为0411<=x y ，04
2
2>=x y ，所以21y y <． 24．（本小题满分10分）
解：（1）∵122=--
k
k
，924)2()9(42+-=---k k k k k ， ∴抛物线的顶点坐标为)92,1(+-k ．
（2）依题意可得⎩⎨
⎧>+->,
192,
0k k
解得40<<k ． 即k 的取值X 围是40<<k ．
（3）①当直线l 与抛物线只有一个公共点时，即直线l 过抛物线的顶点，由（1）得n 关于k 的函数关系式为92+-=k n （40<<k ）．
②结论：存在实数n ，使得△AOB 的面积为定值．
理由：k kx kx n -+-=922
，整理，得0)9()12(2
=-+--n k x x ．
∵对于任意的k 值，上式恒成立，∴⎩⎨⎧=-=--.09,
0122n x x 解得⎩⎨⎧=±=.
9,21n x
∴当n =9时，对k 在其取值X 围内的任意值，抛物线的图象都通过点)9,21(-和点)9,21(+，
即△AOB 的底22=AB ，高为9，因此△AOB 的面积为定值29． 25．（本小题满分10分）
解：（1）过点D 作DH ⊥AB 于H ．
因为在矩形BEFG 中，FG ⊥AB ，所以FG ∥DH ．
所以△AGF ∽△AHD ， 所以
DH
FG
AH AG =
． 即
22x a a AG =-，得2
ax
AG =
， 所以2
422ax
a ax a AG AB BG -=
-
=-=． 因此ax ax ax a x BG FG y 221
242+-=-⨯
=•=， 即所求的函数关系式为2
12(02)2
y ax ax x =-
+<≤． （2）依题意，得2)2(2
1
212212⨯+⨯=+-
a a ax ax ， 因为0≠a ，解以上方程得，11=x ，32=x ． A
G
B
E
C D
F
H 图8
故当矩形BEFG 的面积等于梯形ABCD 的面积的一半时，x 的值为1．
（3）矩形BEFG 不能成为正方形． 在Rt △AHD 中，因为∠DAH =30°，所以a
AH DH 2
30tan ==︒，即32=a 因为232EF CD a ==>≥，即2>EF ． 又因为02x <≤，即02FG <≤，所以FG EF >， 因此矩形BEFG 不能成为正方形． （08年）
16．（本小题满分6分）
解：原式=2
1
211+- =1 17．（本小题满分6分）
解：在Rt △ABC 中，c =5，a =3．
∴ 22a c b -=
2235-=4=）
∴ 5
3
sin ==
c a A ） 4
3
tan ==b a A ．
18．（本小题满分6分）
解：x x 36010+-≥70，
x 13≥130，
∴ x ≥10．
19．（本小题满分7分）
解：（1）图中共有5个三角形； （2）△CGF ≌△GAE ．
∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠=A ∠C ．
∵ E 、F 、G 是边AB 、BC 、AC 的中点，
∴AE =AG =CG =CF =
2
1
AB ． ∴ △CGF ≌△GAE ．
20．（本小题满分7分）
解：设车队走西线所用的时间为x 小时，依题意得：
18
80
800-=
x x ， 解这个方程，得
20=x ．
经检验，20=x 是原方程的解． 答：车队走西线所用的时间为20小时． 21．（本小题满分7分）
解：（1）∵ 等腰Rt △ABC 中，∠=C 90°，
∴ ∠A ＝∠B ， ∵ 四边形DEFG 是正方形， ∴ DE ＝GF ，∠DEA ＝∠GFB ＝90°， ∴ △ADE ≌△BGF ， ∴ AE ＝BF ．
（2）∵ ∠DEA ＝90°，∠A=45°， ∴∠ADE =45°．
∴ AE ＝DE ． 同理BF ＝GF ． ∴ EF ＝
31AB=BC 231⨯=2231⨯⨯=3
2
cm ， ∴ 正方形DEFG 的边长为
2
cm 3
．
22．（本小题满分8分）
解：（1）设所求的反比例函数为x
k y =，
依题意得: 6 =2
k ， ∴k=12．
∴反比例函数为x
y 12=
． （2） 设P （x ，y ）是线段AB 上任一点，则有2≤x≤3，4≤y ≤6． ∵m =
x
y
，∴34≤m ≤26．
所以m 的取值X 围是3
4
≤m ≤3． 23．（本小题满分8分）
解: （1）甲x =102.91.108.94.108.82.108.96.91.1010+++++++++=9.8．
乙x =
10
7
.92.103.106.96.99.89.9101.107.9+++++++++=9.8 ． （2）∵2
甲s =10
1[（10-9.8）2+（10.1-9.8）2+（9.6-9.8）2+（9.8-9.8）2+（10.2-9.8）2+（8.8-9.8）2
+（10.4-9.8）2+（9.8-9.8）2+（10.1-9.8）2+（9.2-9.8）2]=0.214．
2乙s =
10
1
[（9.7-9.8）2+（10.1-9.8）2+（10-9.8）2+（9.9-9.8）2+（8.9-9.8）2+（9.6-9.8）2+（9.6-9.8）2
+（10.3-9.8）2+（10.2-9.8）2+（9.7-9.8）2]=0.146． ∴2
甲
s >2
乙s
，∴乙运动员的发挥比较稳定．
24．（本小题满分10分）
证明：（1）连接DE ，∵∠ABC =90°∴∠ABE =90°，
∴AE 是⊙O 直径．
∴∠ADE =90°，∴DE ⊥AC ．
又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线． ∴AE =CE ．
（2）在△ADE 和△EF A 中，
∵∠ADE =∠AEF =90°，∠DAE =∠F AE ，
∴△ADE ∽△EF A ． ∴
AE AD
AF AE =
， ∴
AE
AE 2
6=
． ∴AE =23cm ．
（3）∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE =∠AEF =90°， ∴Rt △ADE ∽Rt △EDF ．∴
DF
DE
ED AD =
． ∵
n CD
CF
=，AD =CD ，∴CF =nCD ，∴DF =（1+n ）CD ， ∴DE =n +1CD ． 在Rt △CDE 中，CE 2=CD 2+DE 2=CD 2+（n +1CD ）2=（n +2）CD 2
．
∴CE =2+n CD ．
∵∠CAB =∠DEC ，∴sin ∠CAB =sin ∠DEC =CE CD
=21+n =2
2++n n ． 25．（本小题满分10分） 解：（1）由5x x 122
+=0， 得01=x ，5
122-
=x ． ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（5
12
-
，0）．
（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有
ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形
=
22)8117(⨯+-2
1)4417(⨯+-21
)8144(⨯+
=5（个单位面积） （3）如：)(3123y y y -=．
事实上，)3(12)3(52
3a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．
3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ∴)(3123y y y -=．。