立体几何基础练习题

P
O D A B C 立体几何基础练习题
(一)平面基本性质
1. 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，AB E 为的中点，F
为1AA 的中点。

求证：（1）1,,,E C D F 四点共面
（2）1,,CE D F DA 三线共点
2. 平行六面体1111D C B A ABCD -中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为 __________
(二)线、面间的位置关系
(注意线线、线面、面面间关系的转化及平行和垂直两种特殊关系)
1. 对于任意的直线α与平面l ，在平面α内必有直线m ，使l m 与（ ）
A. 平行
B. 相交
C. 垂直
D. 互为异面直线
2. 如右图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中， E 、F 分别是11，BC AB 的中点，则以下结 论中不成立的是( ) A.EF 与1BB 垂直 B.BD EF 与垂直
C.CD EF 与垂直
D.11C A EF 与异面 3. 已知γβα,,,,，c b a 是三条不重合的直线 是三个不重合的平面，下面
四个命题正确的有_________
（1）b a c b c a ////,//⇒
（2）b a b a ////,//⇒γγ
（3）βαβα////,//⇒c c
（4）βαγβαγ////,//⇒
4. 以下四个命题正确的有________
（1）垂直于同一个平面的两个平面平行；
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行； F D A B
C 1A 1B 1C 1
D
E 1A 1C 1
D 1B C D A B
（3）垂直于同一个平面的两条直线平行；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
5. 下列四个命题
（1） 异面直线是指空间两条既不平行又不相交的直线
（2） 两条异面直线a,b,若,a b αα则
（3） 两条异面直线a,b ，若,a b αα⊥⊥则
（4） 两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行线
其中正确的命题的序号是__________
6. 在空间中，给出下列四个命题：
（1） 有两组对边相等的四边形是平行四边形
（2） 四边相等的四边形是菱形
（3） 两边分别平行的两角相等
（4） 交于一点的三线共面
其中正确的命题数为________
7. 设有四个命题：
（1） 底面是矩形的平行六面体是长方体
（2） 棱长相等的直四棱柱是正方体
（3） 有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
（4） 对角线相等的平等六面体是直平行六面体
以上四个命题中，真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8. 若直线l 与平面α所成角为60︒，则直线l 与平面α内所有的直线所成的角的最大值是（ ）
A ．60︒ B. 90︒ C.120︒ D.180︒
9.
①BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60°的角；
④DM 与BN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是________
10. A B C '''∆是用“斜二侧画法”画出的等腰直角三角形ABC 的直观图，
记A B C '''∆的面积为S '，ABC ∆的面积为S ，则S S
'=______
11. 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===BB BC AB ，E 、F 分别为，AA 111B C 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为
A B D E F G
H ________
12. 已知E 、F 、G 、H 分别是三棱锥A-BCD
棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，
(1)①四边形EFGH 是_______形
②在正三棱锥中，四边形EFGH 是
_______形 ③在正四面体中，四边形EFGH 是
_______形
(2),,AC BD AC BD EG BD ⊥=则与所成的角 大小为________
(3)AC 与BD 所成角为60︒，且AC=BD=1，则EG=_______
13. 已知SA,SB,SC 是三条射线，
(1)︒=∠=∠=∠60CSA BSC ASB ,则SA 与平面SBC 所成角大小为_______
(2)∠BSC=60︒,SA 上一点P 到平面BSC 的距离是3, P 到SB,SC 的距离均是5,则SA 与平面BSC 所成的角大小为________
14. （1）正三角形ABC 的边长为6cm,点O 到ABC ∆各顶点的距离都是4cm,
则点O 到这个三角形所在平面的距离为________
（2）三棱锥的底面是两条直角边长分别为6cm 和8cm 的直角三角形，
各侧面与底面所成角都是60︒，则棱锥的高为_________
15. 在三棱锥P-ABC 中，分别满足以下条件，点P 在平面ABC 上的射影点分别为三角形ABC 的A.内心B.外心C.重心D.垂心
（1）PA=PB=PC （ ）
（2）三条侧棱与底面ABC 所成角相等 （ ）
（3）三个侧面与底面ABC 所成的角相等 （ ）
（4）三条斜高相等且射影点在三角形内部（ ）
（5）PA ，PB ，PC 两两垂直 （ ）
（6）三个侧面两两垂直 （ ）
（7）射影点与三顶点连线将ABC ∆分为面积相等的三个三角形（ ）
16. 棱长为4的正方体外接球的表面积是_____,内接球的体积是______
17. 已知球面上的三点A 、B 、C ，且AB=6cm,BC=8cm,AC=10cm,球的半径为13cm.则球心到平面ABC 的距离为_________
18. 我国某远洋考察船位于北纬30︒东经125︒处，则它此时离南极的球面距
离为________(地球半径为R)
19. 设地球半径为R ，在北纬︒60的纬度圈上有A ，B 两地，它们的经度差是︒90
（1） 求A ，B 两地间的纬度线长
（2） 求A ，B 两地间的球面距离
20. 如图，在空间平移111C B A ABC ∆∆到，连接对应顶点，1==CB CA ，已知ABC CC 平面⊥1，2901=︒=∠，AA BCA ，M 、N 分别是A ，A B A 111的中
点。

（1） 求→BN 的长
（2） 求><→→11,cos CB BA 的值 （3） 求证M C B A 11⊥
21. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 、G 分别是11D BC 、C 的中点
（1） 求证：11//B BDD EG 平面 （2） 求11B BDD E 到平面的距离
22. 三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=3，AC=4，PB=PC=BC
（1）请作出过PA 与BC 垂直的平面，并说明理由 （2）求二面角P-BC-A 的大小
B B 1
C
A 1 A C 1 . M N A 1D 1C 1
B 1A E D
C B G A
C P
23. 在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，沿对角线BD 对折成二面角A-BD-C ，使A 在平面BCD 上的射影E 在BC 上。

（1）求异面直线AB 与CD 所成的角；
（2） 求AB 和CD 间的距离；
（3）求二面角C-BD-A 的大小
（三）排列、组合及二项式定理
1. (1)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120
(2)0到9这10个数字可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
(3)从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为 （ ）
A.432
B.288
C.216
D.108
(4)用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个
位、十位上的数字之和为偶数的四位数共有 个
2. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志 愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其
中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则
不同的选派方案共有( )
A. 36种
B. 12种
C. 18种
D. 48种
3. 某同学有同样的画册2本，同本的集邮册3本，从中取出4本赠送给 其它每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
4. (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相同的选法有( )
A.6种
B.12种
C.24种
D.30种
(2)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有
1门不相同的选法共有________ A D B
C
E
5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名
学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
.18A .24B .30C .36D 6. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一 级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
7. 某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4
家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A ．14
B ．16
C ．20
D ．48
8. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女
生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 60
B. 48
C. 42
D. 36
9. 将标号为1，2，...，10的10个球放入标号为1，2，...，10的10个盒
子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ）
A ．120
B ．240
C ．360
D ．720.
10. A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一块，若B 必须站在A 的右边（A 、B 可 以不相邻），那么不同的排法数有_________
11. 若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈,
(1)=0a _______, =1a ________
(2)=+⋅⋅⋅+++2009321a a a a _______
(3)=+⋅⋅⋅+++2008420a a a a _______ (4)20091222009
222a a a +++=_______12. 在n y x )(+展开式中，若第7项的系数最大，则n 的取值集合为______
（三）概率与统计
1. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率
是 _______
2. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

(I) 所选3人都是男生的概率_______
(II)所选3人中恰有1名女生的概率________
(III)所选3人中至少有1名女生的概率________
3.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能
答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）甲考试合格的概率为______；乙考试合格的概率为________
（Ⅱ）甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________
4.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，
二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为_______
5.为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施
可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概
费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.
6.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、150
个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）
A. 分层抽样，系统抽样法
B. 分层抽样法，简单随机抽样法
C. 系统抽样法，分层抽样法
D. 简单随机抽样法，分层抽样法
7.某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法
从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n= ______
8. 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者， 若 用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则=ξE _______
9. 设某运动员投篮投中的概率为p=0.6
(1) 求一次投篮时投中次数ξ的期望和方差
(2) 求重复5次投篮时投中次数η的期望和方差
10. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入 下一轮考核，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为5
1525354、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响。

记ξ为该选手能够进入的轮数
(1)求ξ的分布列
(2)求ξE
11. （1）4个不同的球放入3个不同的盒子中，求每个盒子中最大球数ξ的
分布列
（2）4个不同的球放入4个不同的盒子中，求每个盒子中最大球数ξ的
分布列
（3）4个不同的球放入4个不同的盒子中，求空盒子数ξ的期望与方差
解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.
方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.
方案3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时突发事件不发生的概率为1-（1-0.8）(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976.
综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大。