四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题含答案

安宁河联盟2023～2024学年度下期高一4月期中联考
高一数学（答案在最后）
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知cos 3α=-
则cos 2=α（
）
A.
23
B.
59
C.
9
D.59
-
【答案】D 【解析】
【分析】由二倍角余弦公式直接求解.
【详解】已知cos 3
α=-则2
5cos 22cos 19αα=-=-.故选：D
2.已知,a b
为共线向量，且(1,),(2,6)a x b ==- ，则a = （
）
A.3-
B.3
C.
D.【答案】C 【解析】
【分析】由向量共线求出x ，再求模长即可.
【详解】(1,),(2,6)a x b ==-
共线，则26x -=，得3x =-，
故a ==
.
3.已知4
sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，β是第四象限角，则3πsin(4
β+
的值为（）
A.10
-
B.10-
C.
10
D.
10
【答案】D 【解析】
【分析】先由两角差的正弦公式求得4sin 5
β=-，再根据同角三角函数基本关系求得3
cos 5β=，最后由
正弦的两角和公式求解．
【详解】因为4
sin()cos cos()sin 5
αβααβα---=，所以4sin()sin 5αβαβ--=-=
，则4sin 5β=-，β 是第四象限角，3
cos 5
β∴=，
3π34sin )42225510βββ⎛
⎫∴+=-+=+=
⎪⎝
⎭．故选：D ．
4.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知1
sin sin 4sin ,cos 5c C a A b B C -==-，则a b
=（）
A.
2
15
B.
265
C.
5612
D.
152
【答案】D 【解析】
【分析】由正弦定理角化边得2224c a b -=，再利用余弦定理代值求解.【详解】因为sin sin 4sin c C a A b B -=，由正弦定理得2224,
c a b -=又1cos 5C =-，则()
222241cos 52a b a b C ab
+-+=-=，化简得
a b =152
.故选：D
5.已知向量非零向量,a b 满足3,1a b a ⋅=-= ，则b 在a 方向上的投影向量为（
）
A.6a
-
B.3a
-
C.3a
D.3b
-
【解析】
【分析】由投影向量公式直接求解.
【详解】b 在a 方向上的投影向量为·3a b a a a a
⋅=-
.
故选：B
6.π
()cos()(0,||)2f x A x A ωϕϕ=+><的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()sin(26
g x x π=-的图象（
）
A.向右平移π
8个单位长度 B.向右平移
π
2个单位长度C.向左平移π
4
个单位长度
D.向左平移π
8
个单位长度
【答案】C 【解析】
【分析】先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果．【详解】函数()()π
cos (0,)2
f x A x A ωϕϕ=+><
的部分图象，可得1A =，1πππ
43124T =-=，πT =，则2π2T
ω==，又π22π,Z 12k k ϕ⨯
+=∈，π||2
ϕ<,则π
6ϕ=-，故π()cos(26
f x x =-．
对A,π()sin(2)6g x x =-向右平移π8个单位长度,得到()ππ5πsin 2sin 28612y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=-≠ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
故A 错误；
对B,π
()sin(2)6g x x =-向右平移π2个单位长度,得到()ππ5πsin 2sin 2266y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=+≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
故B 错误；
对C,
π
()sin(2)
6
g x x =-向左平移
π4
个单位长度,得到
()πππππsin 2sin 2sin 246326y x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；
对D,π
()sin(2)6g x x =-向左平移π8个单位长度,得到()πππsin 2sin 28612y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+≠ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
故D 错误.故选：C ．
7.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为8m 的筒车按逆时针方向做4min 一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O 到水面的
距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P 刚浮出水面开始计时，设转动时间为t （单位：min ），则下列说法正确的是（
）
①1min t =时，盛水筒P 到水面的距离为4+；②4
min 3
t =
与2min t =时，盛水筒P 到水面的距离相等；③经过34min ，盛水筒P 共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P 相邻的盛水筒为Q ，则P ，Q 到水面的距离差的最大值为．A.①② B.②③
C.①③④
D.①②④
【答案】A 【解析】
【分析】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．【详解】依题意作图如下：
以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min ，当P 刚露出水面时，与y 轴的夹角是30︒，相邻盛水桶之间的夹角是45︒，当P 旋转1min t =时，旋转了
360904
︒
=︒，旋转到D 点，
此时D 点到水面的距离为8sin 304+︒=+②当4min 3t =
时，旋转了1
3
周，即120︒，此时的位置是E 点，与y 轴正半轴的夹角是180(30120)30︒-︒+︒=︒，
当2min t =时，P 旋转了180︒，即C 点，与y 轴正半轴的夹角也是30︒，
C 点与E 点到水面的距离相等，所以②正确；
③经过34min ，则水车转过了
34
8.54
=个周期，所以盛水桶P 共9次经过最高点，故③错误；④设Q 在P 的上方，OP 与y 轴负方向的夹角为α，(0180)α<< ，则OQ 与y 轴负方向的夹角为45α+︒，相邻两筒到水面的距离差为：
8cos(45)8cos )8[cos cos(45)]αααα-︒+-=-︒+
81cos sin 8)22αααϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
其中cos
ϕ=
，sin ϕ=
当αϕ=时取最大值为，故④错误；故选：A ．
8.如图，在ABC 中，π,3,3BAC AD DB P ∠==
为CD 上一点，且满足3(R)5
AP xAC AB x =+∈ ，若
4,5,AC AB ==则AP CD ⋅
的值为（）
A.
92
B.
7120
C.
4615
D.
175
【答案】B 【解析】
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为3,AD DB =
所以3,
4
AD AB = 因为C P D 、、三点共线，
所以,k CP CD = 即()AP AC k AD AC -=-
,
又因为35
AP x AC AB =+ ，
所以()33154x AC AB k AB AC ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭ ,且,AC AB 为不共线的非零向量，
所以13354x k k -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，解得45
15k x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
所以1355
AP AC AB =+
，
所以()
133554AP CD AP AD AC AB AC AC AB ⎛⎫
⋅=⋅-⋅- ⎪
⎛⎫=+ ⎪⎭⎝⎭
⎝ 22221991994545cos 520200
520220π71
AC AB AC AB =-+-⋅=-+⨯-⨯=⨯ .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列计算中正确的是（）
A.1
sin15sin 30sin 758
=
B.3sin 20cos 40cos160sin 402
︒︒-︒︒=
C .2π12cos 122
-=- D.1tan151tan15
-=+
【答案】ABC 【解析】
【分析】根据三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式，利用二倍角余弦公式及两角差的正切公式，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】对于A ，原式()
2
21111
sin15sin 30sin 9075sin15sin 30cos15sin 302228
⎛⎫=-===⨯= ⎪⎝⎭ ，
故A 正确；
对于B ，原式()sin 20cos 40cos 18020sin 40sin 20cos 40cos 20sin 40=︒︒-︒-︒︒=︒︒+︒︒
()3
sin 2040sin 602
=︒+︒=︒=
，故B 正确；对于C ，原式ππ3
11cos 2cos 1262
⎛⎫⎛
⎫=-+⨯
=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，原式()
tan 45tan15tan 4515tan 301tan 45tan153
-==-==
+
，故D 错误.故选：ABC.
10.已知函数2
()2sin cos f x x x x =-，则下列结论中正确的有（）
A.函数解析式化简后为：π
()2sin(2)3
f x x =-B.()f x 的对称轴为ππ32
k x =
+，Z k ∈C.()f x 的对称中心为ππ
(0)3,2
k +，Z
k ∈D.()f x 的单调递增区间为π5π
[π,π]1212
k k -++，Z k ∈【答案】AD 【解析】
【分析】先利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐一判断选项即可．
【详解】2()2sin cos f x x x x =-πsin 222sin 23x x x ⎛
⎫
==- ⎪⎝
⎭
，A 正确；对于B ，令ππ
2π32x k -
=+，则5ππ,Z 122k x k =+∈，∴对称轴为5ππ,Z 122
k x k =+∈，故B 错误；
对于C ，令π
2π3x k -
=，Z k ∈，可得对称中心为ππ,,Z 62k k ⎛+
∈ ⎝，故C 错误；对于D ，令πππ
2π22π232k x k -
+≤-≤+，则π5π
ππ,Z 1212
k x k k -+≤≤+∈，
∴单调递增区间为ππ
5[,],Z 121ππ2
k k k -
++∈,故D 正确．故选：AD ．
11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形
ABCDEFGH ，其中2OA =，则下列结论正确的有（
）
A.
OB OE ⋅=
B.
OA OC +=
C.OA 在OB
上的投影向量为
2
OB
D.若点P 为正八边形边上的一个动点，则AP AB ⋅
的最大值为4【答案】BCD 【解析】
【分析】正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断AB ,由投影向量和投影判断CD 得答案．
【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是45︒，中心到各顶点的距离为2，
对于A ，||||cos 22cos135OB OE OB OE BOE ⋅=⨯∠=⨯⨯︒=-
A 错误；
对于B ，=90AOC ︒∠，则以OA ，OC 为邻边的对角线长是||OA 倍，
可得OA OC +==
，故B 正确；
对于C ，OA 在OB 上的投影向量为222cos 4542OA OB OB OB OB
⋅⨯==
，故C 正确；对于D ，设,AP AB 的夹角为,θ则cos AP AB AB AP θ⋅= ，其中cos AP θ 表示AP 在AB
上的投影，
易知DC AB ⊥,延长DC 交AB 延长线于Q ,当P 在线段DC 上运动，投影最大，
易知OAC 为等腰直角三角形，且1804567.52
OAB ︒︒
︒-∠==,
则在Rt CAQ 中，(
)cos cos 67.545
cos 22.5AQ AC CAQ AC AC =∠=-=
,
在等腰三角形OAB 中2sin 22.5AB OA =
，则()
max
cos 22.52sin 22.5AP AB
AC OA ⋅=⨯
sin 45242
AC OA =⋅=⨯
= .故D 正确．
故选:ABD ．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量数量积及性质，关键是利用数量积的几何意义确定AP 在AB
上的投影
的最大值解决D 选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知向量(2,(6,)a b t == ，若a b ⊥
，则实数t 的值为___________．
【答案】【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解.
【详解】若a b ⊥
,则120=，得t =.
故答案为：13.在ABC 中，已知tan BA BC B ⋅=
，当π
3
B =时，AB
C 的面积为___________．【答案】3
2
##1.5【解析】
【分析】由数量积运算得到ac =，再利用三角形面积公式求解.【详解】设ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,
因为tan BA BC B ⋅= ，则cos tan ac B B =，当π
3
B =时,ac =故AB
C 的面积为sin 3
22
ac B =.故答案为：
32.
14.已知πsin 47α⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭，则13si 24n πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭
___________．【答案】58
-##0.625-【解析】
【分析】利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用二倍角公式求解即可．【详解】设π3ππ
,22,7142
t t αα+=-=-则23ππ5sin(2)sin(2)cos 22sin 11428
t t t α-
=-=-=-=-.故答案为:58
-．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.已知2,6a b == ，且a 与b 的夹角为π3
，求
（1）求a b ⋅
的值；
（2）求向量a b - 与b
的夹角的余弦值．
【答案】（1）6（2）5714
-
【解析】
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义求解即可.
（2）先求出a b -
，再利用平面向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】
由平面向量数量积的定义得1
cos 2662
a b a b θ⋅==⨯⨯= ，
故a b ⋅
的值为6，
【小问2详解】
设向量a b - 与b
的夹角为θ
a b-==
r r
Q==，
又()
a b b a b b
-⋅=⋅-=⨯⨯-=-
21
263630
2
r r r r r r
，
()
cos a b b
θ
a b b
-⋅
∴==-
-
30
14
r r r
r r r，
故向量a b-
与b
的夹角的余弦值为
14
-.
16.已知函数(
)21
cos sin(0)
2
f x x x x
ωωωω
=-+>，若()
f x相邻两条对称轴的距离为π
2.（1）求()
f x的解析式；
（2）在ABC
中，()1
f A=-
，2,
a b c
==求ABC
的面积.
【答案】（1）()
π
sin2
6
f x
x⎛⎫
+
⎝
=⎪
⎭
（2
）
14
【解析】
【分析】（1）由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期可求1
ω=即可求解；（2）由已知先求出A，然后结合余弦定理求,b c的值，再由三角形面积公式可求.
【小问1详解】
(
)1cos21
sin2
222
x
f x xω
ω
-
=-+
Q
3111π
sin2cos2sin2
22226
x x x
ωωω
⎛⎫
=-++=+
⎪
⎝⎭
，
因为()
f x的相邻两条对称轴的距离为
π
2，
π,
22
T
∴=
2ππ 1.
2
Tω
ω
∴===
，
故()
f x的解析式为：()
π
sin2
6
f x
x⎛⎫
+
⎝
=⎪
⎭
；
【小问2详解】
由题意知：()
π
sin21
6
f A A
⎛⎫
=+=-
⎪
⎝⎭
Q，
所以()()πππ22π,Z ,π,Z 623
A k k A k k +=-+∈=-+∈，()2π0,π,3A A ∈∴=
，由余弦定理，可得222222431cos 242
b c a c c A bc c +-+-===-，解得21221,277
c b c ===，
11sin 2277214
ABC S bc A ∴=⋅=⨯=V .17.如图、在四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．
（1）求证：1()2
EF AD BC =+ ；（2）若2AB DC = ，||2||4AB AD == ，向量AB ，AD 的夹角为3π，23
EG EF =，求||AG uuu r ．【答案】（1）证明见解析
（2）3
【解析】
【分析】（1）由平面向量的线性运算计算即可证明；
（2）由平面向量的线性运算得1233
AG AB AD =+ ，再由平面向量的数量积的性质计算即可．【小问1详解】
证明：E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
∴DF CF =- ，EA EB =- ，
EF EA AD DF =++
，①EF EB BC CF =++ ，②
①+②得：2EF EA EB AD BC DF CF =+++++ ，∴12,)2
EF AD BC EF AD BC =+∴=+ ．
【小问2详解】
2AB DC = ，23
EG EF =，∴1212()2323
AG AE EG AB EF AB EA AD DF =+=+=+++ 1211()2324AB AB AD AB =+-++ 11212336AB AB AD AB =-++ 1233
AB AD =+ ， ||2||4AB AD == ，向量AB ，AD 的夹角为3
π，∴1||||cos 42432
AB AD AB AD π⋅==⨯⨯= ，
∴||AG =
=
3=．18.锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos .
a c B
b C -=（1）求角B 的值；
（2）若b =求ABC 面积的取值范围．
【答案】（1）π3
（2）【解析】
【分析】（1）根据已知条件及正弦定理的边角化，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数即可求解；
（2）根据（1）的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质即可求解.
【小问1详解】
(2)cos cos a c B b C -= 及正弦定理，
2sin cos sin cos sin cos A B C B B C ∴-=，
sin cos sin cos cos sin sin()A B C B C B B C ∴=+=+2，
2sin cos sin A B A
∴=
π02
A << ,sin 0,A ∴≠2cos 1,
B ∴=即1cos ,2B =，又π02
B <<，π3B ∴=.【小问2详解】
在ABC
中，由正弦定理定理，可得4sin sin sin 3
2
a c
b A C B ===，sin ,sin ,
a A c C ∴==4
4212πsin sin sin 6sin cos 23S ac B A C A A A A A ⎛⎫∴===-=+ ⎪⎝
⎭
sin cos ))A A A =+-=-+π321226
ABC 是锐角三角形，
π022ππ
032A A ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，由ππ62A <<，得ππ5π2666
A <-<，所以1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭
，于是有π26A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝
⎭，故ABC
面积的取值范围为(.
19.某居民小区为缓解业主停车难的问题，
拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改造．如图所示，矩形CDEF 区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形AOB 的半径为2（百米），圆心角分别为π3
，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大．一种方案是将矩形的一边CD 放在
OA 上，另外两个顶点E ，F 分别在弧AB 和OB 上（如图2所示）
；
（1）若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；
（2）修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D ，E 在弧AB 上，另外两个顶点C ，F 分别在OA 和OB 上（如图3所示）．比较两种方案，哪种方案更优？
【答案】（1）3
平方百米（2）方案一更优，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接OE ，设AOE α∠=，将面积表示为α的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出面积最值，
（2）根据对称性转化为求中心角度为π6的扇形内接矩形面积最大值．连接OD ，设DON β∠=，π0,6β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将面积表示为β的函数，结合三角变换化简函数表达式，求出求出面积的最大值，再比较即可．
【小问1详解】
连接OE ，设AOE α∠=，π0,3α⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，由条件知2sin DE α=，2cos OD α=，2sin FC DE α==，π3AOB ∠=
，
在Rt FOC 中，πtan
3FC OC ==，得23sin 3OC α==，
知2cos sin 3CD OD OC αα=-=-，
2sin 2cos 3CDEF S ααα⎛⎫=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭ 24323234sin cos sin 2sin 2cos 2333ααααα=-
=+-
1sin 2cos 23223αα⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
43π23sin 2363α⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
，
因为π0,
3α⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当π6α=时，矩形面积的最大值为3平方百米；
【小问2详解】如图，根据对称性转化为求中心角度为π6的扇形内接矩形面积最大值．
连接OD ，设DON β∠=，π0,6β⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，由条件知2sin DN β=，2cos ON β=，2sin CM DN β==，
π
6AON ∠=
，在Rt COM △中，πtan 63CM OM ==，得OM β=，
知2cos MN ON OM ββ=-=-，
()
2sin 2cos CDEF S βββ=⨯- 2
4sin cos 2sin 22βββββ=-=+-π
4sin 23β⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
因为π0,6β⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π12β=时，圆心角为π3扇形中截面积最大值为(248-=-平方百米；
8
3
>- ，
因为方案一内接矩形面积更大，最大值为
3，故方案一更优．【点睛】关键点点睛:本题考查三角函数恒等变化，关键是合理设置角度，表示为函数关系求解.。