2025年高考数学一轮复习(新高考版)第2章 必刷小题3 基本初等函数

依题意得f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，
因为 f(e)＋f(0)＝－3，所以 f(e)＝ln e＋2ae＝－3，解得 a＝－8e， 所以当 x>0 时，f(x)＝ln x－4xe，
所以
f(－1)＝－f(1)＝－ln
1－41e＝4e.
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10x，x≤0， 2.(2023·苏州质检)已知函数 f(x)＝lg x，x>0， 则 f(f(1))等于
A.0
1 B.10
√C.1
D.10
f(f(1))＝f(lg 1)＝f(0)＝100＝1.
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3.函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为
7.已知 f(x)＝x－2－log2aa2－x－13x＋，3xa>，2 x≤2， 是 R 上的减函数，那么 a 的 取值范围是
√A.52，6
C.[1,6]
B.52，＋∞ D.1，52
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x2－2a－1x＋3a，x≤2，
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三、填空题
13.
8
2

27
1
－ 16 4
＋π0－3
125＋ log 1
9
3＋2lg
4＋lg
58＋e3ln
19 2＝___4___.
原式＝
2 3
3(
2 3
)
－
4 1
24
＋1－5－12log33＋4lg
2＋lg
5－lg
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因为x∈[0，＋∞)，f(x)＝a·bx＋c∈[－2,1)， 所以0<b<1(因为函数值是有界的)， 又f(x)取不到f(x)＝1的值，所以a<0， 所以函数f(x)＝a·bx＋c在区间[0，＋∞)上单调递增， 则f(0)＝a＋c＝－2， 当x→＋∞时，abx→0， 所以c＝1， 故a＝－3，所以ac＝－3.
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显然当a>0时，f(x1)与f(x2)的大小与x1，x2离对称轴的远近有关系， 但与a无关，选项D错误.
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12.已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c，则下列关系可能成立的是
∵a>1>b>c>0，
1
1
∴aa>ab>bb，b 2 > c 2 ，故A选项正确，D选项不正确；
又logac<logab<0， ∴logca>logba， 故B选项不正确； ∵logca<0，ac>0， ∴logca<ac，故C选项正确.
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3
5.已知 a＝log3 2，b＝e0.1，c＝ ln e 3 ，则 a，b，c 的大小关系是
A.a<b<c C.c<b<a
√B.a<c<b
D.c<a<b
a＝log3 2<log3 3＝12，b＝e0.1>e0＝1，
c＝ ln
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16.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时， 便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数 n 与纸的长边 ω(cm)和厚度 x(cm) 有以下关系：n≤23log2ωx .现有一张长边为 30 cm，厚度为 0.01 cm 的矩形纸， 根据以上信息，当对折完 4 次时，ωx 的最小值为___6_4____，该矩形纸最多 能对折___7___次.(参考数值：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
所以有
2x－1>－2x，解得
1 x>4.
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二、多项选择题
9.已知实数a，b，c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是
√A.aa>bb √C.logca<ac
B.logca<logba
1
1
D. b 2 < c 2
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令 2x＝t(t>0)，则函数为 g(t)＝t＋1t ，
由对勾函数的性质可知 g(t)＝t＋1t 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上
单调递增，
故 g(t)＝t＋1t 在 t＝1 处取得最小值，
g(t)min＝g(1)＝2，所以f(x)的最小值为2，故B错误，D正确；
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8＋eln
8
＝94－2＋1－5－12＋3lg 2＋(lg 2＋lg 5)－3lg 2＋8
＝94－2＋1－5－12＋1＋8＝149.
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14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝_l_n_|x_|_(答__案__不__唯__一__)_. ①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)； ②f(－x)＝f(x)； ③任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)>0.
因此f(x)＋f(－x)＝ln(x2＋1－x2)＋2＝2，
因此关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)>2，可化为f(2x－1)>2－f(2x)＝
f(－2x)， 又 y＝2 022x－2 022－x 单调递增，y＝ln( x2＋1＋x)单调递增，
所以 f(x)＝2 022x＋ln( x2＋1＋x)－2 022－x＋1 在 R 上单调递增，
因为 f(x)＝－loga2x－3，x>2
是 R 上的减函数，
2a－2 1≥2， 所以a>1，
4－22a－1＋3a≥0，
解得52≤a≤6.
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8.已知函数 f(x)＝2 022x＋ln( x2＋1＋x)－2 022－x＋1，则关于 x 的不等式
√A.a<b<c
√B.a<c<b
√C.a<b＝c
D.c<b<a
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依题意，令2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k，则2a＝－a＋k，log2b＝ －b＋k，log3c＝－c＋k， 令y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k，则a，b，c可分别视为函 数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x的图象与直线y＝－x＋k交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数y＝2x，y＝log2x，y＝ log3x和y＝－x＋k的图象，如图， 观 察 图 象 得 ， 当 k<1 时 ， a<c<b ， 当 k ＝ 1 时 ， a<b＝c，当k>1时，a<b<c， 显然c<b<a不可能，故可能成立的是ABC.
C.当x1＋x2>2时，f(x1)>f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小关系与a有关
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函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，二次函数的图象开口向上，对称轴为 直线x＝1， 当x1＋x2＝2时，x1与x2的中点为1. ∴f(x1)＝f(x2)，选项B正确； 当x1＋x2>2时，x1与x2的中点大于1， 又x1<x2， ∴点x2到对称轴的距离大于点x1到对称轴的距离， ∴f(x1)<f(x2)，选项A正确，C错误；
A.(2，＋∞)
B.(－∞，2)
√C.[4，＋∞)
D.[3，＋∞)
令t＝x2＋3≥4， 因为y＝2＋log2t在[4，＋∞)上单调递增， 所以y≥2＋log24＝4， 所以y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞).
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4.函数y＝3－x与y＝log3(－x)的图象可能是
√
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函数y＝3－x＝
1x 3
为R上的减函数，排除A，B选项，
函数y＝log3(－x)的定义域为(－∞，0)，
内层函数u＝－x为减函数，外层函数y＝log3u为增函数，
故函数y＝log3(－x)为(－∞，0)上的减函数，排除D选项.
f(x)＝2x＋21x的定义域为 R，且 f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)， 所以f(x)为偶函数，故C正确.
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11.已知函数f(x)＝ax2－2ax＋4(a>0)，若x1<x2，则
√A.当x1＋x2>2时，f(x1)<f(x2) √B.当x1＋x2＝2时，f(x1)＝f(x2)
第二章 函 数
必刷小题3 基本初等函数
一、单项选择题
1.函数f(x)＝ 1 ＋lg(3－x)的定义域为
x－1
A.[1,3)
√B.(1,3)
C.(－∞，1)∪[3，＋∞)
D.(－∞，1]∪(3，＋∞)
由题意可得3x－－1x>>00， ， 解得 1<x<3，即函数的定义域为(1,3).
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由题设，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且为偶函数，f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)， 结合对数的运算性质及对数函数的性质，易知f(x)＝ln|x|符合要求.
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15. 若 函 数 f(x) ＝ a·bx ＋ c 在 区 间 [0 ， ＋ ∞) 上 的 值 域 是 [ － 2,1) ， 则 ac ＝ __－__3____.
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由 n≤23log2ωx 可知，当对折完 4 次时， 即23log2ωx ≥4，即 log2ωx ≥6， ∴ωx ≥64，即ωx 的最小值为 64. 由题知 n≤23log203.001＝23log23 000＝23×lgl3g＋2 3≈23×0.04.83＋0 3≈7.7， 故矩形纸最多能对折7次.
e
3 3
＝
33，故
a<c<b.
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6.(2023·长沙模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x＋ a ， 2x
若f(e)＋f(0)＝－3，e是自然对数的底数，则f(－1)等于
A.e
B.2e
C.3e
√D.4e
f(2x－1)＋f(2x)>2 的解集为
A.－∞，14
√C.14，＋∞
B.－∞，12 D.12，＋∞
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因为 f(x)＝2 022x＋ln( x2＋1＋x)－2 022－x＋1， 所以 f(－x)＝2 022－x＋ln( x2＋1－x)－2 022x＋1，
10.已知函数 f(x)＝2x＋21x，则 A.f(log23)＝43 B.f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增
√C.f(x)为偶函数 √D.f(x)的最小值为 2
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1 f(log23)＝2log2 3＋ 2log2 3
＝3＋13＝130，A 错误；
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